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2020中考数学 专题练习:轴对称相关的几何综合题型(含答案)

1、2020中考数学 专题练习:轴对称相关的几何综合题型(含答案)典例探究例题1. 在ABC中,AD是ABC的角平分线(1)如图1,过C作CEAD交BA延长线于点E,若F为CE的中点,连结AF, 求证:AFAD;(2)如图2,M为BC的中点,过M作MNAD交AC于点N, 若AB=4, AC=7,求NC的长例题2. 在图-1至图-3中,点B是线段AC的中点,点D是线段CE的中点四边形BCGF和CDHN都是正方形AE的中点是M(1)如图-1,点E在AC的延长线上,点N与点G重合时,点M与点C重合,求证:FM = MH,FMMH;(2)将图-1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角,得到图-2,求证:FMH是

2、等腰直角三角形;(3)将图-2中的CE缩短到图-3的情况,FMH还是等腰直角三角形吗?(不必说明理由)图-1AHC(M)DEBFG(N)G图-2AHCDEBFNMAHCDE图-3BFGMN例题3. 在ABC中,M是AC的中点,P是线段BM上的动点,将线段PA绕点P顺时针旋转得到线段PQ(1)若且点P与点M重合(如图1),线段CQ的延长线交射线BM于点D,请补全图形,并写出的度数;(2)在图2中,点P不与点B,M重合,线段CQ的延长线与射线BM交于点D,猜想的大小(用含的代数式表示),并加以证明;(3)对于适当大小的,当点P在线段BM上运动到某一位置(不与点B,M重合)时,能使得线段CQ的延长线

3、与射线BM交于点D,且,请直接写出的范围题型精练1. 在四边形ABDE中,C是BD边的中点(1)如图(1),若AC平分,=90, 则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为 ;(直接写出答案)图(1)(2)如图(2),AC平分, EC平分,若,则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系?写出结论并证明;图(2)(2)(2)(3)如图(3),BD = 8,AB=2,DE=8,则线段AE长度的最大值是_(直接写出答案) 图(3)2. 在ABC中,已知D为直线BC上一点,若.(1)当D为边BC上一点,并且CD=CA,时,则AB _ AC(填“=”或“”);(2)如果把(1)中的条件“CD

4、=CA”变为“CD=AB”,且的取值不变,那么(1)中的结论是否仍成立?若成立请写出证明过程,若不成立请说明理由;(3)若CD= CA =AB,请写出y与x的关系式及x的取值范围.(不写解答过程,直接写出结果) 3. 在RtABC中,ACB=90,A=30,BD是ABC的角平分线, DEAB于点E(1)如图1,连接EC,求证:EBC是等边三角形;(2)点M是线段CD上的一点(不与点C,D重合),以BM为一边,在BM的下方作BMG=60,MG交DE延长线于点G请你在图2中画出完整图形,并直接写出MD,DG与AD之间的数量关系;(3)如图3,点N是线段AD上的一点,以BN为一边,在BN的下方作BN

5、G=60,NG交DE延长线于点G试探究ND,DG与AD数量之间的关系,并说明理由4. 已知正方形纸片ABCD的边长为2操作:如图1,将正方形纸片折叠,使顶点A落在边CD上的点P处(点P与C、D不重合),折痕为EF,折叠后AB边落在PQ的位置,PQ与BC交于点G探究:(1)观察操作结果,找到一个与相似的三角形,并证明你的结论;(2) 当点P位于CD中点时,你找到的三角形与周长的比是多少(图2为备用图)?5. 直线CD经过的顶点C,CA=CBE、F分别是直线CD上两点,且(1)若直线CD经过的内部,且E、F在射线CD上,请解决下面两个问题:如图1,若,则 (填“”,“”或“”号);如图2,若,若使

6、中的结论仍然成立,则 与应满足的关系是 ;(2) 如图3,若直线CD经过的外部,请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系,并给予证明ABCEFDDABCEFADFCEB图1图2图36. 在正方形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点P在线段BC上(不含点B),BPEACB,PE交BO于点E,过点B作BFPE,垂足为F,交AC于点G(1) 当点P与点C重合时(如图)求证:BOGPOE;(2)通过观察、测量、猜想:= ,并结合图证明你的猜想;(3)把正方形ABCD改为菱形,其他条件不变(如图),若ACB=,求的值(用含的式子表示)7. 在矩形中,是边上一点,交于点,过点作,交射线于点,交射线于

7、点.(1)如图1,当点与点重合时,求的长;(2)如图2,当点在线段上时,设,求与之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围;(3)连结,当以点E,F,H为顶点的三角形与AEC相似时,求线段的长.8. 如图,四边形ABCD是正方形,ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,连结AM、CM.(1) 当M点在何处时,AMCM的值最小;(2)当M点在何处时,AMBMCM的值最小,并说明理由;(3)当AMBMCM的最小值为时,求正方形的边长.9. 在ABC中,AB=AC,AD,CE分别平分BAC和ACB,且AD与CE交于点M点N在射线AD上,且NA=NC过点N作NFCE于点G,且与AC交于

8、点F,再过点F作FHCE,且与AB交于点H(1) 如图1,当BAC=60时,点M,N,G重合请根据题目要求在图1中补全图形;连结EF,HM,则EF与HM的数量关系是_;(2) 如图2,当BAC=120时,求证:AF=EH;(3) 当BAC=36时,我们称ABC为“黄金三角形”,此时若EH=4,直接写出GM的长图1图2备用图10. 如图所示,现有一张边长为4的正方形纸片ABCD,点P为正方形AD边上的一点(不与点A、点D重合)将正方形纸片折叠,使点B落在P处,点C落在G处,PG交DC于H,折痕为EF,连接BP、BH(1)求证:APB=BPH;(2)当点P在边AD上移动时,PDH的周长是否发生变化

9、?并证明你的结论;(3)设AP为x,四边形EFGP的面积为S,请直接写出S与x的函数关系式,并求出S的最小值 11. 如图1,在四边形中,分别是的中点,连结并延长,分别与的延长线交于点,则(不需证明)问题一:如图2,在四边形中,与相交于点,分别是的中点,连结,分别交于点,判断的形状,请直接写出结论问题二:如图3,在中,点在上,分别是的中点,连结并延长,与的延长线交于点,若,连结,判断的形状并证明12. 在RtABC中,ACB=90,ABC=,点P在ABC的内部(1) 如图1,AB=2AC,PB=3,点M、N分别在AB、BC边上,则cos=_, PMN周长的最小值为_;(2) 如图2,若条件AB

10、=2AC不变,而PA=,PB=,PC=1,求ABC的面积;(3) 若PA=,PB=,PC=,且,直接写出APB的度数13. 如图1,在矩形ABCD中,AB=2BC,M是AB的中点直接写出BMD与ADM的倍数关系; (2)如图2,若四边形ABCD是平行四边形, AB=2BC,M是AB的中点,过C作CEAD与AD所在直线交于点E若A为锐角,则BME与AEM有怎样的倍数关系,并证明你的结论;当时,上述结论成立;当 时,上述结论不成立 图1 图214. 如图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,直线MN经过点O,设锐角DOC=,将DOC以直线MN为对称轴翻折得到DOC,直线A D、B C相

11、交于点P(1)当四边形ABCD是矩形时,如图1,请猜想A D、B C的数量关系以及APB与的大小关系;(2)当四边形ABCD是平行四边形时,如图2,(1)中的结论还成立吗?(3)当四边形ABCD是等腰梯形时,如图3,APB与有怎样的等量关系?请证明15. 已知:在如图1所示的锐角三角形ABC中,CHAB于点H,点B关于直线CH的对称点为D,AC边上一点E满足EDA=A,直线DE交直线CH于点F (1) 求证:BFAC; (2) 若AC边的中点为M,求证:; (3) 当AB=BC时(如图2),在未添加辅助线和其它字母的条件下,找出图2中所有与BE相等的线段,并证明你的结论参考答案典例探究例1 证

12、明:AD为ABC的角平分线,(1)CEAD ,.AC=AEF为EC的中点,AFBC AFAD(2)延长BA与MN延长线于点E,过B作BFAC交NM延长线于点F.AMDCBNEF354412,M为BC的中点BMCM在BFM和CNM中,BFMCNM(AAS)BFCNMNAD ,.AEAN,BEBF 设CN=x,则BF=x, AEANACCN7x,BEABAE47x47xx 解得 x5.5 CN5.5例2 证明:四边形BCGF和CDHN都是正方形,图-1AHC(M)DEBFG(N)又点N与点G重合,点M与点C重合,FB = BM= MG = MD= DH,FBM =MDH = 90FBMMDHFM

13、= MH FMB =DMH = 45,FMH=90FMHM (2)证明:连接MB、MD,如图2,设FM与AC交于点P图2AHCDEBFGNMPB、D、M分别是AC、CE、AE的中点,MDBC,且MD = BC = BF;MBCD,且MB=CD=DH四边形BCDM是平行四边形 CBM=CDM 又FBP=HDC,FBM=MDHFBMMDHFM=MH, AHCDE图-3BFGMN且MFB=HMDFMH=FMDHMD=APMMFB=FBP=90FMH是等腰直角三角形 (3)是 例3 (1);(2)连结PC、AD,易得PAD=PCQ=PQC,PAD+PQD=,APQ+ADQ=, 易得CDB=;(3) C

14、DB=,PQ=QD, PAD=PCQ=2CDB=,P不与M、B重合,BADPADMAD, 即, 题型精练1. (1) AE=AB+DE ;(2)解:猜想:AE=AB+DE+证明:在AE上取点F,使AF=AB,连结CF,在AE上取点G,使EG=ED,连结CGC是BD边的中点,CB=CD=AC平分,BAC=FACAF=AB,AC=AC,ABCAFC. CF=CB,BCA=FCA同理可证:CD=CG,DCE=GCE CB=CD,CG=CF,BCA+DCE=180-120=60FCA+GCE=60FCG=60FGC是等边三角形FG=FC=AE=AF+EG+FGAE=AB+DE+(3)2. (1)= (

15、2)成立. 解法一: 解法二:如图,作,交于点. ,. (3)解:()当D在线段BC上时,()(取等号时B、D重合). ()当D在CB的延长线上时,()(取等号时B、D重合)()当D在BC的延长线上时,(). 3. (1)证明:在RtABC中,ACB=90,A=30,, BC= BD平分ABC,.DA=DB DEAB于点EAE=BE=BC=BE. BCE是等边三角形. ADGCBME图2(2)结论:AD = DGDM (3)结论:AD = DGDN理由如下:延长BD至H,使得DHDN . 由(1)得DA=DB,DEAB于点E图31234567ADGCBNEHNDH是等边三角形 NH=ND, ,

16、.即.在DNG和HNB中,DNGHNB(ASA)DG=HB. HB=HDDB=NDAD,DG= NDAD. AD = DGND.4. 解:(1)与相似的三角形是 证明:四边形ABCD是正方形,A=C=D=90由折叠知 EPQ=A=901+3=90,1+2=902=3 (2)设ED=x,则AE=,由折叠可知:EP=AE=点P是CD中点,DP=1D=90,即解得 , 与周长的比为43 121315. (1)= ; (2) +BCA=180; (3) 探究结论: EF=BE+AF. 证明:1+2+BCA=180, 2+3+CFA=180.又BCA=CFA,1=3. BEC=CFA=,CB=CA,BE

17、CCFA. BE=CF , EC=AF. EF=EC+CF=BE+AF. 6. 解:(1)证明:四边形ABCD是正方形,P与C重合,OB=OP , BOC=BOG=90。PFBG ,PFB=90,GBO=90BGO,EPO=90BGO。GBO=EPO 。BOGPOE(AAS)。(2)。证明如下:如图,过P作PM/AC交BG于M,交BO于N,PNE=BOC=900, BPN=OCB。OBC=OCB =450, NBP=NPB。NB=NP。MBN=900BMN, NPE=900BMN,MBN=NPE。BMNPEN(ASA)。BM=PE。BPE=ACB,BPN=ACB,BPF=MPF。PFBM,BF

18、P=MFP=900。又PF=PF, BPFMPF(ASA)。BF=MF ,即BF=BM。BF=PE, 即。(3)如图,过P作PM/AC交BG于点M,交BO于点N,BPN=ACB=,PNE=BOC=900。由(2)同理可得BF=BM, MBN=EPN。 BNM=PNE=900,BMNPEN。在RtBNP中, ,即。7. 解:(1),.,.,.,(2)过点作,垂足为点.,.,.,(3)矩形ABCD,. ,.当以点E,F,H为顶点的三角形与相似时,)若,. ,.)若,如图所示,记与交于点.,., .,. .设,则,. .,. .综上所述,线段的长为或1. 8. 解:(1)当M点落在BD的中点时,AM

19、CM的值最小.(2)如图,连接CE,当M点位于BD与CE的交点处时,AMBMCM的值最小. 理由如下:M是正方形ABCD对角线上一点AM=CM又AB=BC,BM=BMABMCBMBAM=BCM 又BE=BA=BCBEC=BCMBEC=BAM在EC上取一点N使得EN=AM,连结BN又EB=ABBNEABMEBN=ABM,BN=BM又EBN+NBA=60ABM+NBA=60即NBM=60BMN是等边三角形.BMMN. AMBMCMENMNCM. 根据“两点之间线段最短”,得ENMNCMEC最短当M点位于BD与CE的交点处时,AMBMCM的值最小,即等于EC的长. (3)过E点作EFBC交CB的延长

20、线于FEBF906030设正方形的边长为x,则BFx,EF在RtEFC中,EF2FC2EC2,()2(xx)2. 解得,x(舍去负值).正方形的边长为图19. 解:(1)补全图形见图1, EF与HM的数量关系是EF=HM ; (2)连接MF(如图2). AD,CE分别平分BAC和ACB,且BAC=120,图2 1=2=60,3=4. AB=AC, ADBC. NGEC, MDC =NGM =90. 4+6=90,5+6=90.4=5.3=5. NA=NC,2=60,ANC是等边三角形.AN=AC. 在AFN和AMC中, AFNAMC. AF=AM.AMF是等边三角形.AF=FM,7=60.7=

21、1.FMAE.FHCE,四边形FHEM是平行四边形. EH=FM.AF=EH. (3) GM的长为. 10. (1)证明: PE=BE , EBP=EPB . 又EPH=EBC=90,ABCDEFGHPQ EPH-EPB=EBC-EBP . 即PBC=BPH . 又ADBC , APB=PBC . APB=BPH . (2)PHD的周长不变,为定值 8 证明:过B作BQPH,垂足为Q 由(1)知APB=BPH 又 A=BQP=90,BP=BP ABPQBP AP=QP, AB=BQ 又 AB=BC BC = BQ 又 C=BQH=90,BH=BH BCHBQH CH=QH PHD的周长为: P

22、D+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8(3) 配方得, , 当x=2时,S有最小值611. (1)等腰三角形(2)判断出直角三角形证明:如图连结,取的中点,连结,是的中点,ABCDFGHE123,同理,-4分,是等边三角形,即是直角三角形12. 解:(1)=,PMN周长的最小值为 3 ; 图6 (2)分别将PAB、PBC、PAC沿直线AB、BC、AC翻折,点P的对称点分别是点D、E、F,连接DE、DF,(如图6) 则PABDAB,PCBECB,PACFAC. AD=AP=AF, BD=BP=BE,CE=CP=CF. 由(1)知ABC=30,BAC=60,ACB=90, DBE=

23、2ABC=60,DAF=2BAC=120, FCE=2ACB=180. DBE是等边三角形,点F、C、E共线. DE=BD=BP=,EF=CE+CF=2CP=2. ADF中,AD=AF=,DAF=120, ADF=AFD=30.DF=AD =. . DFE=90. , .图7 . (3)APB=150. 说明:作BMDE于M,ANDF于N.(如图7) 由(2)知DBE=,DAF=. BD=BE=,AD=AF=, DBM=,DAN=. 1=,3=. DM =,DN=. DE=DF=EF. 2=60. APB=BDA=1+2+3=150.13. (1)BMD= 3 ADM (2)联结CM,取CE的

24、中点F,联结MF,交DC于NM是AB的中点,MFAEBC,AEM=1,2=4,AB=2BC,BM=BC,3=4. CEAE,MFEC,又F是EC的中点,ME=MC,1=2. 1=2=3.BME =3AEM. (3)当0A120时,结论成立;当时,结论不成立. 14. 解:(1) A D=B C,APB= (2) A D=B C 仍然成立,APB=不一定成立 (3)APB=180- 证明:如图3,设OC,PD交于点E 将DOC以直线MN为对称轴翻折得到DOC, DOCDOC, OD=OD, OC=OC,DOC=DOC 四边形ABCD是等腰梯形, AC=BD,AB=CD, ABC= DCB BC=

25、CB, ABCDCB DBC=ACB OB=OC,OA=OD AOB= COD=CO D, BOC = DO A OD=OA,OC=OB, DOCAOB, ODC= OAB OD=OA,OC=OB,BOC = DO A, ODA = OAD=OBC=OC B CEP= DEO, CPE= COD=COD=CPE+APB=180,图6APB=180- 15. 证明:(1)如图6 点B关于直线CH的对称点为D,CHAB于点H,直线DE交直线CH于点F, BF=DF,DH=BH 1=2图7又 EDA=A,EDA=1, A2 BFAC(2)取FD的中点N,连结HM、HN. H是BD的中点,N是FD的中

26、点, HNBF由(1)得BFAC, HNAC,即HNEM 在RtACH中,AHC=90,AC边的中点为M, A3 EDA=3 NEHM 四边形ENHM是平行四边形 HN=EM 在RtDFH中,DHF=90,DF的中点为N, ,即 (3)当AB=BC时,在未添加辅助线和其它字母的条件下,原题图2中所有与BE相等的线段是EF和CE (只猜想结论不给分) 证明:连结CD(如图8) 点B关于直线CH的对称点为D,CHAB于点H,图8 BC=CD,ABC5 ABBC, , ABCD EDA=A, ,AE=DE ABC6=5 BDE是ADE的外角, , A4 由,得 ABEDCE BE= CE 由(1)中BF=DF得 CFE=BFC 由(1)中所得BFAC 可得 BFC=ECF CFE=ECF EF=CE BE=EF BE=EF=CE - 20 -