1、2020中考数学 专题练习：轴对称相关的几何综合题型（含答案）典例探究例题1. 在ABC中，AD是ABC的角平分线（1）如图1，过C作CEAD交BA延长线于点E，若F为CE的中点，连结AF， 求证：AFAD；（2）如图2，M为BC的中点，过M作MNAD交AC于点N， 若AB=4， AC=7，求NC的长例题2. 在图-1至图-3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点四边形BCGF和CDHN都是正方形AE的中点是M（1）如图-1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：FM = MH，FMMH；（2）将图-1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图-2，求证：FMH是
2、等腰直角三角形；（3）将图-2中的CE缩短到图-3的情况，FMH还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）图-1AHC(M)DEBFG(N)G图-2AHCDEBFNMAHCDE图-3BFGMN例题3. 在ABC中，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转得到线段PQ（1）若且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出的度数；（2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想的大小（用含的代数式表示），并加以证明；（3）对于适当大小的，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线
3、与射线BM交于点D，且，请直接写出的范围题型精练1. 在四边形ABDE中，C是BD边的中点（1）如图(1)，若AC平分，=90, 则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为 ；（直接写出答案）图（1）（2）如图（2），AC平分， EC平分，若，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；图（2）（2）（2）（3）如图（3），BD = 8，AB=2，DE=8，则线段AE长度的最大值是_（直接写出答案） 图（3）2. 在ABC中，已知D为直线BC上一点，若.（1）当D为边BC上一点，并且CD=CA，时，则AB _ AC（填“=”或“”）；（2）如果把（1）中的条件“CD
4、=CA”变为“CD=AB”，且的取值不变，那么（1）中的结论是否仍成立？若成立请写出证明过程，若不成立请说明理由；（3）若CD= CA =AB，请写出y与x的关系式及x的取值范围.（不写解答过程，直接写出结果） 3. 在RtABC中，ACB=90，A=30，BD是ABC的角平分线， DEAB于点E（1）如图1，连接EC，求证：EBC是等边三角形；（2）点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作BMG=60，MG交DE延长线于点G请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系；（3）如图3,点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作BN
5、G=60，NG交DE延长线于点G试探究ND，DG与AD数量之间的关系，并说明理由4. 已知正方形纸片ABCD的边长为2操作：如图1，将正方形纸片折叠，使顶点A落在边CD上的点P处（点P与C、D不重合），折痕为EF，折叠后AB边落在PQ的位置，PQ与BC交于点G探究：（1）观察操作结果，找到一个与相似的三角形，并证明你的结论；（2） 当点P位于CD中点时，你找到的三角形与周长的比是多少（图2为备用图）？5. 直线CD经过的顶点C，CA=CBE、F分别是直线CD上两点，且（1）若直线CD经过的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：如图1，若，则 （填“”，“”或“”号）；如图2，若，若使
6、中的结论仍然成立，则 与应满足的关系是 ；（2） 如图3，若直线CD经过的外部，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明ABCEFDDABCEFADFCEB图1图2图36. 在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），BPEACB，PE交BO于点E，过点B作BFPE，垂足为F，交AC于点G（1） 当点P与点C重合时（如图）求证：BOGPOE；（2）通过观察、测量、猜想：= ，并结合图证明你的猜想；（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图），若ACB=，求的值（用含的式子表示）7. 在矩形中，是边上一点，交于点，过点作，交射线于点，交射线于
7、点.（1）如图1，当点与点重合时，求的长；（2）如图2，当点在线段上时，设，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）连结，当以点E，F，H为顶点的三角形与AEC相似时，求线段的长.8. 如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，连结AM、CM.（1） 当M点在何处时，AMCM的值最小；（2）当M点在何处时，AMBMCM的值最小，并说明理由；（3）当AMBMCM的最小值为时，求正方形的边长.9. 在ABC中，AB=AC，AD，CE分别平分BAC和ACB，且AD与CE交于点M点N在射线AD上，且NA=NC过点N作NFCE于点G，且与AC交于
8、点F，再过点F作FHCE，且与AB交于点H(1) 如图1，当BAC=60时，点M，N，G重合请根据题目要求在图1中补全图形；连结EF，HM，则EF与HM的数量关系是_；(2) 如图2，当BAC=120时，求证：AF=EH；(3) 当BAC=36时，我们称ABC为“黄金三角形”，此时若EH=4，直接写出GM的长图1图2备用图10. 如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH（1）求证：APB=BPH；（2）当点P在边AD上移动时，PDH的周长是否发生变化
9、？并证明你的结论；（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，请直接写出S与x的函数关系式，并求出S的最小值 11. 如图1，在四边形中，分别是的中点，连结并延长，分别与的延长线交于点，则（不需证明）问题一：如图2，在四边形中，与相交于点，分别是的中点，连结，分别交于点，判断的形状，请直接写出结论问题二：如图3，在中，点在上，分别是的中点，连结并延长，与的延长线交于点，若，连结，判断的形状并证明12. 在RtABC中，ACB=90，ABC=，点P在ABC的内部(1) 如图1，AB=2AC，PB=3，点M、N分别在AB、BC边上，则cos=_， PMN周长的最小值为_；(2) 如图2，若条件AB
10、=2AC不变，而PA=，PB=，PC=1，求ABC的面积；(3) 若PA=，PB=，PC=，且，直接写出APB的度数13. 如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，M是AB的中点直接写出BMD与ADM的倍数关系； （2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形， AB=2BC，M是AB的中点，过C作CEAD与AD所在直线交于点E若A为锐角，则BME与AEM有怎样的倍数关系，并证明你的结论；当时，上述结论成立；当 时，上述结论不成立 图1 图214. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，直线MN经过点O，设锐角DOC=，将DOC以直线MN为对称轴翻折得到DOC，直线A D、B C相
11、交于点P（1）当四边形ABCD是矩形时，如图1，请猜想A D、B C的数量关系以及APB与的大小关系；（2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，（1）中的结论还成立吗？（3）当四边形ABCD是等腰梯形时，如图3，APB与有怎样的等量关系？请证明15. 已知：在如图1所示的锐角三角形ABC中，CHAB于点H，点B关于直线CH的对称点为D，AC边上一点E满足EDA=A，直线DE交直线CH于点F (1) 求证：BFAC； (2) 若AC边的中点为M，求证：； (3) 当AB=BC时（如图2），在未添加辅助线和其它字母的条件下，找出图2中所有与BE相等的线段，并证明你的结论参考答案典例探究例1 证
12、明：AD为ABC的角平分线，（1）CEAD ，.AC=AEF为EC的中点，AFBC AFAD（2）延长BA与MN延长线于点E，过B作BFAC交NM延长线于点F.AMDCBNEF354412，M为BC的中点BMCM在BFM和CNM中，BFMCNM（AAS）BFCNMNAD ，.AEAN，BEBF 设CN=x，则BF=x， AEANACCN7x，BEABAE47x47xx 解得 x5.5 CN5.5例2 证明：四边形BCGF和CDHN都是正方形，图-1AHC(M)DEBFG(N)又点N与点G重合，点M与点C重合，FB = BM= MG = MD= DH，FBM =MDH = 90FBMMDHFM
13、= MH FMB =DMH = 45，FMH=90FMHM （2）证明：连接MB、MD，如图2，设FM与AC交于点P图2AHCDEBFGNMPB、D、M分别是AC、CE、AE的中点，MDBC，且MD = BC = BF；MBCD，且MB=CD=DH四边形BCDM是平行四边形 CBM=CDM 又FBP=HDC，FBM=MDHFBMMDHFM=MH， AHCDE图-3BFGMN且MFB=HMDFMH=FMDHMD=APMMFB=FBP=90FMH是等腰直角三角形 （3）是 例3 （1）；（2）连结PC、AD，易得PAD=PCQ=PQC，PAD+PQD=，APQ+ADQ=， 易得CDB=；(3) C
14、DB=,PQ=QD, PAD=PCQ=2CDB=,P不与M、B重合，BADPADMAD, 即， 题型精练1. （1） AE=AB+DE ；（2）解：猜想：AE=AB+DE+证明：在AE上取点F，使AF=AB，连结CF，在AE上取点G，使EG=ED，连结CGC是BD边的中点，CB=CD=AC平分，BAC=FACAF=AB，AC=AC，ABCAFC. CF=CB，BCA=FCA同理可证：CD=CG，DCE=GCE CB=CD，CG=CF，BCA+DCE=180-120=60FCA+GCE=60FCG=60FGC是等边三角形FG=FC=AE=AF+EG+FGAE=AB+DE+（3）2. （1）= （
15、2）成立. 解法一： 解法二：如图，作，交于点. ，. （3）解：()当D在线段BC上时，()（取等号时B、D重合）. ()当D在CB的延长线上时，()（取等号时B、D重合）()当D在BC的延长线上时，(). 3. （1）证明：在RtABC中，ACB=90，A=30，, BC= BD平分ABC，.DA=DB DEAB于点EAE=BE=BC=BE. BCE是等边三角形. ADGCBME图2（2）结论：AD = DGDM （3）结论：AD = DGDN理由如下：延长BD至H，使得DHDN . 由（1）得DA=DB，DEAB于点E图31234567ADGCBNEHNDH是等边三角形 NH=ND， ,
16、.即.在DNG和HNB中，DNGHNB（ASA）DG=HB. HB=HDDB=NDAD,DG= NDAD. AD = DGND.4. 解：（1）与相似的三角形是 证明：四边形ABCD是正方形，A=C=D=90由折叠知 EPQ=A=901+3=90，1+2=902=3 （2）设ED=x，则AE=，由折叠可知：EP=AE=点P是CD中点，DP=1D=90，即解得 ， 与周长的比为43 121315. （1）= ； (2) +BCA=180； (3) 探究结论： EF=BE+AF. 证明：1+2+BCA=180, 2+3+CFA=180.又BCA=CFA，1=3. BEC=CFA=,CB=CA,BE
17、CCFA. BE=CF , EC=AF. EF=EC+CF=BE+AF. 6. 解：（1）证明：四边形ABCD是正方形，P与C重合，OB=OP ， BOC=BOG=90。PFBG ，PFB=90，GBO=90BGO，EPO=90BGO。GBO=EPO 。BOGPOE（AAS）。（2）。证明如下：如图，过P作PM/AC交BG于M，交BO于N，PNE=BOC=900， BPN=OCB。OBC=OCB =450， NBP=NPB。NB=NP。MBN=900BMN， NPE=900BMN，MBN=NPE。BMNPEN（ASA）。BM=PE。BPE=ACB，BPN=ACB，BPF=MPF。PFBM，BF
18、P=MFP=900。又PF=PF， BPFMPF（ASA）。BF=MF ，即BF=BM。BF=PE， 即。（3）如图，过P作PM/AC交BG于点M，交BO于点N，BPN=ACB=，PNE=BOC=900。由（2）同理可得BF=BM， MBN=EPN。 BNM=PNE=900，BMNPEN。在RtBNP中， ，即。7. 解：（1），.，.，.，（2）过点作，垂足为点.，.，.，（3）矩形ABCD，. ，.当以点E，F，H为顶点的三角形与相似时，）若，. ，.)若，如图所示，记与交于点.，.， .，. .设，则，. .，. .综上所述，线段的长为或1. 8. 解：（1）当M点落在BD的中点时，AM
19、CM的值最小.（2）如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AMBMCM的值最小. 理由如下：M是正方形ABCD对角线上一点AM=CM又AB=BC,BM=BMABMCBMBAM=BCM 又BE=BA=BCBEC=BCMBEC=BAM在EC上取一点N使得EN=AM,连结BN又EB=ABBNEABMEBN=ABM,BN=BM又EBN+NBA=60ABM+NBA=60即NBM=60BMN是等边三角形.BMMN. AMBMCMENMNCM. 根据“两点之间线段最短”，得ENMNCMEC最短当M点位于BD与CE的交点处时，AMBMCM的值最小，即等于EC的长. （3）过E点作EFBC交CB的延长
20、线于FEBF906030设正方形的边长为x，则BFx，EF在RtEFC中，EF2FC2EC2，（）2（xx）2. 解得，x（舍去负值）.正方形的边长为图19. 解：(1)补全图形见图1， EF与HM的数量关系是EF=HM ； (2)连接MF（如图2）. AD，CE分别平分BAC和ACB，且BAC=120，图2 1=2=60，3=4. AB=AC， ADBC. NGEC， MDC =NGM =90. 4+6=90，5+6=90.4=5.3=5. NA=NC，2=60，ANC是等边三角形.AN=AC. 在AFN和AMC中， AFNAMC. AF=AM.AMF是等边三角形.AF=FM，7=60.7=
21、1.FMAE.FHCE，四边形FHEM是平行四边形. EH=FM.AF=EH. (3) GM的长为. 10. （1）证明： PE=BE ， EBP=EPB . 又EPH=EBC=90,ABCDEFGHPQ EPH-EPB=EBC-EBP . 即PBC=BPH . 又ADBC , APB=PBC . APB=BPH . （2）PHD的周长不变，为定值 8 证明：过B作BQPH，垂足为Q 由（1）知APB=BPH 又 A=BQP=90，BP=BP ABPQBP AP=QP, AB=BQ 又 AB=BC BC = BQ 又 C=BQH=90，BH=BH BCHBQH CH=QH PHD的周长为： P
22、D+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8（3） 配方得， ， 当x=2时，S有最小值611. （1）等腰三角形（2）判断出直角三角形证明：如图连结，取的中点，连结，是的中点，ABCDFGHE123，同理，-4分，是等边三角形，即是直角三角形12. 解：（1）=，PMN周长的最小值为 3 ； 图6 （2）分别将PAB、PBC、PAC沿直线AB、BC、AC翻折，点P的对称点分别是点D、E、F，连接DE、DF，（如图6） 则PABDAB，PCBECB，PACFAC. AD=AP=AF， BD=BP=BE，CE=CP=CF. 由（1）知ABC=30，BAC=60，ACB=90， DBE=
23、2ABC=60，DAF=2BAC=120， FCE=2ACB=180. DBE是等边三角形，点F、C、E共线. DE=BD=BP=，EF=CE+CF=2CP=2. ADF中，AD=AF=，DAF=120， ADF=AFD=30.DF=AD =. . DFE=90. ， .图7 . （3）APB=150. 说明：作BMDE于M，ANDF于N.（如图7） 由（2）知DBE=，DAF=. BD=BE=，AD=AF=， DBM=，DAN=. 1=，3=. DM =，DN=. DE=DF=EF. 2=60. APB=BDA=1+2+3=150.13. （1）BMD= 3 ADM （2）联结CM，取CE的
24、中点F，联结MF，交DC于NM是AB的中点，MFAEBC，AEM=1，2=4，AB=2BC，BM=BC，3=4. CEAE，MFEC，又F是EC的中点，ME=MC，1=2. 1=2=3.BME =3AEM. （3）当0A120时，结论成立；当时，结论不成立. 14. 解：（1） A D=B C，APB= （2） A D=B C 仍然成立，APB=不一定成立 （3）APB=180- 证明：如图3，设OC，PD交于点E 将DOC以直线MN为对称轴翻折得到DOC， DOCDOC， OD=OD， OC=OC，DOC=DOC 四边形ABCD是等腰梯形， AC=BD，AB=CD, ABC= DCB BC=
25、CB， ABCDCB DBC=ACB OB=OC，OA=OD AOB= COD=CO D， BOC = DO A OD=OA，OC=OB， DOCAOB， ODC= OAB OD=OA，OC=OB，BOC = DO A， ODA = OAD=OBC=OC B CEP= DEO， CPE= COD=COD=CPE+APB=180，图6APB=180- 15. 证明：（1）如图6 点B关于直线CH的对称点为D，CHAB于点H，直线DE交直线CH于点F， BF=DF，DH=BH 1=2图7又 EDA=A，EDA=1， A2 BFAC（2）取FD的中点N，连结HM、HN. H是BD的中点，N是FD的中
26、点， HNBF由（1）得BFAC， HNAC，即HNEM 在RtACH中，AHC=90，AC边的中点为M， A3 EDA=3 NEHM 四边形ENHM是平行四边形 HN=EM 在RtDFH中，DHF=90，DF的中点为N， ，即 （3）当AB=BC时，在未添加辅助线和其它字母的条件下，原题图2中所有与BE相等的线段是EF和CE （只猜想结论不给分） 证明：连结CD（如图8） 点B关于直线CH的对称点为D，CHAB于点H，图8 BC=CD，ABC5 ABBC， ， ABCD EDA=A， ，AE=DE ABC6=5 BDE是ADE的外角， ， A4 由，得 ABEDCE BE= CE 由（1）中BF=DF得 CFE=BFC 由（1）中所得BFAC 可得 BFC=ECF CFE=ECF EF=CE BE=EF BE=EF=CE - 20 -
