1、专题 07 导数有关的构造函数方法一知识点基本初等函数的导数公式(1)常用函数的导数(C)_( C 为常数); ( x)_；(x 2)_； _；(1x)( ) _x(2)初等函数的导数公式(x n)_； (sin x) _；(cos x)_； (e x)_；(a x)_； (ln x)_；(log ax)_5导数的运算法则(1)f(x)g(x) _；(2)f(x)g(x)_；(3) _f（x）g（x）6复合函数的导数(1)对于两个函数 yf(u)和 ug(x)，如果通过变量 u，y 可以表示成 x 的函数，那么称这两个函数(函数yf(u)和 ug(x)的复合函数为 yf( g(x)(2)复合函
2、数 yf(g( x)的导数和函数 yf (u)，ug(x) 的导数间的关系为_，即 y 对 x的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积二题型分析1.构造多项式函数2.构造三角函数型3.构造 形式的函数xe4.构造成积的形式5.与 有关的构造ln6.构造成商的形式7.对称问题（一）构造多项式函数例 1已知函数 fxR满足 1fl，且 fx的导函数 12fx，则 12xf的解集为（ ）A. B.|x C. D. |1【答案】D【解析】令 ，则 ，所 以函数 Fx在定义域上为单调递减函数，因为 12xf，所以 ，即 ，根据函数 在定义域上单调递减，可知，故选 D.考点：函数的单调性
3、与导数的关系.【方法点晴】本题主要考查了函数的单调性与函数的导数之间的关系，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值与最值等知 识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中根据题设条件，构造新函数 Fx，利用新函数的性质是解答问题的关键，属于中档试题.练习 1.设函数 ()fx在 R上存在导函数 ()fx，对于任意的实数 x，都有 ，当(,0)x时， .若 ，则实数 m的取值范围是（ ）A 12 B 3,)2 C 1,) D 2,)【答案】A考点：导数在函数单调性中的应用. 【思路点睛】因为 ，设 ，则 ，可得()gx为
4、奇函数，又 ，得 ()gx在 ,0)上是减函数，从而在 R上是减函数，在根据函数的奇偶性和单调性可得 ，由此即可求出结果.练习 2.设奇函数 在 上存在导数 ,且在 上 ,若 ,则实数 的取值范围为（ ）A BC D【答案】B【解析】令 ，因为 ，所以函数 的奇函数，因为 时， ，所以函数 在 为减函数，又题意可知，所以函数 在 上为减函数，所以 ，即，所以 ，所以 ，故选 B.考点：函数的奇偶性及其应用.【方法点晴】本题主要考查了函数的奇偶性及其应用，其中解答中涉及到利用导数求函数的单调性、利用导数研究函数的极值、以及函数的奇偶性的判定等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归的思想方法，以及
5、学生的推理与运算能力，属于中档试题，解答中得出函数的奇函数和函数的单调性是解答的关键.练习 3.设函数 ()fx在 R上存在导函数 ()fx，对任意 R，都有 ，且 (0,)x时，()fx，若 ，则实数 a的取值范围是（ ）A 1, B ,1 C ,2 D 2,【答案】B【解析】令 ，则 ，则 ，得 ()gx为 R上的奇函数 0x时， ，故 ()gx在 0,)单调递增，再结合0及 ()为奇函数，知 ()g在 ,)为增函数，又则，即 ,1a故选 B考点：函数的单调性及导数的应用.【方法点晴】本题考查了利用导数研究函数的单调性，然后构造函数，通过新函数的性质把已知条件转化为关于 a的不等式来求解.
6、本题解答的关键是由已知条件 ()fx进行联想，构造出新函数，然后结合 来研究函数 g的奇偶性和单调性，再通过要解的不等式 构造 ，最终得到关于 a的不等式，解得答案.（二）构造三角函数型例 2已知函数 fx的定义域为 R, fx为函数 fx的导函数，当 0,x时，且 ， .则下列说法一定正确的是（ ）A. B.C. D.【答案】B【解析】令 ，则 .因为当 0,x时，即 ，所以 ，所以在 0,x上单调递增.又 xR， ，所以，所以 ，故为奇函数，所以 在 上单调递增，所以.即 ，故选 B.考点：（1）利用导数研究函数的单调性；（2）函数的综合应用.练习 1已知函数 )(xfy对任意的 满足 （
7、其中 )(xf是函数)(xf的导函数） ，则下列不等式成立的是（ ）A BC D【答案】A【解析】构造函数 ，则 ，即函数 g（x）在 单调递增，则 ， ，即 ，故 A 正确 ，即考点：利用导数研究函数的单调性练习 2定义在 )2,0(上的函数 )(xf， f是它的导函数，且恒有 成立，则（ ）A.B.C D.【答案】D【解析】在区间 0,2上，有 ，即 令，则 ，故 Fx在区间 0,2上单调递增.令 ，则有 ，D 选项正确.考点：1、函数导数；2、构造函数法【思路点晴】本题有两个要点，第一个要点是“切化弦”，在不少题目中，如果遇到 tanx，往往转化为sincox来思考；第二个要点是构造函数
8、法，题目中 ，可以化简为，这样我们就可以构造一个除法的函数 ，而选项正好是判断单调性的问题，顺势而为.（三）构造 形式的函数 xe例 3已知函数 f的导数为 fx ，且 对 xR恒成立，则下列函数在实数集内一定是增函数的为（ ）A. fx B. f C.e D. xe【答案】D【解析】设 ，则 .对 Rx恒成立，且 0xe. 在 R上递增，故选 D.考点：1、函数的求导法则；2、利用导数研究函数的单调性.练习 1. 设函数 )(f是函数 的导函数， 1)0(f，且 ，则的解集为（ ）A. ),34ln( B. ),32ln( C. ),23( D. ),3(e【答案】B【解析】依题意 ，构造函
9、数 ，由 ，得 ， ln23x考点：函数导数，构造函数法【思路点晴】本题考查导函数的概念，基本初等函数和复合函数的求导，对数的运算及对数函数的单调性.构造函数法是在导数题目中一个常用的解法.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理练习 2.已知 fx定义在 R上的函数， fx是 f的导函数，若 ，且 02f，则不等式 （其中 e为自然对数的底数）的解集是（ ）A B 1, C 0, D【答案】C考点：利用导数研究函数的单调性.【方法点晴】本题考查函数单调性与奇偶性的
10、结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题 的关键，属于中档题结合已知条件中的 以及所求结论 可知应构造函数 ，利用导数研究 xgy的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解.练习 3定义在 R上的函数 fx的导函数为 f，若对任意实数 ，有 ，且 1fx为奇函数，则不等式 的解集是（ ）A ,0 B 0, C 1,e D 1,e【答案】B【解析】设 由 ，得 ，故函数 gx在 R上单调递减由 1fx为奇函数 01f，所以 不等式等价于 xfe，即 ，结合函数 gx的单调性可得 0x，从而不等式的解集为 0,，故答案为 B.考点：利用导数研究函数的单调性. 【方法点晴】本题
11、考查了导数的综合应用及函数的性质的应用，构造函数的思想，阅读分析问题的能力，属于中档题常见的构造思想是使含有导数的不等式一边变为 0，即 得 ，当是形如 时构造 ；当是 时构造 ，在本题中令 ， （ Rx） ，从而求导 0xg，从而可判断 xgy单调递减，从而可得到不等式的解集练习 4.已知定义在 上的可导函数 f的导函数 f，满足 ，且 2fx为偶函数，41f，则不等式 xfe的解集为（ ）A 2, B 4, C 1, D 0,【答案】D【解析】设 ，则函数 gx（ ） 是 R上的减函数，函数 2f是偶函数，函数函数关于 2x对称， 原不等式等价为 1gx（ ） ， 不等式 fe等价 （ ）
12、 ， 即 x（ ） 是 R上的减函数， 0 不等式 xfe式的解集为 0,选 D考点：利用导数研究函数的性质【名师点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用函数的单调性求解不等式，体现了数学转化思想方法，属于中档题解题时根据题意构造函数 是解题的关键练习 5设函数 ()fx是函数 的导函数， 1)0(f，且 ，则的解集是（ ）A. ln4,3 B. ln2,3 C.3,2D. ,3e【答案】B【解析】设 ，则 ，所以（ c为常数） ，则 ，由， 2c，所以 ，又由 ，所以即 ()3fx，即 321xe，解得 ln23x故选 B（四）构造成积的形式例 4已知定义在 R上的函数 yfx满足：函
13、数 yfx的图象关于直线 1x对称，且当,0x时， （ f是函数 f的导函数）成立若 ， ，则 a， b， c的大小关系是（ ）A abc B bac C D 【答案】A【解析】易知 xf关于 y轴对称,设 ,当 0,x时, ,F在 0,上为递减函数,且 xF为奇函数, F在 R上是递减函数.,即cba,故选 A.考点：函数的性质.【方法点睛】本题考查学生的是函数的性质,属于中档题目.从选项可以看出,要想比较 cba,的大小关系,需要构造新函数 ,通过已知函数 xf的奇偶性,对称性和单调性,判断 xF的各种性质,可得xF在 R上是递减函数.因此只需比较自变量的大小关系,通过分别对各个自变量与临
14、界值 10作比较,判断出三者的关系,即可得到函数值得大小关系.练习 1.设函数 ()fx是定义在 (,0)上的可导函数，其导函数为 ()fx，且有 ，则不等式 的解集为（ ）A B C (2018,) D (2016,)【答案】B【解析】构造函数 ， ，由于 ，故， Fx为减函数.原不等式即 ，故.考点：函数导数与不等式，构造函数【思路点晴】本题考查函数导数与不等式，构造函数法.是一个常见的题型，题目给定一个含有导数的条件，这样我们就可以构造函数 ，它的导数恰好包含这个已知条件，由此可以求出 Fx的单调性，即函数 Fx为减函数.注意到原不等式可以看成 ，利用函数的单调性就可以解出来.练习 2设
15、函数 f是定义在 0,上的可导函数，其导函数为 fx，且有 ，则不等式 的 解集为（ ）A 01, B ,21 C ,2016 D 2016,【答案】D【解析】函数 fx是定义在 0,上的可导函数， ，函数 2yxf（ ） 在 0,上是增函数，不等式的解集为 2016,练习 3.函数 fx是定义在区间 ,上可导函数，其导函数为 fx，且满足 ，则不等式 的解集为（ ）A BC D【答案】C【解析】由 ，则当 0,x时， ，即，所以函数 ()f为单调 递增函数，由，即 ，所以 ，所以不等式的解集为 ，故选 C.（五）与 有关的构造lnx例 5.已知定义在实数集 R 的函数 ()fx满足 f（1）
16、=4,且 ()fx导函数 ()3fx，则不等式的解集为（ ）A. (1,) B. (,)e C. (0,) D. (,)e【答案】D【解析】设 t=lnx,则不等式 化为 13)(tf，设 g(x)=f(x)-3x-1,则 。因为 ()3fx，所以 1 时，g(x)3x+1 的解为 x3t+1 的解集为t1.由 lnx1 得 0xe。选 D。考点：函数的单调性与导函数，不等式。练习 1.设 为自然对数的底数.若 ，则（ ）A BC D【答案】B【解析】由不等式 启发，可构造函数 ，则 ，又由 ，得 ，即 Fx在 0,上为单调递增函数，因为2e，所以 ，即 ，又 ，整理可得， .故正确答案选 B
17、.考点：1.导数的应用；2.函数单调性的应用.【方法点晴】此题主要考查导数在研究函数单调性的应用等方面的知识，属于中高档题.首先根据条件，构造函数 ，对函数 Fx求导，则有 ，可知Fx在 0,上为单调递增函数，又 2e，即 ，化简整理即得正确答案.（六）构造成商的形式例 6.已知 fx在 0,上非负可导，且满足 ，对于任意正数 ,mn，若 ，则必有（ ）A BC D【答案】D【解析】构造函数 ,则由 可知函数 是单调递减函数,因为 nm,所以 ,即 ,也即 ,因此应选 D考点：导数的运算和灵活运用【易错点晴】本题是一道抽象型的函数性质判断题.考查 的是运用所学知识去分析问题和解决问题的能力.解
18、答本题的难点是不清楚函数的解析式也无法弄清楚,所以具有较大的难度.求解时通过深刻的观察和抽象概括,先构造一个新的函数 ,然后再带该函数进行求导,借助题设中的条件 ,判断出函数 是单调递减函数. 从而运用单调函数的定义使得本题巧妙获解.练习 1.已知函数 yfx是 R上的可导函数，当 0x时，有 ，则函数的零点个数是（ ）A0 B1 C2 D3【答案】B【解析】令 . ，即当0x时， ，为增函数，当 0x时， ，为减函数，函数 1yx在区间上为增函数，故在区间 ,0上有一个交点.即 的零点个数是 1.考点：1.函数与导数；2.零点.【思路点晴】零点问题一种解法是变为两个函数图象的交点，如本题中的
19、 的零点，可以转化为 ，也就是左右两个函数图象的交点个数，函数 1yx在区间 上为增函数，通过已知条件分析 ,即当 0时，为增函数，当 0x时， ，为减函数，由此判断这两个函数在区间,0上有一个交点.练习 2.已知定义在 R上的函数 ()fx满足 ，当 时，下面选项中最大的一项是（ ）A ()nfmB C ()mfnD【答案】B【解析】令 ，则 ，又 ，所以最大的一项是 ，选 B.考点：利用导数研究函数单调性【方法点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如 构造 ， 构造， 构造 ， 构造 等练习 3.已知 fx是
20、定义在 R上的减函数，而满足 ，其中 fx为 f的导数，则（ ）A对任意的 B对任意的C当且仅当 D当且仅当【答案】B【解析】由题意 ()0fx恒成立，由 得 令 1x得 ()0f，又()fx为减函数，所以当 1时， ，而当 1x时，由 得 ()fx，从而0f，综上有当 xR时， ()0fx故选 B练习 4.若定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（0）=1，其导函数 f（x）满足 f（x）k1，则下列结论中一定错误的是（ ）A B C D【答案】C【解析】根据导数的概念得出 k1，用 x= 代入可判断出 f（ ） ，即可判断答案解；f（x）=f（x）k1， k1，即 k1，当 x= 时，f（
21、 ）+1 k= ，即 f（ ） 1=故 f（ ） ，所以 f（ ） ，一定出错，故选：C学科网练习 5.已知奇函数 fx定义域为 为其导函数,且满足以下条件 0x时,； 12f； ,则不等式 24fx的解集为 .【答案】 【解析】 0x时，令 ，又 fx为奇函数，所以 gx为偶函数，因为 ，所以 ， ，从而解集为 考点：利用导数解不等式【方法点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如 构造 ， 构造， 构造 ， 构造 等（七）对称问题例 7设函数 是 的导数某同学经过探究发现，任意一个三次函数都有对称中心 ，其中 满
22、足 已知函数，则 （ ）A B C D【答案】D【方法点睛】本题通过 “三次函数 都有对称中心 ”这一探索性结论考查转化与划归思想及导数的运算、函数对称的性质及求和问题，属于难题遇到探索性结论问题，应耐心读题，分析新结论的特点，弄清新结论的性质，按新结论的要求， “照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决本题的解答就是根据新结论性质求出 的对称中心后再利用对称性和的练习 1.对于三次函数 ，给出定义：设 fx是函数 yfx的导数，fx是 f的导数，若方程 0fx有实数解 0x，则称点 0,为函数 的 “拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若，请你根据这一发现，则函数 的对称中心为（ ）A. 1,2 B. 1,2 C. 1,2 D. 1,2 【答案】A【解析】依题意，得由 f（x ）=0，即 2x-1=0 x= 12，又 f（ ）=1，函数 对称中心为 1,2
