1、 3.1 导数的概念及运算导数的概念及运算 最新考纲 考情考向分析 1.了解导数概念的实际背景 2.通过函数图象直观理解导数的几何意义 3.能根据导数定义求函数 yc(c 为常数)， y x，yx2，yx3，y1 x，y x的导数 4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的 四则运算法则求简单函数的导数，(理)能求简 单的复合函数(仅限于形如 f(axb)的复合函 数)的导数. 导数的概念和运算是高考的必考 内容，一般渗透在导数的应用中 考查；导数的几何意义常与解析 几何中的直线交汇考查；题型为 选择题或解答题的第(1)问，低档 难度. 1导数与导函数的概念 (1)一般地，函数 yf(x)在 x
2、x0处的瞬时变化率是 lim x0 y x limx0 fx0xfx0 x ， 我们称它为函数 yf(x)在 xx0处的导数，记作 f(x0)或 0 x x y ，即 f(x0) lim x0 y x lim x0 fx0xfx0 x . (2)如果函数 yf(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新 函数，这个函数称为函数 yf(x)在开区(a，b)间内的导函数记作 f(x)或 y. 2导数的几何意义 函数 yf(x)在点 x0处的导数的几何意义， 就是曲线 yf(x)在点 P(x0， f(x0)处的切线的斜率 k， 即 kf(x0) 3基本初等函数的导数
3、公式 基本初等函数 导函数 f(x)c(c 为常数) f(x)0 f(x)x(Q*) f(x)x 1 f(x)sin x f(x)cos x f(x)cos x f(x)sin x f(x)ex f(x)ex f(x)ax(a0，a1) f(x)axln a f(x)ln x f(x)1 x f(x)logax(a0，a1) f(x) 1 xln a 4.导数的运算法则 若 f(x)，g(x)存在，则有 (1)f(x) g(x)f(x) g(x)； (2)f(x) g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)； (3) fx gx fxgxfxgx gx2 (g(x)0) 5复合函数的导数 复合函
4、数 yf(g(x)的导数和函数 yf(u)，ug(x)的导数间的关系为 yxyu ux，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积 知识拓展 1奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数 2af(x)bg(x)af(x)bg(x) 3函数 yf(x)的导数 f(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向， 其大小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡” 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)f(x0)是函数 yf(x)在 xx0附近的平均变化率
5、( ) (2)f(x0)与f(x0)表示的意义相同( ) (3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线( ) (4)函数 f(x)sin(x)的导数是 f(x)cos x( ) 题组二 教材改编 2P85A 组 T5若 f(x)x ex，则 f(1) . 答案 2e 解析 f(x)exxex，f(1)2e. 3P18A 组 T6曲线 y1 2 x2在点(1，1)处的切线方程为 答案 2xy10 解析 y 2 x22，y|x 12. 故所求切线方程为 2xy10. 题组三 易错自纠 4 如图所示为函数 yf(x)， yg(x)的导函数的图象， 那么 yf(x)， yg(x)的图象可能是( )
6、 答案 D 解析 由 yf(x)的图象知，yf(x)在(0，)上单调递减，说明函数 yf(x)的切线的斜 率在(0，)上也单调递减，故可排除 A，C. 又由图象知 yf(x)与 yg(x)的图象在 xx0处相交，说明 yf(x)与 yg(x)的图象在 x x0处的切线的斜率相同，故可排除 B.故选 D. 5有一机器人的运动方程为 st23 t(t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻 t2 时的瞬时 速度为( ) A.19 4 B.17 4 C.15 4 D.13 4 答案 D 6设函数 f(x)的导数为 f(x)，且 f(x)f 2 sin xcos x，则 f 4 . 答案 2 解析 因
7、为 f(x)f 2 sin xcos x， 所以 f(x)f 2 cos xsin x， 所以 f 2 f 2 cos 2sin 2， 即 f 2 1，所以 f(x)sin xcos x， f(x)cos xsin x. 故 f 4 cos 4sin 4 2. 7已知函数 f(x)ax3x1 的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则 a . 答案 1 解析 f(x)3ax21，f(1)3a1， 又 f(1)a2， 切线方程为 y(a2)(3a1)(x1)， 又点(2,7)在切线上，可得 a1. 题型一题型一 导数的计算导数的计算 1f(x)x(2 018ln x)，若 f(x0)2
8、019，则 x0等于( ) Ae2 B1 Cln 2 De 答案 B 解析 f(x)2 018ln xx1 x2 019ln x，故由 f(x0)2 019，得 2 019ln x02 019， 则 ln x00，解得 x01. 2若函数 f(x)ax4bx2c 满足 f(1)2，则 f(1)等于( ) A1 B2 C2 D0 答案 B 解析 f(x)4ax32bx， f(x)为奇函数且 f(1)2， f(1)2. 3已知 f(x)x22xf(1)，则 f(0) . 答案 4 解析 f(x)2x2f(1)， f(1)22f(1)，即 f(1)2. f(x)2x4，f(0)4. 思维升华 导数计
9、算的技巧 (1)求导之前，应对函数进行化简，然后求导，减少运算量 (2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元 题型二题型二 导数的几何意义导数的几何意义 命题点 1 求切线方程 典例 (1)曲线 f(x) ex x1在 x0 处的切线方程为 答案 2xy10 解析 根据题意可知切点坐标为(0，1)， f(x)x1e xexx1 x12 x2e x x12 ， 故切线的斜率 kf(0)02e 0 012 2， 则直线的方程为 y(1)2(x0)， 即 2xy10. (2)已知函数 f(x)xln x，若直线 l 过点(0，1)，并且与曲线 yf(x)相切，则直线 l 的
10、方程 为 答案 xy10 解析 点(0，1)不在曲线 f(x)xln x 上， 设切点为(x0，y0) 又f(x)1ln x， 直线 l 的方程为 y1(1ln x0)x. 由 y0x0ln x0， y011ln x0x0， 解得 x01，y00. 直线 l 的方程为 yx1，即 xy10. 引申探究 本例(2)中， 若曲线yxln x上点P的切线平行于直线2xy10， 则点P的坐标是 答案 (e，e) 解析 y1ln x，令 y2，即 1ln x2， xe，点 P 的坐标为(e，e) 命题点 2 求参数的值 典例 (1)直线 ykx1 与曲线 yx3axb 相切于点 A(1,3)，则 2ab
11、 . 答案 1 解析 由题意知，yx3axb 的导数 y3x2a， 则 13ab3， 312ak， k13， 由此解得 k2，a1，b3，2ab1. (2)已知 f(x)ln x，g(x)1 2x 2mx7 2(m0)，直线 l 与函数 f(x)，g(x)的图象都相切，与 f(x)图 象的切点为(1，f(1)，则 m . 答案 2 解析 f(x)1 x， 直线 l 的斜率 kf(1)1. 又 f(1)0，切线 l 的方程为 yx1. g(x)xm， 设直线 l 与 g(x)的图象的切点为(x0，y0)， 则有 x0m1，y0x01，y01 2x 2 0mx07 2，m0， m2. 命题点 3
12、导数与函数图象 典例 (1)已知函数 yf(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数 y f(x)的图象如图所示，则该函数的图象是( ) 答案 B 解析 由yf(x)的图象是先上升后下降可知， 函数yf(x)图象的切线的斜率先增大后减小， 故选 B. (2)已知 yf(x)是可导函数，如图，直线 ykx2 是曲线 yf(x)在 x3 处的切线，令 g(x) xf(x)，g(x)是 g(x)的导函数，则 g(3) . 答案 0 解析 由题图可知曲线 yf(x)在 x3 处切线的斜率等于1 3，f(3) 1 3. g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)， g(3)f(3)3f(3)， 又由
13、题图可知 f(3)1， g(3)13 1 3 0. 思维升华 导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点 A(x0，f(x0)求斜率 k，即求该点处的导数值 kf(x0) (2)若求过点 P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由 y1fx1， y0y1fx1x0x1 求解即可 (3)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况 跟踪训练 (1)(2017 山西孝义模拟)已知 f(x)x2，则曲线 yf(x)过点 P(1,0)的切线方程 是 答案 y0 或 4xy40 解析 设切点坐标为(x0，x20)， f(x)2
14、x，切线方程为 y02x0(x1)， x202x0(x01)， 解得 x00 或 x02， 所求切线方程为 y0 或 y4(x1)， 即 y0 或 4xy40. (2)设曲线 y1cos x sin x 在点 2，1 处的切线与直线 xay10 平行，则实数 a . 答案 1 解析 y1cos x sin2x ， 2 |1. x y 由条件知1 a1，a1. 求曲线的切线方程 典例 若存在过点 O(0,0)的直线 l 与曲线 yx33x22x 和 yx2a 都相切，求 a 的值 错解展示： 现场纠错 解 易知点 O(0,0)在曲线 yx33x22x 上 (1)当 O(0,0)是切点时， 由 y
15、3x26x2，得 y|x02， 即直线 l 的斜率为 2，故直线 l 的方程为 y2x. 由 y2x， yx2a， 得 x22xa0， 依题意 44a0，得 a1. (2)当 O(0,0)不是切点时， 设直线 l 与曲线 yx33x22x 相切于点 P(x0， y0)， 则 y0x303x20 2x0， 0 |x xky 3x2 06x02， 又 ky0 x0x 2 03x02， 联立，得 x03 2(x00 舍去)，所以 k 1 4， 故直线 l 的方程为 y1 4x. 由 y1 4x， yx2a， 得 x21 4xa0， 依题意知 1 164a0，得 a 1 64. 综上，a1 或 a 1 64. 纠错心得 求曲线过一点的切线方程，要考虑已知点是切点和已知点不是切点两种情况.
