1、圆锥曲线编稿：张林娟 审稿：孙永钊【学习目标】1.初步掌握平面截圆锥面所得交线的几何特征，掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质及圆锥曲线的统一定义了解圆锥曲线的应用价值.2.逐步探索平面与球面、平面与圆柱面、平面与圆锥面相截所得交线的形状和几何特征，经历由一类曲线提出其共同性质，再根据这些性质确定它是什么曲线的过程，感悟、体会用综合几何方法探索几何图形性质的思想方法.3.对平面截圆锥面所得曲线的研究是一个由具体到形象、由特殊到一般的过程；对圆锥曲线共性的研究运用了运动、变化的观点.因此，本章的学习有助于培养学生的探究意识，加强学生“科学观”的形成.【要点梳理】要点一：平面截圆锥面平面截圆锥面定理
2、 在空间，直线l与l相交于点O，其夹角为，l绕l旋转一周得到以O为顶点、l为母线的圆锥面.任取平面，若它与轴l的交角为，则（1）当时，平面与圆锥面的交线是椭圆；（2）当时，平面与圆锥面的交线是抛物线；（3）当时，平面与圆锥面的交线是双曲线.特别地，即平面与轴l垂直时，平面与圆锥面的交线是圆.要点诠释：平面与圆锥面的斜截口是圆锥曲线（定理），可根据圆锥曲线的定义给予证明：平面内到两个定点、的距离之和等于常数(大于)的点的集合叫椭圆.把平面内到两定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的集合叫作双曲线平面内到定点和到定直线的距离相等的点的集合叫作抛物线.圆锥曲线的几何性质圆锥曲线上的点
3、到一个定点与它到一条定直线的距离之比为定值当时，圆锥曲线是椭圆；当时，圆锥曲线是双曲线；当时，圆锥曲线是抛物线是圆锥曲线的离心率，定点是圆锥曲线的焦点，定直线是圆锥曲线的准线要点诠释：（1）离心率，是圆锥的母线与轴的夹角，是截面与轴的交角.（2）与解析几何中用坐标系研究圆锥曲线的几何性质不同，在这里我们是用综合几何的方法研究圆锥曲线的几何性质，它是利用欧几里德公理方法在纯粹集合的基础上推导出圆锥曲线的几何性质.这一方法是比利时数学家丹德林（G.P.Dandelin）在1822年提出的.要点二：平面截圆柱面圆柱面圆柱面可以看作一个矩形ABCD绕一边CD所在直线为轴，选择一周后边AB所形成的曲面。
4、柱面是旋转面.其中，直线CD是圆柱的轴，线段AB是圆柱的母线.圆柱面与平面的截面定理 当截面与圆柱面的轴不垂直时，所得交线为椭圆；当截面与圆柱面的轴垂直时，所得交线为圆。要点诠释:（1）该定理可简记为：圆柱面的斜截口是椭圆，水平截口是圆.（2）若截面与圆柱轴的夹角为，圆柱的底面半径为，那么截面圆锥的长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为.要点三：直线与球、平面与球的位置关系直线与球的位置关系1.位置关系：在空间中，直线和球的位置关系也有三种：相交、相切、相离。2.判断方法：由球心到直线的距离与球的半径的大小来判断，如图：3.结论从球外一点作球的切线，所有的切线长相等，它们构成一个圆锥面，所有的切
5、点组成一个圆. 平面与球的位置关系1.位置关系平面和球的位置关系有三种：相交、相切、相离.2.判断方法由球心到平面的距离与球的半径的大小来判断，如图：3.几个概念与结论结论：一个平面与球面相交，所得交线是一个圆，且圆心与球心的连线垂直于这一平面.大圆：如果球面被经过球心的平面所截，那么所截得的圆叫大圆.小圆：如果球面被不经过球心的平面所截，那么所截得的圆叫小圆.如果我们把地球看作一个球时，经线就是球面上从北极到南极的半个大圆，赤道就是一个大圆，除赤道外其他的纬线都是小圆.球幂定理定理1 从球面外引一点P向球面引割线，交球面与Q、R两点，再从点P引球面的任一切线，切点为S，则.定理2 从球面外引
6、一点P向球面引两条割线，它们分别交球面于点Q、R和S、T，则.定理3 设P是球面内一点，过点P作两条直线，它们分别交球面于点Q、R和S、T，则定理1、定理2、定理3统称为球幂定理.要点诠释：直线与球、平面与球的位置关系可类比平面内直线和圆的位置关系；球幂定理可类比圆幂定理.【典型例题】类型一、圆锥面与平面的截面例1. 如图，点F是椭圆的一个焦点，直线m是椭圆的准线，PQ为过焦点F的一条弦。试研究以PQ为直径的圆与直线m的位置关系，并给出证明。 【思路点拨】判断直线和圆的位置关系，要根据圆心（PQ的中点）到直线的距离D和圆的半径（）的大小来确定。【解析】如图，M为PQ的中点，作PP1m，QQ1m
7、，MM1m，垂足分别为P1，Q1，M1。设PP1=d1，QQ1=d2，MM1=d，则。因为P，Q为椭圆上的两点，所以PF=d1e，QF=d2e，所以PQ=PF+QF=e(d1+d2)，。因此，即以PQ为直径的圆与直线m相离。【总结升华】本题以椭圆为背景，考查直线和圆的位置关系；巧妙运用了线段的拆分：，两次结合椭圆的几何性质，将斜线段转化为水平线段，便于解决问题，这与求“以椭圆的焦点弦为底、以另一焦点为顶点”的三角形的周长（为长轴的2倍，即.）有异曲同工之妙.举一反三：【变式】如图，F1，F2为椭圆的两个焦点，直线m为其准线。已知椭圆的离心率，试确定点P的位置，使取得最小值. 【答案】如图，作P
8、Bm，垂足为B。设PB=d，则，所以，当且仅当P，A，B在一条直线上，即P为椭圆与直线F1F2的交点A或C时，最小。例2. 如图，设点P是双曲线右支上的一点，且F1，F2分别为左、右两个焦点，PF1PF2=2a（a0，常数）。 （1）设过F1，F2的直线与双曲线的两支分别交于点A1，A2，由双曲线的对称性，求A1A2（A1A2称为双曲线的实轴）；（2）设过F1的弦MN的长为m，试求MNF2的周长。【解析】（1）由双曲线的定义可知，所以 ，即，所以 。（2）由双曲线的定义可知，所以 ，因为 ，所以 ，所以 MNF2的周长为。【总结升华】（1）若椭圆的长轴长为2a，焦点为，过的弦交椭圆于，两点，那
9、么的周长为；（2）若双曲线的长轴长为2a，焦点为，过的弦交双曲线于，两点，且，那么的周长为.举一反三：【变式】如图， F1，F2为椭圆的两个焦点，椭圆的长轴长等于6，试求PA+PF1的最大值和最小值。【答案】设椭圆与直线F1F2的另一交点为C，如图：。当点P不在直线F1F2上时，PA+PF1AF1；当点P在A处时，PA+PF1=AF1；当点P在C处时，PA+PF1AF1。故当点P在A处时，PA+PF1最小，其最小值为。由椭圆的定义可知PF1+PF2=6，所以PF1=6PF2，所以PA+PF1=6+PAPF2。当点P不在直线F1F2上时，PAPF2AF2；当点P在C处时，PAPF2=AF2=。故
10、当点P在C处时，PAPF2最大，此时PA+PF1也最大，其最大值为。例3. 如图，一只船上有两根相距30米的桅杆AB和CD，有一条长50m的绳子，两端分别系在桅杆的底部，并在甲板上绳子的某处绷紧，设为点E，试研究E点的轨迹曲线.【思路点拨】绷紧处到两个顶点A和C的距离之和为定值，根据圆锥曲线的定义作出判断.【解析】由题意可知，即动点E到定点A和C的距离之和为定值，由椭圆的定义可知，点E的轨迹是椭圆.【总结升华】（1）平面内一动点到两定点的距离和等于常数时，动点的轨迹不一定是椭圆：当动点到两点的距离和小于两定点之间的距离时，动点的轨迹不存在；当动点到两点的距离和等于两定点之间的距离时，动点的轨迹
11、是线段；当动点到两定点的距离和（常数）大于两定点之间的距离时，动点的轨迹是椭圆。（2）类似地，注意双曲线定义的构成条件，它由两个要素构成：到两定点的距离之差的绝对值是定值；该定值小于两定点的距离.举一反三：【变式1】天安门广场，旗杆比华表高，在地面上，观察它们顶端的仰角都相等的各点所在的曲线是A.椭圆 B.圆 C.双曲线的一支 D.抛物线【答案】B【变式2】在相距1400 m的，两哨所，听到炮弹爆炸声的时间相距s，且声速是340 m/s，试研究爆炸点所在的轨迹形状。【答案】爆炸点距A，B的时间差为3 s，所以爆炸点与A，B两点的距离差为3403=1020（m），且10201400，所以爆炸点在
12、以A，B为焦点的双曲线上。【变式3】设有一颗彗星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，已知椭圆轨道的离心率为E，当此彗星离地球相距m万千米时，经过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为，求该彗星与地球的最近距离.【答案】如图，设地球所在的椭圆焦点为F，相应准线为l，过点F作直线l的垂线交椭圆于点A，垂足为B.距地球m万千米的彗星位置为P，作PM直线l，垂足为M.由椭圆的几何性质可知，当彗星运行到点A时，与地球的距离最近，即最短距离为AF.，.四边形为矩形，即，.所以，彗星与地球的最近距离为万千米.某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑类型二：圆柱面与平面的截面例4. 用一个平面截一个
13、几何体，所截出的面如图所示，共有四种形式，试猜想，该几何体可能是_.【思路点拨】观察截面特征，从学过的几何体中一一排除，最后确定符合特征的几何体.【答案】圆柱【解析】截面分别是圆、椭圆、矩形、圆锥曲线的一部分.由于多面体的截面只能是多边形，而本题中截面可以是圆，故可排除所有的多面体；球面的截面是圆，可排除；圆锥面的截面不可能出现矩形，可排除；符合条件的几何体只能是圆柱.【总结升华】能够用运动变化的观点理解圆柱面与平面的截面形状变化，进一步明确平面曲线与空间曲面间的辩证关系。举一反三：【变式】用与圆柱面的轴成锐角的平面去截圆柱面所得的截面的图形是 .【答案】椭圆例5. 一圆柱面底面的半径等于2
14、cm，一个截割圆柱面的平面与轴成60角，从割平面上，下放入圆柱的两个切球，使它们都与截面相切，求这两个切点的距离.【思路点拨】平面截圆柱面所得椭圆的焦点就是与截面相切的两个切球的切点，那么两切点的距离就是椭圆的焦距。作出图象，求出椭圆的长轴长、短轴长，利用求得焦距.【解析】如图1，设两球与平面分别相切于，设P为截面上任意一点，则，.于是有，由于是定值，且，由椭圆的定义可知，点P的轨迹是椭圆，是两个焦点，那么在这两个切球的切点间的距离为截面椭圆的焦距。并且椭圆的长轴长，短轴长为圆柱的底面直径.为了便于计算，我们在其轴截面中进行，如图2所示，中，所以.所以，截面椭圆中，焦距。所以，两个切球的切点间
15、的距离为.【总结升华】本题探究了一般位置下的截面性质，引入了椭圆的第一定义。明确圆柱、焦球（Dandelin球）与椭圆的几何性质间的相互关系.设截面与圆柱轴的夹角为，圆柱的底面半径为，那么截面圆锥的长轴长是焦球与圆柱两个平行平面的距离（即两球心间的距离），其值为；短轴长为圆柱的底面直径，其值为；焦距为焦球与平面的两个切点间的距离，其值为；离心率只与平面与圆柱的相对位置有关系，其值为.举一反三：【变式1】已知一平面垂直于圆柱的轴，截圆柱面所得为一半径为2的圆，另一平面与圆柱的轴成30角，求截线的长轴，短轴和离心率.【答案】由题意可知椭圆的短轴为2b=22,短轴长为4，设长轴长为2a,则有，长轴长
16、为，短轴长为4，离心率为.【变式2】将两个半径为2 cm的球嵌入底面半径为2 cm的圆柱中，使两球的距离为6 cm，用一个平面分别与两个球相内切，所成的截线为一个椭圆，求该椭圆的长轴长、短轴长、焦距和离心率的值.【答案】长轴长就是两球心间的距离，为6 cm；短轴长为圆柱的底面直径，为4cm；焦距为 cm；离心率为.类型三：球面与平面的截面例6.一个球的表面积为256 cm2， 过此球的一条半径的中点，作垂直于这条半径的截面，求这个小圆的面积.【思路点拨】准确画图，由图可知，球心到截面的距离、截面半径、球的半径构成直角三角形，可利用勾股定理求解.【解析】如图，设球心为O，截面小圆的圆心为A，B为
17、小圆上任一点。球的表面积为，.在中，由勾股定理可知， 所以，小圆的面积为（cm2）.【总结升华】用一个平面去截一个球O，那么截面是圆面，且球心和截面圆心的连线垂直与截面。若球心到截面的距离为D，球的半径为R，小圆的半径为r，则.举一反三：【变式1】在球内有相距9 cm的两个平面截面，截面小圆的面积分别为49cm2和400cm2，求球的表面积.【答案】625 cm2设球的半径为.当两截面位于球心的同侧时，如图(1)所示，此时有，解得=25 cm。当两截面位于球心的两侧时，如图（2）所以，此时有，即 ，两边平方，整理得，不合题意，舍去.所以，球的半径为25 cm，其表面积为cm2.【变式2】半径分
18、别为1和2两个球的球心相距12，则这两个球的外公切线和长为 内公切线的长为 【答案】；.例7. 球的半径为3，球面外一点和球心的距离为6。求：过该点的球的切线和过切点的半径所成的角.【思路点拨】作出图象，利用球幂定理求出切线长，再利用直接三角形的性质求角.【解析】如图：由题意可知，由得，。在中，为直角，.所以过该点的球的切线和过切点的半径所成的角为30.【总结升华】平面中的圆幂定理在球中仍可使用，称之为“球幂定理”.举一反三：【变式1】如图，AB是圆O的直径，且AB=8，过OA的中点P作弦CD，且，则圆O中，以CD为直径的小圆的面积为_.【答案】在球O中，设，则由球幂定理可知，解得，则.以CD为直径的小圆的面积为：.
