1、4.3三角函数的图象与性质最新考纲考情考向分析1.能画出ysin x，ycos x，ytan x的图象，了解三角函数的周期性2.理解正弦函数、余弦函数在0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在内的单调性.以考查三角函数的图象和性质为主，题目涉及三角函数的图象及应用、图象的对称性、单调性、周期性、最值、零点考查三角函数性质时，常与三角恒等变换结合，加强数形结合思想、函数与方程思想的应用意识题型既有选择题和填空题，又有解答题，中档难度.1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数ysin x，x0,2的图象中，五个关键点是：(0,0)，(，0)，(2，
2、0)(2)在余弦函数ycos x，x0,2的图象中，五个关键点是：(0,1)，(，1)，(2，1)2正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中kZ)函数ysin xycos xytan x图象定义域RRxk值域1,11,1R周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间2k，2k递减区间2k，2k无对称中心(k，0)对称轴方程xkxk无概念方法微思考1正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？提示正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为半个周期2思考函数f(x)Asin(x)(A0，0)是奇函数，偶函数的充要条件？提示(1)f(x)为
3、偶函数的充要条件是k(kZ)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是k(kZ)题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)ysin x在第一、第四象限是增函数()(2)由sinsin 知，是正弦函数ysin x(xR)的一个周期()(3)正切函数ytan x在定义域内是增函数()(4)已知yksin x1，xR，则y的最大值为k1.()(5)ysin|x|是偶函数()题组二教材改编2函数f(x)cos的最小正周期是 答案3y3sin在区间上的值域是 答案解析当x时，2x，sin，故3sin，即y3sin的值域为.4函数ytan的单调递减区间为 答案(kZ)解析由k2xk(k
4、Z)，得xcos 23cos 97解析sin 68cos 22，又ycos x在0，180上是减函数，sin 68cos 23cos 97.题型一三角函数的定义域1函数f(x)2tan的定义域是()A. B.C. D.答案D解析由正切函数的定义域，得2xk，kZ，即x(kZ)，故选D.2函数y的定义域为 答案(kZ)解析方法一要使函数有意义，必须使sin xcos x0.利用图象，在同一坐标系中画出0,2上ysin x和ycos x的图象，如图所示在0,2内，满足sin xcos x的x为，再结合正弦、余弦函数的周期是2，所以原函数的定义域为.方法二利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图
5、中阴影部分所示)所以定义域为.3函数ylg(sin x) 的定义域为 答案解析要使函数有意义，则即解得所以2kx2k(kZ)，所以函数的定义域为.思维升华 三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解题型二三角函数的值域(最值)例1 (1)函数ycos 2x2cos x的值域是()A1,3 B.C. D.答案B解析ycos 2x2cos x2cos2x2cos x122，因为cos x1,1，所以原式的值域为.(2)函数y2sin(0x9)的最大值与最小值之和为()A2 B0 C1 D1答案A解析因为0x9，所以，所以sin1，
6、则y2.所以ymaxymin2.思维升华 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：(1)形如yasin xbcos xc的三角函数化为yAsin(x)c的形式，再求值域(最值)；(2)形如yasin2xbsin xc的三角函数，可先设sin xt，化为关于t的二次函数求值域(最值)；(3)形如yasin xcos xb(sin xcos x)c的三角函数，可先设tsin xcos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)(4)一些复杂的三角函数，可考虑利用导数确定函数的单调性，然后求最值跟踪训练1 (1)已知函数f(x)sin，其中x，若f(x)的值域是，则实数a的取值范围是 答案解析x，
7、x，当x时，f(x)的值域为，由函数的图象(图略)知，a，a.(2)(2018通辽质检)函数ysin xcos xsin xcos x的值域为 答案解析设tsin xcos x，则t2sin2xcos2x2sin xcos x，sin xcos x，且t.yt(t1)21，t，当t1时，ymax1；当t时，ymin.函数的值域为.题型三三角函数的周期性与对称性例2 (1)若函数f(x)2tan的最小正周期T满足1T2，则自然数k的值为 答案2或3解析由题意得12，kN，k0)图象的两条相邻对称轴，则的一个可能取值为()A. B. C. D.答案A解析由题意，函数的周期T22，1，ycos(x)
8、，当x时，函数取得最大值或最小值，即cos1，可得k，kZ，k，kZ.当k2时，可得.题型四三角函数的单调性命题点1求三角函数的单调区间例3 (1)函数f(x)sin的单调递减区间为 答案(kZ)解析f(x)sinsinsin，由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.故所求函数的单调递减区间为(kZ)(2)函数f(x)tan的单调递增区间是 答案(kZ)解析由k2xk(kZ)，得x0，函数f(x)sin在上单调递减，则的取值范围是 答案解析由x0，得x0，kZ，得k0，所以.引申探究本例中，若已知0，函数f(x)cos在上单调递增，则的取值范围是 答案解析函数ycos x的单调递增区间为2k，2
9、k，kZ，则kZ，解得4k2k，kZ，又由4k0，kZ且2k0，kZ，得k1，所以.思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间求形如yAsin(x)或yAcos(x)(其中0)的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解但如果0，可借助诱导公式将化为正数，防止把单调性弄错(2)已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解跟踪训练3(1)已知函数f(x)2sin，则函数f(x)的单调递减区间为()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)答案D解析函数的解析式可化为f(x)2sin.由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，即函数f(x)的单调递减区
10、间为(kZ)(2)若函数g(x)sin在区间和上均单调递增，则实数a的取值范围是 答案解析由2k2x2k(kZ)，可得kxk(kZ)，g(x)的单调递增区间为(kZ)又函数g(x)在区间和上均单调递增，解得a0)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为 答案，kZ解析由图象知，周期T22，2，.由2k，kZ，不妨取，f(x)cos.由2kx2k，kZ，得2kx0，0)若f(x)在区间上具有单调性，且fff，则f(x)的最小正周期为 答案解析记f(x)的最小正周期为T.由题意知，又fff，且，可作出示意图如图所示(一种情况)：x1，x2，x2x1，T.1函数y2sin的图象()A关于原点对
11、称B关于点对称C关于y轴对称D关于直线x对称答案B解析当x时，函数y2sin0，函数图象关于点对称2函数f(x)sin在区间上的最小值为()A1 B C. D0答案B解析由已知x，得2x，所以sin，故函数f(x)sin在区间上的最小值为.故选B.3函数ysin x2的图象是()答案D解析函数ysin x2为偶函数，排除A，C；又当x时函数取得最大值，排除B，故选D.4函数ycos2x2sin x的最大值与最小值分别为()A3，1 B3，2C2，1 D2，2答案D解析ycos2x2sin x1sin2x2sin xsin2x2sin x1，令tsin x，则t1,1，yt22t1(t1)22，
12、所以ymax2，ymin2.5已知函数f(x)2sin(2x)的图象过点(0，)，则f(x)图象的一个对称中心是()A. B.C. D.答案B解析函数f(x)2sin(2x)的图象过点(0，)，则f(0)2sin ，sin ，又|0，则f(x)的单调递减区间是()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)答案C解析由题意可得函数f(x)sin(2x)的图象关于直线x对称，故有2k，kZ，即k，kZ.又fsin0，所以2n，nZ，所以f(x)sin(2x2n)sin 2x.令2k2x2k，kZ，求得kxk，kZ，故函数f(x)的单调递减区间为，kZ.7函数y的定义域为_答案解析要使函数有意
13、义必须有tan0，则所以x，kZ，所以x，kZ，所以原函数的定义域为.8(2018赤峰模拟)设函数f(x)3sin，若存在这样的实数x1，x2，对任意的xR，都有f(x1)f(x)f(x2)成立，则|x1x2|的最小值为_答案2解析|x1x2|的最小值为函数f(x)的半个周期，又T4，|x1x2|的最小值为2.9已知函数f(x)2sin1(xR)的图象的一条对称轴为x，其中为常数，且(1,2)，则函数f(x)的最小正周期为_答案解析由函数f(x)2sin1(xR)的图象的一条对称轴为x，可得k，kZ，k，又(1,2)，得函数f(x)的最小正周期为.10已知函数f(x)，则下列说法正确的是_(填
14、序号)f(x)的周期是；f(x)的值域是y|yR，且y0；直线x是函数f(x)图象的一条对称轴；f(x)的单调递减区间是，kZ.答案解析函数f(x)的周期为2，错；f(x)的值域为0，)，错；当x时，x，kZ，x不是f(x)的对称轴，错；令kxk，kZ，可得2kx2k，kZ，f(x)的单调递减区间是，kZ，正确11(2017北京)已知函数f(x)cos2sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求证：当x时，f(x).(1)解f(x)cos 2xsin 2xsin 2xsin 2xcos 2xsin.所以f(x)的最小正周期T.(2)证明因为x，所以2x.所以sinsin.所以
15、当x时，f(x).12已知函数f(x)2sina1.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)当x时，f(x)的最大值为4，求a的值；(3)在(2)的条件下，求满足f(x)1，且x的x的取值集合解(1)令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，所以f(x)的单调递增区间为，kZ.(2)因为当x时，f(x)取得最大值，即f2sin a1a34.解得a1.(3)由f(x)2sin21，可得sin，则2x2k，kZ或2x2k，kZ，即xk，kZ或xk，kZ，又x，可解得x，所以x的取值集合为.13定义运算：a*b例如1*2=1,则函数f(x) = sin x * cos x的值域为()A. B1,1C.
16、 D.答案D解析根据三角函数的周期性，我们只看两函数在一个最小正周期内的情况即可，设x0,2，当x时，sin xcos x，此时f(x)cos x，f(x)，当0x或sin x，此时f(x)sin x，f(x)1,0综上知f(x)的值域为.14已知函数f(x)2cos(x)1，其图象与直线y3相邻两个交点的距离为，若f(x)1对任意x恒成立，则的取值范围是()A. B.C. D.答案B解析由题意可得函数f(x)2cos(x)1的最大值为3.f(x)的图象与直线y3相邻两个交点的距离为，f(x)的周期T，解得3，f(x)2cos(3x)1.f(x)1对任意x恒成立，2cos(3x)11，即cos
17、(3x)0对任意x恒成立，2k且2k，kZ，解得2k且2k，kZ，即2k2k，kZ.结合|可得，当k0时，的取值范围为.15已知函数f(x)cos(2x)在上单调递增，若fm恒成立，则实数m的取值范围为_答案0，)解析f(x)cos(2x)，当x时，2x，由函数f(x)在上是增函数得kZ，则2k2k(kZ)又0，0，fcos，又，fmax0，m0.16设函数f(x)2sinm的图象关于直线x对称，其中0.(1)求函数f(x)的最小正周期(2)若函数yf(x)的图象过点(，0)，求函数f(x)在上的值域解(1)由直线x是yf(x)图象的一条对称轴，可得sin1，2k(kZ)，即(kZ)又0，函数f(x)的最小正周期为3.(2)由(1)知f(x)2sinm，f()0，2sinm0，m2，f(x)2sin2，当0x时，x，sin1.3f(x)0，故函数f(x)在上的值域为
