1、第 1 页 共 8 页 二次函数二次函数 y=axy=ax 2 2+bx+c(a +bx+c(a0)0)的图的图象象与性质与性质知识讲解知识讲解（提高）（提高） 【学习目标】【学习目标】 1. 会用描点法画二次函数 2 (0)yaxbxc a的图象； 会用配方法将二次函数 2 yaxbxc的解 析式写成 2 ()ya xhk的形式； 2.通过图象能熟练地掌握二次函数 2 yaxbxc的性质； 3.经历探索 2 yaxbxc与 2 ()ya xhk的图象及性质紧密联系的过程， 能运用二次函数的图象 和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想 【要点梳理】【要点梳理】 要点一
2、、要点一、二次函数二次函数 2 (0)yaxbxc a与与 2 ()(0)ya xhk a之间的相互关系之间的相互关系 1.1.顶点式化成一般式顶点式化成一般式 从函数解析式 2 ()ya xhk我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称 2 ()ya xhk为顶点式，将顶点式 2 ()ya xhk去括号，合并同类项就可化成一般式 2 yaxbxc 2.2.一般式化成顶点式一般式化成顶点式 22 222 22 bbbb yaxbxca xxca xxc aaaa 2 2 4 24 bacb a x aa 对照 2 ()ya xhk，可知 2 b h a ， 2 4 4 acb k a
3、抛物线 2 yaxbxc的对称轴是直线 2 b x a ，顶点坐标是 2 4 , 24 bacb aa 要点诠释：要点诠释： 1抛物线 2 yaxbxc的对称轴是直线 2 b x a ，顶点坐标是 2 4 , 24 bacb aa ，可以当作公 式加以记忆和运用 2求抛物线 2 yaxbxc的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这 三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用 第 2 页 共 8 页 要点二、要点二、二次函数二次函数 2 (0)yaxbxc a的图的图象象的画法的画法 1.1.一般方法：列表、描点、连线；一般方法：列表、描点、连线； 2.2.简易画法：
4、五点定形法简易画法：五点定形法. . 其步骤为： (1)先根据函数解析式， 求出顶点坐标和对称轴， 在直角坐标系中描出顶点 M， 并用虚线画出对称轴 (2)求抛物线 2 yaxbxc与坐标轴的交点， 当抛物线与 x 轴有两个交点时，描出这两个交点 A、B 及抛物线与 y 轴的交点 C，再找到点 C 关于对 称轴的对称点 D，将 A、B、C、D 及 M 这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来 要点诠释：要点诠释： 当抛物线与 x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与 y 轴的交点 C 及对称点 D，由 C、M、D 三 点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一
5、对对称点 A、B，然后 顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象， 要点三、要点三、二次函数二次函数 2 (0)yaxbxc a的图的图象象与性质与性质 1.1.二次函数二次函数 2 0()yaxbxc a图图象与象与性质性质 函数 二次函数 2 yaxbxc（a、b、c 为常数，a0） 图象 0a 0a 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 2 b x a 直线 2 b x a 顶点坐标 2 4 , 24 bacb aa 2 4 , 24 bacb aa 增减性 在对称轴的左侧， 即当 2 b x a 时， y 随 x 的增 大而减小；在对称轴的右侧，即当 2 b x a 时， y 随 x
6、的增大而增大简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当 2 b x a 时，y 随 x 的增大而增大；在对称轴的右侧， 即当 2 b x a 时，y 随 x 的增大而减 小简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当 2 b x a 时，y 有最小值， 抛物线有最高点，当 2 b x a 时，y 有 第 3 页 共 8 页 2 4 4 acb y a 最小值 最大值， 2 4 4 acb y a 最大值 2.2.二次函数二次函数 2 0()yaxbxc a图图象象的特征与的特征与 a a、b b、c c 及及 b b 2 2- -4ac 4ac 的符号之间的关系的符号之间的关系 项目 字母 字母
7、的符号 图象的特征 a a0 开口向上 a0 开口向下 b ab0(a，b 同号) 对称轴在 y 轴左侧 ab0(a，b 异号) 对称轴在 y 轴右侧 c c=0 图象过原点 c0 与 y 轴正半轴相交 c0 与 y 轴负半轴相交 b 2-4ac b 2-4ac=0 与 x 轴有唯一交点 b 2-4ac0 与 x 轴有两个交点 b 2-4ac0 与 x 轴没有交点 要点四、要点四、求求二次函数二次函数 2 (0)yaxbxc a的的最大（小）值的方法最大（小）值的方法 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当 2 b x a 时， 2 4 4 acb y a
8、最值 要点诠释：要点诠释： 如果自变量的取值范围是 x1xx2，那么首先要看 2 b a 是否在自变量的取值范围 x1xx2内，若 在此范围内，则当 2 b x a 时， 2 4 4 acb y a 最值 ，若不在此范围内，则需要考虑函数在 x1xx2范围 内的增减性，如果在此范围内，y 随 x 的增大而增大，则当 xx2时， 2 22 yaxbxc 最大值 ；当 xx1 时， 2 11 yaxbxc 最小值 ， 如果在此范围内， y 随 x 的增大而减小， 则当 xx1时， 2 11 =ax +bx +yc 最大值 ； 当 xx2时， 2 22 =ax +bx +yc 最小值 ，如果在此范围
9、内，y 值有增有减，则需考察 xx1，xx2， 2 b x a 时 y 值的情况 第 4 页 共 8 页 【典型典型例题】例题】 类型一、类型一、二次函数二次函数 2 (0)yaxbxc a的图的图象与象与性质性质 1. . 抛物线 2 (1)yxmxm 与 y 轴交于(0，3)点： (1)求出 m 的值并画出这条抛物线； (2)求它与 x 轴的交点和抛物线顶点的坐标； (3)x 取什么值时，抛物线在 x 轴上方？ (4)x 取什么值时，y 的值随 x 值的增大而减小？ 【答案与解析】 (1)由抛物线 2 (1)yxmxm 与 y 轴交于(0，3)可得 m3 抛物线解析式为 2 23yxx ，
10、如图所示 (2)由 2 230xx得 1 1x ， 2 3x 抛物线与 x 轴的交点为(-1，0)、(3，0) 22 23(1)4yxxx ， 抛物线的顶点坐标为(1，4) (3)由图象可知：当-1x3 时，抛物线在 x 轴上方 (4)由图象可知：当 x1 时，y 的值随 x 值的增大而减小 【总结升华】研究函数问题一般都应与图象结合起来，借助于图象的直观性求解更形象与简洁 (1)将点(0，3)代入解析式中便可求出 m 的值，然后用描点法或五点作图法画抛物线； (2)令 y0 可求抛物线与 x 轴的交点，利用配方法或公式法可求抛物线顶点的坐标； (3)、(4)均可利用图象回答，注意形数结合的思
11、想， 举一反三：举一反三： 【变式变式】若二次函数 22 21yaxxa（0a）的图象如图所示，则a的值是 第 5 页 共 8 页 【答案】-1. 类型二、类型二、二次函数二次函数 2 (0)yaxbxc a的最值的最值 2. 分别在下列范围内求函数 2 23yxx的最大值或最小值 (1)0x2； (2)2x3 【答案与解析】 22 23(1)4yxxx ， 顶点坐标为(1，-4) (1) x1 在 0x2 范围内，且 a10， 当 x1 时 y 有最小值，4y 最小值 x1 是 0x2 范围的中点，在 x1 两侧图象左右对称，端点处取不到，不存在最大值 (2) x1 不在 2x3 范围内(如
12、图所示)，又因为函数 2 23yxx(2x3)的图象是 抛物线 2 23yxx的一部分，且当 2x3 时，y 随 x 的增大而增大， 当 x3 时， 2 32 3 30y 最大值 ；当 x2 时， 2 22 2 33y 最小值 【总结升华】先求出抛物线 2 23yxx的顶点坐标，然后看顶点的横坐标是否在所规定的自变量的 取值范围内，根据不同情况求解，也可画出图象，借助于图象的直观性求解，如图所示，2x 3 为图中实线部分，易看出 x3 时，0y 最大值 ；x2 时，3y 最小值 x y O 第 6 页 共 8 页 类型三、类型三、二次函数二次函数 2 (0)yaxbxc a性质的综合应用性质的
13、综合应用 3. 某居民小区要在一块一边靠墙(墙长 15m)的空地上修建一个矩形花园 ABCD，花园的一边靠墙， 另三边用总长为 40m 的栅栏围成，如图所示，若设花园的 BC 边长为 x(m)，花园的面积为 y(m 2)： (1)求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； (2)根据(1)中求得的函数关系式，画出函数图象，并结合题意判断当 x 取何值时，花园面积最大， 最大面积为多少？ 【答案与解析】 (1) 花园的长 BCx m，花园的三边总长为 40 m，则花园的宽为 40 2 x m， 2 401 20 22 x yxxx 墙长 15 m， 0x15 (2)根据题意
14、画图(如图所示)由图象可知，当 x15 时，花园面积最大，最大面积为 187.5 m 2 【总结升华】首先根据题意，ABCD，AB+CD+BC40，由 BCx 可表示 40 2 x AB ，再根据 S长 宽建立函数关系式，求最大面积时要结合实际问题中自变量的取值范围，利用二次函数性质求 解 特别提醒：画二次函数图象和求二次函数的最值问题，要根据实际问题中自变量的取值范围解 答，不能盲目认为顶点的纵坐标就是函数的最值 此题在画图象时，易画成如图所示的图象，求最大面积时，易认为 2 1 (20)200 2 yx ， 当 x20 时，200y 最大 出现这种错误的原因在于没有考虑实际问题中自变量的取
15、值范围 第 7 页 共 8 页 4. 一条抛物线 2 yaxbxc经过 A（2，0）和 B（6，0） ，最高点 C 的纵坐标是 1 （1）求这条抛物线的解析式，并用描点法画出抛物线； x y （2） 设抛物线的对称轴与x轴的交点为 D， 抛物线与 y 轴的交点为 E， 请你在抛物线上另找一点 P(除 点 A、B、C、E 外)，先求点 C、A、E、P 分别到点 D 的距离，再求这些点分别到直线2y 的距 离； (3)观察(2)的计算结果，你发现这条抛物线上的点具有何种规律?请用文字写出这个规律 【答案与解析】 (1)由已知可得抛物线的对称轴是4x 最高点 C 的坐标为(4，1) 则 420, 3
16、660, 1641. abc bc abc 解得 1 , 4 2, 3. a b c 所求抛物线的解析式为 2 1 23 4 yxx 列表： x -2 0 2 4 6 8 10 y -8 -3 0 1 0 -3 -8 描点、连线，如图所示： （2）取点（-2，-8）为所要找的点 P，如图所示，运用勾股定理求得 ED5，PD10， 观察图象知 AD2，CD1，点 E、P、A、C 到直线 y2 的距离分别是 5、10、2、1 （3）抛物线上任一点到点 D 的距离等于该点到直线 y2 的距离 【总结升华】(1)描点画图时，应先确定抛物线的对称轴，然后以对称轴为参照，左右对称取点 (2)计算两点之间的距离应构造两直角边分别平行于两坐标轴的直角三角形， 然后运用勾股定理求得 举一反三：举一反三： 【变式变式】已知二次函数 2 yaxbxc（其中a0，b0，c0） ，关于这个二次函数的图象有如下说法： 图象的开口一定向上；图象的顶点一定在第四象限；图象与x轴的交点至少有一个 在y轴的右侧以上说法正确的个数为（ ） A0 B1 C2 D3 第 8 页 共 8 页 【答案】C.
