高考文科数学命题热点名师解密专题:导数有关的构造函数方法

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1、专题 07 导数有关的构造函数方法一知识点基本初等函数的导数公式(1)常用函数的导数(C)_( C 为常数); ( x)_;(x 2)_; _;(1x)( ) _x(2)初等函数的导数公式(x n)_; (sin x) _;(cos x)_; (e x)_;(a x)_; (ln x)_;(log ax)_5导数的运算法则(1)f(x)g(x) _;(2)f(x)g(x)_;(3) _f(x)g(x)6复合函数的导数(1)对于两个函数 yf(u)和 ug(x),如果通过变量 u,y 可以表示成 x 的函数,那么称这两个函数(函数yf(u)和 ug(x)的复合函数为 yf( g(x)(2)复合函

2、数 yf(g( x)的导数和函数 yf (u),ug(x) 的导数间的关系为_,即 y 对 x的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积二题型分析1.构造多项式函数2.构造三角函数型3.构造 形式的函数xe4.构造成积的形式5.与 有关的构造ln6.构造成商的形式7.对称问题(一)构造多项式函数例 1已知函数 fxR满足 1fl,且 fx的导函数 12fx,则 12xf的解集为( )A. B.|x C. D. |1【答案】D【解析】令 ,则 ,所 以函数 Fx在定义域上为单调递减函数,因为 12xf,所以 ,即 ,根据函数 在定义域上单调递减,可知,故选 D.考点:函数的单调性

3、与导数的关系.【方法点晴】本题主要考查了函数的单调性与函数的导数之间的关系,其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值与最值等知 识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及转化与化归思想的应用,本题的解答中根据题设条件,构造新函数 Fx,利用新函数的性质是解答问题的关键,属于中档试题.练习 1.设函数 ()fx在 R上存在导函数 ()fx,对于任意的实数 x,都有 ,当(,0)x时, .若 ,则实数 m的取值范围是( )A 12 B 3,)2 C 1,) D 2,)【答案】A考点:导数在函数单调性中的应用. 【思路点睛】因为 ,设 ,则 ,可得()gx为

4、奇函数,又 ,得 ()gx在 ,0)上是减函数,从而在 R上是减函数,在根据函数的奇偶性和单调性可得 ,由此即可求出结果.练习 2.设奇函数 在 上存在导数 ,且在 上 ,若 ,则实数 的取值范围为( )A BC D【答案】B【解析】令 ,因为 ,所以函数 的奇函数,因为 时, ,所以函数 在 为减函数,又题意可知,所以函数 在 上为减函数,所以 ,即,所以 ,所以 ,故选 B.考点:函数的奇偶性及其应用.【方法点晴】本题主要考查了函数的奇偶性及其应用,其中解答中涉及到利用导数求函数的单调性、利用导数研究函数的极值、以及函数的奇偶性的判定等知识点的综合考查,着重考查了转化与化归的思想方法,以及

5、学生的推理与运算能力,属于中档试题,解答中得出函数的奇函数和函数的单调性是解答的关键.练习 3.设函数 ()fx在 R上存在导函数 ()fx,对任意 R,都有 ,且 (0,)x时,()fx,若 ,则实数 a的取值范围是( )A 1, B ,1 C ,2 D 2,【答案】B【解析】令 ,则 ,则 ,得 ()gx为 R上的奇函数 0x时, ,故 ()gx在 0,)单调递增,再结合0及 ()为奇函数,知 ()g在 ,)为增函数,又则,即 ,1a故选 B考点:函数的单调性及导数的应用.【方法点晴】本题考查了利用导数研究函数的单调性,然后构造函数,通过新函数的性质把已知条件转化为关于 a的不等式来求解.

6、本题解答的关键是由已知条件 ()fx进行联想,构造出新函数,然后结合 来研究函数 g的奇偶性和单调性,再通过要解的不等式 构造 ,最终得到关于 a的不等式,解得答案.(二)构造三角函数型例 2已知函数 fx的定义域为 R, fx为函数 fx的导函数,当 0,x时,且 , .则下列说法一定正确的是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】令 ,则 .因为当 0,x时,即 ,所以 ,所以在 0,x上单调递增.又 xR, ,所以,所以 ,故为奇函数,所以 在 上单调递增,所以.即 ,故选 B.考点:(1)利用导数研究函数的单调性;(2)函数的综合应用.练习 1已知函数 )(xfy对任意的 满足 (

7、其中 )(xf是函数)(xf的导函数) ,则下列不等式成立的是( )A BC D【答案】A【解析】构造函数 ,则 ,即函数 g(x)在 单调递增,则 , ,即 ,故 A 正确 ,即考点:利用导数研究函数的单调性练习 2定义在 )2,0(上的函数 )(xf, f是它的导函数,且恒有 成立,则( )A.B.C D.【答案】D【解析】在区间 0,2上,有 ,即 令,则 ,故 Fx在区间 0,2上单调递增.令 ,则有 ,D 选项正确.考点:1、函数导数;2、构造函数法【思路点晴】本题有两个要点,第一个要点是“切化弦”,在不少题目中,如果遇到 tanx,往往转化为sincox来思考;第二个要点是构造函数

8、法,题目中 ,可以化简为,这样我们就可以构造一个除法的函数 ,而选项正好是判断单调性的问题,顺势而为.(三)构造 形式的函数 xe例 3已知函数 f的导数为 fx ,且 对 xR恒成立,则下列函数在实数集内一定是增函数的为( )A. fx B. f C.e D. xe【答案】D【解析】设 ,则 .对 Rx恒成立,且 0xe. 在 R上递增,故选 D.考点:1、函数的求导法则;2、利用导数研究函数的单调性.练习 1. 设函数 )(f是函数 的导函数, 1)0(f,且 ,则的解集为( )A. ),34ln( B. ),32ln( C. ),23( D. ),3(e【答案】B【解析】依题意 ,构造函

9、数 ,由 ,得 , ln23x考点:函数导数,构造函数法【思路点晴】本题考查导函数的概念,基本初等函数和复合函数的求导,对数的运算及对数函数的单调性.构造函数法是在导数题目中一个常用的解法.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题,可参变分离,转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题,往往可利用参变分离的方法,转化为求函数最值处理练习 2.已知 fx定义在 R上的函数, fx是 f的导函数,若 ,且 02f,则不等式 (其中 e为自然对数的底数)的解集是( )A B 1, C 0, D【答案】C考点:利用导数研究函数的单调性.【方法点晴】本题考查函数单调性与奇偶性的

10、结合,结合已知条件构造函数,然后用导数判断函数的单调性是解题 的关键,属于中档题结合已知条件中的 以及所求结论 可知应构造函数 ,利用导数研究 xgy的单调性,结合原函数的性质和函数值,即可求解.练习 3定义在 R上的函数 fx的导函数为 f,若对任意实数 ,有 ,且 1fx为奇函数,则不等式 的解集是( )A ,0 B 0, C 1,e D 1,e【答案】B【解析】设 由 ,得 ,故函数 gx在 R上单调递减由 1fx为奇函数 01f,所以 不等式等价于 xfe,即 ,结合函数 gx的单调性可得 0x,从而不等式的解集为 0,,故答案为 B.考点:利用导数研究函数的单调性. 【方法点晴】本题

11、考查了导数的综合应用及函数的性质的应用,构造函数的思想,阅读分析问题的能力,属于中档题常见的构造思想是使含有导数的不等式一边变为 0,即 得 ,当是形如 时构造 ;当是 时构造 ,在本题中令 , ( Rx) ,从而求导 0xg,从而可判断 xgy单调递减,从而可得到不等式的解集练习 4.已知定义在 上的可导函数 f的导函数 f,满足 ,且 2fx为偶函数,41f,则不等式 xfe的解集为( )A 2, B 4, C 1, D 0,【答案】D【解析】设 ,则函数 gx( ) 是 R上的减函数,函数 2f是偶函数,函数函数关于 2x对称, 原不等式等价为 1gx( ) , 不等式 fe等价 ( )

12、 , 即 x( ) 是 R上的减函数, 0 不等式 xfe式的解集为 0,选 D考点:利用导数研究函数的性质【名师点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用函数的单调性求解不等式,体现了数学转化思想方法,属于中档题解题时根据题意构造函数 是解题的关键练习 5设函数 ()fx是函数 的导函数, 1)0(f,且 ,则的解集是( )A. ln4,3 B. ln2,3 C.3,2D. ,3e【答案】B【解析】设 ,则 ,所以( c为常数) ,则 ,由, 2c,所以 ,又由 ,所以即 ()3fx,即 321xe,解得 ln23x故选 B(四)构造成积的形式例 4已知定义在 R上的函数 yfx满足:函

13、数 yfx的图象关于直线 1x对称,且当,0x时, ( f是函数 f的导函数)成立若 , ,则 a, b, c的大小关系是( )A abc B bac C D 【答案】A【解析】易知 xf关于 y轴对称,设 ,当 0,x时, ,F在 0,上为递减函数,且 xF为奇函数, F在 R上是递减函数.,即cba,故选 A.考点:函数的性质.【方法点睛】本题考查学生的是函数的性质,属于中档题目.从选项可以看出,要想比较 cba,的大小关系,需要构造新函数 ,通过已知函数 xf的奇偶性,对称性和单调性,判断 xF的各种性质,可得xF在 R上是递减函数.因此只需比较自变量的大小关系,通过分别对各个自变量与临

14、界值 10作比较,判断出三者的关系,即可得到函数值得大小关系.练习 1.设函数 ()fx是定义在 (,0)上的可导函数,其导函数为 ()fx,且有 ,则不等式 的解集为( )A B C (2018,) D (2016,)【答案】B【解析】构造函数 , ,由于 ,故, Fx为减函数.原不等式即 ,故.考点:函数导数与不等式,构造函数【思路点晴】本题考查函数导数与不等式,构造函数法.是一个常见的题型,题目给定一个含有导数的条件,这样我们就可以构造函数 ,它的导数恰好包含这个已知条件,由此可以求出 Fx的单调性,即函数 Fx为减函数.注意到原不等式可以看成 ,利用函数的单调性就可以解出来.练习 2设

15、函数 f是定义在 0,上的可导函数,其导函数为 fx,且有 ,则不等式 的 解集为( )A 01, B ,21 C ,2016 D 2016,【答案】D【解析】函数 fx是定义在 0,上的可导函数, ,函数 2yxf( ) 在 0,上是增函数,不等式的解集为 2016,练习 3.函数 fx是定义在区间 ,上可导函数,其导函数为 fx,且满足 ,则不等式 的解集为( )A BC D【答案】C【解析】由 ,则当 0,x时, ,即,所以函数 ()f为单调 递增函数,由,即 ,所以 ,所以不等式的解集为 ,故选 C.(五)与 有关的构造lnx例 5.已知定义在实数集 R 的函数 ()fx满足 f(1)

16、=4,且 ()fx导函数 ()3fx,则不等式的解集为( )A. (1,) B. (,)e C. (0,) D. (,)e【答案】D【解析】设 t=lnx,则不等式 化为 13)(tf,设 g(x)=f(x)-3x-1,则 。因为 ()3fx,所以 1 时,g(x)3x+1 的解为 x3t+1 的解集为t1.由 lnx1 得 0xe。选 D。考点:函数的单调性与导函数,不等式。练习 1.设 为自然对数的底数.若 ,则( )A BC D【答案】B【解析】由不等式 启发,可构造函数 ,则 ,又由 ,得 ,即 Fx在 0,上为单调递增函数,因为2e,所以 ,即 ,又 ,整理可得, .故正确答案选 B

17、.考点:1.导数的应用;2.函数单调性的应用.【方法点晴】此题主要考查导数在研究函数单调性的应用等方面的知识,属于中高档题.首先根据条件,构造函数 ,对函数 Fx求导,则有 ,可知Fx在 0,上为单调递增函数,又 2e,即 ,化简整理即得正确答案.(六)构造成商的形式例 6.已知 fx在 0,上非负可导,且满足 ,对于任意正数 ,mn,若 ,则必有( )A BC D【答案】D【解析】构造函数 ,则由 可知函数 是单调递减函数,因为 nm,所以 ,即 ,也即 ,因此应选 D考点:导数的运算和灵活运用【易错点晴】本题是一道抽象型的函数性质判断题.考查 的是运用所学知识去分析问题和解决问题的能力.解

18、答本题的难点是不清楚函数的解析式也无法弄清楚,所以具有较大的难度.求解时通过深刻的观察和抽象概括,先构造一个新的函数 ,然后再带该函数进行求导,借助题设中的条件 ,判断出函数 是单调递减函数. 从而运用单调函数的定义使得本题巧妙获解.练习 1.已知函数 yfx是 R上的可导函数,当 0x时,有 ,则函数的零点个数是( )A0 B1 C2 D3【答案】B【解析】令 . ,即当0x时, ,为增函数,当 0x时, ,为减函数,函数 1yx在区间上为增函数,故在区间 ,0上有一个交点.即 的零点个数是 1.考点:1.函数与导数;2.零点.【思路点晴】零点问题一种解法是变为两个函数图象的交点,如本题中的

19、 的零点,可以转化为 ,也就是左右两个函数图象的交点个数,函数 1yx在区间 上为增函数,通过已知条件分析 ,即当 0时,为增函数,当 0x时, ,为减函数,由此判断这两个函数在区间,0上有一个交点.练习 2.已知定义在 R上的函数 ()fx满足 ,当 时,下面选项中最大的一项是( )A ()nfmB C ()mfnD【答案】B【解析】令 ,则 ,又 ,所以最大的一项是 ,选 B.考点:利用导数研究函数单调性【方法点睛】利用导数解抽象函数不等式,实质是利用导数研究对应函数单调性,而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行:如 构造 , 构造, 构造 , 构造 等练习 3.已知 fx是

20、定义在 R上的减函数,而满足 ,其中 fx为 f的导数,则( )A对任意的 B对任意的C当且仅当 D当且仅当【答案】B【解析】由题意 ()0fx恒成立,由 得 令 1x得 ()0f,又()fx为减函数,所以当 1时, ,而当 1x时,由 得 ()fx,从而0f,综上有当 xR时, ()0fx故选 B练习 4.若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(0)=1,其导函数 f(x)满足 f(x)k1,则下列结论中一定错误的是( )A B C D【答案】C【解析】根据导数的概念得出 k1,用 x= 代入可判断出 f( ) ,即可判断答案解;f(x)=f(x)k1, k1,即 k1,当 x= 时,f(

21、 )+1 k= ,即 f( ) 1=故 f( ) ,所以 f( ) ,一定出错,故选:C学科网练习 5.已知奇函数 fx定义域为 为其导函数,且满足以下条件 0x时,; 12f; ,则不等式 24fx的解集为 .【答案】 【解析】 0x时,令 ,又 fx为奇函数,所以 gx为偶函数,因为 ,所以 , ,从而解集为 考点:利用导数解不等式【方法点睛】利用导数解抽象函数不等式,实质是利用导数研究对应函数单调性,而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行:如 构造 , 构造, 构造 , 构造 等(七)对称问题例 7设函数 是 的导数某同学经过探究发现,任意一个三次函数都有对称中心 ,其中 满

22、足 已知函数,则 ( )A B C D【答案】D【方法点睛】本题通过 “三次函数 都有对称中心 ”这一探索性结论考查转化与划归思想及导数的运算、函数对称的性质及求和问题,属于难题遇到探索性结论问题,应耐心读题,分析新结论的特点,弄清新结论的性质,按新结论的要求, “照章办事”,逐条分析、验证、运算,使问题得以解决本题的解答就是根据新结论性质求出 的对称中心后再利用对称性和的练习 1.对于三次函数 ,给出定义:设 fx是函数 yfx的导数,fx是 f的导数,若方程 0fx有实数解 0x,则称点 0,为函数 的 “拐点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.若,请你根据这一发现,则函数 的对称中心为( )A. 1,2 B. 1,2 C. 1,2 D. 1,2 【答案】A【解析】依题意,得由 f(x )=0,即 2x-1=0 x= 12,又 f( )=1,函数 对称中心为 1,2

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