1、第2课时导数与函数的极值、最值题型一用导数求解函数极值问题命题点1根据函数图象判断极值例1设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是_(填序号)函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)；函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)；函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)；函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)答案解析由题图可知，当x0；当2x1时，f(x)0；当1x2时，f(x)2时，f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值命题点2求已知函数的极值例2设函数f(x)ln(x1)
2、a(x2x)，其中aR.讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由解f(x)a(2x1) (x1)令g(x)2ax2axa1，x(1，)当a0时，g(x)1，此时f(x)0，函数f(x)在(1，)上单调递增，无极值点当a0时，a28a(1a)a(9a8)a当0时，0，设方程2ax2axa10的两根为x1，x2(x1x2)，因为x1x2，所以x1.由g(1)10，可得1x10，f(x)0，函数f(x)单调递增；当x(x1，x2)时，g(x)0，f(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递增因此函数f(x)有两个极值点当a0，由g(1)10，可得x110，f(x)0，函数f(x)单调递增；当x(x2，
3、)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减所以函数f(x)有一个极值点综上所述，当a时，函数f(x)有两个极值点命题点3根据极值(点)求参数例3已知函数f(x)k，若x2是函数f(x)的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为_答案(，e解析因为函数f(x)k，所以函数f(x)的定义域是(0，)，所以f(x)k.因为x2是函数f(x)的唯一一个极值点，所以x2是yf(x)的唯一变号零点所以yk在(0，)上无变号零点，设g(x)k，则g(x).当x(0,1)时，g(x)0，所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以g(x)ming(1)ek，若g(x)在(0，)上无变号零
4、点，则需要g(x)0在(0，)上恒成立，所以g(x)min0，即ek0，即ke，所以若x2是函数f(x)的唯一一个极值点，则应需ke.思维升华函数极值的两类热点问题(1)求函数f(x)极值的一般解题步骤确定函数的定义域；求导数f(x)；解方程f(x)0，求出函数定义域内的所有根；列表检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的符号(2)根据函数极值情况求参数的两个要领列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解验证：求解后验证根的合理性跟踪训练1已知函数f(x)ax1lnx(aR)(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数；(2)若函数f(x)在x1处取得极值，x
5、(0，)，f(x)bx2恒成立，求实数b的取值范围解(1)f(x)的定义域为(0，)f(x)a，当a0时，f(x)0时，由f(x)0得0x0，得x，f(x)在上单调递减，在上单调递增，即f(x)在x处有极小值，无极大值当a0时，f(x)在(0，)上没有极值点，当a0时，f(x)在(0，)上有一个极值点(2)函数f(x)在x1处取得极值，a1，f(x)bx2，即1b，令g(x)1，则g(x)，令g(x)0，得xe2，则g(x)在(0，e2)上单调递减，在(e2，)上单调递增，g(x)ming(e2)1，即b1，即实数b的取值范围为.题型二用导数求函数的最值例4已知函数f(x)klnx，k，求函数
6、f(x)在上的最大值和最小值解f(x).若k0，则f(x)，在上恒有f(x)0，所以f(x)在上单调递减若k0，则f(x).()若k0，则在上恒有0，由ke，则x0在上恒成立，所以0，所以f(x)在上单调递减综上，当k时，f(x)在上单调递减，所以f(x)minf(e)k1，f(x)maxfek1.引申探究若例题条件中的k改为“k”，则函数f(x)在上的最小值是多少？解f(x)，k，0e，若0，即ke时，f(x)在上为减函数，在上为增函数，f(x)minfk1kln k.综上，当k0，x(0，)时，f(x)0，即f(x)在(0，)上单调递增，没有最小值；当a0得，x，所以f(x)在上单调递增；
7、由f(x)0得，0x，所以f(x)在上单调递减所以当a0时，f(x)的最小值为faln2.根据题意得faln2a，即aln(a)ln 20.因为a0，所以ln(a)ln 20，解得2a0)的导函数yf(x)的两个零点为3和0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极小值为e3，求f(x)在区间5，)上的最大值解(1)f(x).令g(x)ax2(2ab)xbc，因为ex0，所以yf(x)的零点就是g(x)ax2(2ab)xbc的零点且f(x)与g(x)符号相同又因为a0，所以当3x0，即f(x)0，当x0时，g(x)0，即f(x)5f(0)，所以函数f(x)在区间5，)上的最大值是5e5
8、.思维升华 (1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值跟踪训练3(2018南通模拟)已知函数f(x)(xk1)ex(kR)(1)当x0时，求f(x)的单调区间和极值；(2)若对于任意x1,2，都有f(x)0.当k0时，f(x)0恒成立，所以f(x)的单调增区间是(0，)，无单调减区间，无极值当k0时，由f(x)0，得xk；由f(x)0，得0xk，所以f(x)的单调减区间是(0，k)，单调增区间是(k，)，f(x)的极小
9、值为f(k)ek，无极大值(2)由f(x)4x，可得(xk1)ex4x0，所以xk1x1对任意x1,2恒成立记g(x)x1，x1,2，则g(x)1，因为x1,2，所以g(x)0，即g(x)在1,2上单调递增，所以g(x)maxg(2)1.所以实数k的取值范围为.利用导数求函数的最值例(16分)已知函数f(x)lnxax(aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a0时，求函数f(x)在1,2上的最小值规范解答解(1)f(x)a(x0)，当a0时，f(x)a0，即函数f(x)的单调增区间为(0，)2分当a0时，令f(x)a0，可得x，当0x0；当x时，f(x)0时，函数f(x)的单调增区间为
10、，单调减区间为.7分(2)当1，即a1时，函数f(x)在1,2上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)ln22a.8分当2，即0a时，函数f(x)在1,2上是增函数，所以f(x)的最小值是f(1)a.9分当12，即a1时，函数f(x)在上是增函数，在上是减函数又f(2)f(1)ln2a，10分所以当aln2时，最小值是f(1)a；当ln2a1时，最小值为f(2)ln22a.13分综上可知，当0a0，函数f(x)单调递增，当x(2,2)时，f(x)0，函数f(x)单调递增，所以a2.3函数yxex的最小值是_答案解析因为yxex，所以yexxex(1x)ex.当x1时，y0；当x1时，y0.令
11、f(x)0，得x1.令f(x)0，得0x0，解得c或c0)，则获得最大利润时的年产量为_百万件答案3解析y3x2273(x3)(x3)，当0x0；当x3时，y0)的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范围是_答案解析f(x)3x23a23(xa)(xa)，由f(x)0得xa，当axa时，f(x)a或x0，函数f(x)单调递增，f(x)的极大值为f(a)，极小值为f(a)f(a)a33a3a0且f(a)a33a3a.a的取值范围是.8已知yf(x)是奇函数，当x(0,2)时，f(x)lnxax，当x(2,0)时，f(x)的最小值为1，则a_.答案1解析由题意知，当x(0,2)时，f(x)的最大
12、值为1.令f(x)a0，得x，当0x0；当x时，f(x)0)，则l2a.令l0，得la2lna在上单调递增；令l0)，若函数f(x)在x1处与直线y相切(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在上的最大值解(1)f(x)2bx，函数f(x)在x1处与直线y相切，解得(2)由(1)知，f(x)lnxx2，f(x)x，当xe时，令f(x)0，得x1，令f(x)0，得1xe，f(x)在上单调递增，在(1，e上单调递减，f(x)maxf(1).12已知函数f(x)(1)求f(x)在区间(，1)上的极小值和极大值点；(2)求f(x)在1，e(e为自然对数的底数)上的最大值解(1)当x1时，f(x)3
13、x22xx(3x2)，令f(x)0，解得x0或x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0f(x)00f(x)极小值极大值故当x0时，函数f(x)取得极小值f(0)0，函数f(x)的极大值点为x.(2)当1x0时，f(x)在1，e上单调递增，则f(x)在1，e上的最大值为f(e)a.故当a2时，f(x)在1，e上的最大值为a；当a0，g(x)exx22单调递增，所以g(x)mine1，g(x)maxe22.所以eme1或me.15已知函数f(x)xlnxmex(e为自然对数的底数)有两个极值点，则实数m的取值范围是_答案解析f(x)xln xmex(x0)，f(x)ln x
14、1mex(x0)，由函数f(x)有两个极值点可得ym和g(x)在(0，)上有两个交点，g(x)(x0)，令h(x)ln x1，则h(x)0，h(x)在(0，)上单调递减且h(1)0，当x(0,1时，h(x)0，即g(x)0，g(x)在(0,1上单调递增，g(x)g(1)，当x(1，)时，h(x)0，即g(x)0，g(x)在(1，)上单调递减，故g(x)maxg(1)，而当x0时，g(x)，当x时，g(x)0；若ym和g(x)的图象在(0，)上有两个交点，只需0m，故m0.16已知函数f(x)axlnx，x(0，e的最小值是2，求正实数a的值解因为f(x)a，所以当0e时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)minf1ln a2，解得ae，满足条件；当e时，f(x)在(0，e上单调递减，f(x)minf(e)ae12，解得a(舍去)综上，正实数a的值为e.15
