1、第 1 页 共 8 页 二次函数全章复习与巩固二次函数全章复习与巩固知识讲解知识讲解（基础）（基础） 【学习目标】【学习目标】 1通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义； 2会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质； 3会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际 问题； 4会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 【知识网络】【知识网络】 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、要点一、二次函数的定义二次函数的定义 一般地，如果是常数，那么叫做的二次函数. 要点诠释：要点诠释： 如果 y=ax 2+bx+c
2、(a,b,c 是常数，a0)，那么 y 叫做 x 的二次函数这里，当 a=0 时就不是二次函 数了，但 b、c 可分别为零，也可以同时都为零a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. 要点二、要点二、二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质 1.1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ；， 其中；.（以上式子 a0） 几种特殊的二次函数的图象特征如下： 第 2 页 共 8 页 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 当时 开口向上 当时 开口向下 (轴) (0，0) (轴) (0，) (，0) (，) () 2.2.抛物线的三要素：抛物线的三要素：
3、开口方向、对称轴、顶点. (1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛 物线的开口大小、形状相同. (2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线. 3 3. .抛物线抛物线 2 0()yaxbxc a中，中，, , a b c的作用：的作用： (1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样. (2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线， 故：时，对称轴为轴；(即、同号)时，对称轴在轴左侧；(即 、异号)时，对称轴在轴右侧. (3)的大小决定抛物线与轴交点的位置. 当时，抛物线与轴有且只有一个交点(0，)： ，抛物线经过原点； ，与轴交于
4、正半轴；，与轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 . 4.4.用待定系数法求二次函数的解析式：用待定系数法求二次函数的解析式： (1)一般式：（a0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式. (2)顶点式：（a0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式. (可以看成的图象平移后所对应的函数.) 第 3 页 共 8 页 (3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式： （a0）.(由此得根与系数的关系：). 要点诠释：要点诠释： 求抛物线 2 yaxbxc（a0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法， 这三种
5、方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用 要点三、要点三、二次函数与一元二次方程的关系二次函数与一元二次方程的关系 函数，当时，得到一元二次方程，那么一 元二次方程的解就是二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与 x 轴的交点情况决定一 元二次方程根的情况. (1)当二次函数的图象与 x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根； (2)当二次函数的图象与 x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根； (3)当二次函数的图象与 x 轴没有交点，这时，则方程没有实根. 通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系： 的图象 的解 方程有两个不等实数
6、解 方程有两个相等实数解 方程没有实数解 要点诠释：要点诠释： 二次函数图象与 x 轴的交点的个数由的值来确定. (1)当二次函数的图象与 x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根； (2)当二次函数的图象与 x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根； (3)当二次函数的图象与 x 轴没有交点，这时，则方程没有实根. 要点四、要点四、利用二次函数解决实际问题二次函数解决实际问题 第 4 页 共 8 页 利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在 的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际
7、 问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： (1)建立适当的平面直角坐标系； (2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线的关系式； (4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题. 要点诠释：要点诠释： 常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物 线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数 关系式. 【典型典型例题】例题】 类型一、求二次函数的解析式类型一、求二次函数的解析式 1已知二次函数的图象经过原点及点 11
8、 , 24 ，且图象与 x 轴的另一交点到原点的距离为 1， 则该二次函数的解析式为_ _ 【答案】 2 11 33 yxx 或 2 yxx 【解析】 正确找出图象与 x 轴的另一交点坐标是解题关键 由题意知另一交点为(1，0)或(-1，0) 因此所求抛物线的解析式有两种 设二次函数解析式为 2 yaxbxc 则有 0, 111 442 0 c abc abc ，或 0, 111 , 442 0, c abc abc 解之 1 3 1 3 0 a b c ，或 1, 1, 0. a b c 因此所求二次函数解析式为 2 11 33 yxx 或 2 yxx 【点评 此题容易出错漏解的错误 举一反
9、三：举一反三： 【变式】变式】已知：抛物线 y=x 2+bx+c 的对称轴为 x=1，交 x 轴于点 A、B(A 在 B 的左侧)，且 AB=4，交 y 轴 第 5 页 共 8 页 于点 C.求此抛物线的函数解析式及其顶点 M 的坐标. 【答案】对称轴 x=1，且 AB=4 抛物线与 x 轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0) b b=-21 2 c=-3 1 bc0 y=x 2-2x-3 为所求, x=1 时 y=-4 M(1，-4) 对称轴 x=1，且 AB=4 抛物线与 x 轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0) b b=-21 2 c=-3 1 bc0 y=x 2-2x-3 为所求
10、, x=1 时 y=-4 ， M(1，-4). 类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号 2二次函数 2 yaxbxc的图象如图 1 所示，反比例函数 a y x 与正比例函数 y(b+c)x 在同一坐标系中的大致图象可能是( ) 【答案】B； 【解析】由 2 yaxbxc的图象开口向上得 a0，又0 2 b a ， b0 由抛物线与 y 轴负半轴相交得 c0 a0， a y x 的图象在第一、三象限 b+c0， y(b+c)x 的图象在第二、四象限 同时满足 a y x 和()ybc x图象的只有 B 第 6 页 共 8 页 【点评】由图
11、1 得到 a、b、c 的符号及其相互关系，去判断选项的正误. 类型三、数形结合类型三、数形结合 3如图所示是二次函数 2 yaxbxc图象的一部分，其对称轴为直线 x1，若其与 x 轴 一交点为(3，0)，则由图象可知，不等式 2 0axbxc的解集是_ 【思路点拨】 根据抛物线的对称性和抛物线与 x 轴的交点 A 的坐标可知，抛物线与 x 轴的另一个交点的坐标， 观察图象可得不等式 2 0axbxc的解集. 【答案】x3 或 x-1； 【解析】根据抛物线的对称性和抛物线与 x 轴的交点 A(3，0)知，抛物线与 x 轴的另一个交点为(-1，0)， 观察图象可知，不等式 2 0axbxc的解集
12、就是 2 yaxbxc函数值，y0 时，x 的取 值范围当 x3 或 x-1 时，y0，因此不等式 2 0axbxc的解集为 x3 或 x-1 【点评】弄清 2 0axbxc与 2 yaxbxc的关系，利用数形结合在图象上找出不等式 2 0axbxc的解集 类型四、函数与方程类型四、函数与方程 4已知抛物线cxxy 2 2 1 与x轴没有交点 求c的取值范围； 试确定直线1cxy经过的象限，并说明理由 【答案与解析】 （1）抛物线与 x 轴没有交点，0，即 12c0，解得 c 1 2 (2)c 1 2 ，直线 y= 1 2 x1 随 x 的增大而增大， b=1，直线 y= 1 2 x1 经过第
13、一、二、三象限. 【点评】抛物线cxxy 2 2 1 与x轴没有交点，0，可求c的取值范围. 举一反三：举一反三： 第 7 页 共 8 页 【变式变式 1 1】无论 x 为何实数，二次函数的图象永远在 x 轴的下方的条件是( ) A B C D 【答案】二次函数的图象与 x 轴无交点，则说明 y=0 时，方程无解， 即又图象永远在 x 轴下方，则 答案：B 【变式变式 2 2】 对于二次函数， 我们把使函数值等于 0 的实数 x 叫做这个函数的零点， 则二次函数(m 为实数)的零点的个数是( ) A1 B2 C0 D不能确定 【答案】当 y=0 时， ， 即二次函数的零点个数是 2 故选 B.
14、 类型五、分类讨论类型五、分类讨论 5已知点 A(1，1)在二次函数 2 2yxaxb的图象上 (1)用含 a 的代数式表示 b； (2)如果该二次函数的图象与 x 轴只有一个交点，求这个二次函数的图象的顶点坐标 【思路点拨】 (1)将 A(1，1)代入函数解析式(2)由b 2-4ac0 求出 a 【答案与解析】 (1)因为点 A(1，1)在二次函数 2 2yxaxb的图象上，所以 11-2a+b，所以 b2a (2)根据题意，方程 2 20xaxb有两个相等的实数根，所以 22 44480abaa， 解得 a0 或 a2 当 a0 时，yx 2，这个二次函数的图象的顶点坐标是(0，0) 当
15、a2 时， 22 44(2)yxxx， 这个二次函数的图象的顶点坐标为(2，0) 所以，这个二次函数的图象的顶点坐标为(0，0)或(2，0) 【点评】二次函数 2 yaxbc (0)a 的图象与 x 轴只有一个交点时，方程 2 0axbxc有两个 第 8 页 共 8 页 相等的实数根，所以 2 40bac 类型六、二次函数与实际问题类型六、二次函数与实际问题 6为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的 农户实行政府补贴规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数 y(台)与补贴 款额 x(元)之间大致满足图 1 所示的一次函数关系随着补
16、贴款额 x 的不断增大，销售量也不断增大， 但每台彩电的收益 z(元)会相应降低且 z 与 x 之间也大致满足图 2 所示的一次函数关系 (1)在政府出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元? (2)在政府补贴政策实施后， 分别求出该商场销售彩电台数 y 和每台家电的收益 z 与政府补贴款额 x 之间的函数关系式； (3)要使该商场销售彩电的总收益(元)最大，政府应将每台补贴款额 x 定为多少?并求出总收益 的最大值 【思路点拨】 (2)依题意设 yk1x+800，zk2x+200分别将(400，1200)和(200，160)代入两式求出 k1、k2； (3)由题意yz 【答案与解析】 (1)在政府出台补贴措施前，该商场销售家电的总收益为 800200160 000(元) (2)依题意可设 yk1x+800，zk2x+200，则有 400k1+8001200，200k 2+200160， 解得 k11， 2 1 5 k ，所以 yx+800， 1 200 5 zx (3) 2 11 (800)200(100)162000 55 yzxxx 政府应将每台补贴款额 x 定为 100 元，总收益有最大值，其最大值为 162000 元 【点评】求最大值问题一般需列出二次函数关系式
