1、 4.5 简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换 最新考纲 考情考向分析 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式 2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、 正切 公式 3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余 弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切 公式，了解它们的内在联系 4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积 化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不 要求记忆). 三角恒等变换是三角变换的工具， 主要 考查利用两角和与差的三角函数公式、 二倍角公式进行三角函数的化简与求 值， 重在考查化简、 求值， 公式的正用、 逆用以及变式运用， 可单独考查， 也可 与三
2、角函数的图象和性质、 向量等知识 综合考查， 加强转化与化归思想的应用 意识选择、填空、解答题均有可能出 现，中低档难度. 1两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos()cos cos sin sin (C() cos()cos cos sin sin (C() sin()sin cos cos sin (S() sin()sin cos cos sin (S() tan() tan tan 1tan tan (T( ) tan() tan tan 1tan tan (T( ) 2二倍角公式 sin 22sin cos ； cos 2cos2sin22cos2112sin2； tan 2 2t
3、an 1tan2. 知识拓展 1降幂公式：cos21cos 2 2 ，sin21cos 2 2 . 2升幂公式：1cos 22cos2，1cos 22sin2. 3辅助角公式：asin xbcos x a2b2sin(x)，其中 sin b a2b2，cos a a2b2 . 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)存在实数 ，使等式 sin()sin sin 成立( ) (2)对任意角 都有 1sin sin 2cos 2 2.( ) (3)y3sin x4cos x 的最大值是 7.( ) (4)公式 tan() tan tan 1tan tan 可以变形
4、为 tan tan tan()(1tan tan )，且对任意 角 ， 都成立( ) 题组二 教材改编 2P127T2若 cos 4 5， 是第三象限的角，则 sin 4 等于( ) A 2 10 B. 2 10 C 7 2 10 D.7 2 10 答案 C 解析 是第三象限角， sin 1cos23 5， sin 4 3 5 2 2 4 5 2 2 7 2 10 . 3P131T5sin 347 cos 148 sin 77 cos 58 . 答案 2 2 解析 sin 347 cos 148 sin 77 cos 58 sin(270 77 )cos(90 58 )sin 77 cos 5
5、8 (cos 77 ) (sin 58 )sin 77 cos 58 sin 58 cos 77 cos 58 sin 77 sin(58 77 )sin 135 2 2 . 4P146T4tan 20 tan 40 3tan 20 tan 40 . 答案 3 解析 tan 60 tan(20 40 ) tan 20 tan 40 1tan 20 tan 40 ， tan 20 tan 40 tan 60 (1tan 20 tan 40 ) 3 3tan 20 tan 40 ， 原式 3 3tan 20 tan 40 3tan 20 tan 40 3. 题组三 易错自纠 5化简： cos 40
6、 cos 25 1sin 40 . 答案 2 解析 原式 cos 40 cos 25 1cos 50 cos 40 cos 25 2sin 25 cos 40 2 2 sin 50 2. 6(2018 昆明模拟)若 tan 1 3，tan() 1 2，则 tan . 答案 1 7 解析 tan tan() tantan 1tantan 1 2 1 3 11 2 1 3 1 7. 7(2018 烟台模拟)已知 0， 2 ，且 sin 4 2 10，则 tan 2 . 答案 24 7 解析 方法一 sin 4 2 10，得 sin cos 1 5， 0， 2 ，平方得 2sin cos 24 25
7、， 可求得 sin cos 7 5，sin 4 5，cos 3 5， tan 4 3，tan 2 2tan 1tan2 24 7 . 方法二 0， 2 且 sin 4 2 10， cos 4 7 2 10 ， tan 4 1 7 tan 1 1tan ，tan 4 3. 故 tan 2 2tan 1tan2 24 7 . 第第 1 课时课时 两角和与差的正弦两角和与差的正弦、余弦和正切公式余弦和正切公式 题型一题型一 和差公式的直接应用和差公式的直接应用 1(2018 青岛调研)已知 sin 3 5， 2， ，tan() 1 2，则 tan()的值为( ) A 2 11 B. 2 11 C.
8、11 2 D11 2 答案 A 解析 2， ，tan 3 4，又 tan 1 2， tan() tan tan 1tan tan 3 4 1 2 1 1 2 3 4 2 11. 2(2017 山西太原五中模拟)已知角 为锐角，若 sin 6 1 3，则 cos 3 等于( ) A.2 61 6 B.3 2 8 C.3 2 8 D.2 31 6 答案 A 解析 由于角 为锐角，且 sin 6 1 3， 则 cos 6 2 2 3 ， 则 cos 3 cos 6 6 cos 6 cos 6sin 6 sin 6 2 2 3 3 2 1 3 1 2 2 61 6 ， 故选 A. 3计算 sin 11
9、0 sin 20 cos2155 sin2155 的值为 答案 1 2 解析 sin 110 sin 20 cos2155 sin2155 sin 70 sin 20 cos 310 cos 20 sin 20 cos 50 1 2sin 40 sin 40 1 2. 思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征 (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值 题型二题型二 和差公式的灵活应用和差公式的灵活应用 命题点 1 角的变换 典例 (1)设 ， 都是锐角，且 cos 5 5 ，sin()3 5，则 cos . 答案 2 5 25 解析 依题意得 s
10、in 1cos22 5 5 ， 因为 sin()3 5， 所以 2， ，所以 cos() 4 5. 于是 cos cos() cos()cos sin()sin 4 5 5 5 3 5 2 5 5 2 5 25 . (2)(2017 泰安模拟)已知 cos(75 )1 3，则 cos(30 2)的值为 答案 7 9 解析 cos(75 )sin(15 )1 3， cos(30 2)12sin2(15 )12 9 7 9. 命题点 2 三角函数式的变换 典例 (1)化简： 1sin cos sin 2cos 2 22cos (0)； (2)求值：1cos 20 2sin 20 sin 10 1
11、tan 5 tan 5. 解 (1)由 (0，)，得 0 20， 22cos 4cos2 22cos 2. 又(1sin cos ) sin 2cos 2 2sin 2cos 22cos 2 2 sin 2cos 2 2cos 2 sin2 2cos 2 2 2cos 2cos ， 故原式 2cos 2cos 2cos 2 cos . (2)原式 2cos210 22sin 10 cos 10 sin 10 cos 5 sin 5 sin 5 cos 5 cos 10 2sin 10 sin 10 cos25 sin25 sin 5 cos 5 cos 10 2sin 10 sin 10 co
12、s 10 1 2sin 10 cos 10 2sin 10 2cos 10 cos 10 2sin 20 2sin 10 cos 10 2sin30 10 2sin 10 cos 10 2 1 2cos 10 3 2 sin 10 2sin 10 3sin 10 2sin 10 3 2 . 引申探究 化简： 1sin cos sin 2cos 2 22cos (0) 解 0 20， 6 6， 2 ，sin 6 3 5. sin 2 12 sin 2 6 4 sin 2 6 cos 4cos 2 6 sin 4 2sin 6 cos 6 2 2 2cos2 6 1 23 5 4 5 2 2 2 4 5 21 12 2 25 7 2 50 17 2 50 . (2)原式1tan 17 tan 28 tan 17 tan 28 1tan 45 (1tan 17 tan 28 )tan 17 tan 28 112. (3) cos 2 2sin 4 cos2sin2 2 2 2 sin 2 2 cos cos sin ， sin 3 5， 2， ， cos 4 5，原式 7 5.
