1、第十二章 整式的乘除与因式分解,知识结构图,整式的乘法,整式的除法,乘法的公式,因式分解,十字相乘法 分组分解法,知识清单,1、同底数幂乘法法则：am an = am+n (m、n都是正整数) 同底数幂相乘,底数不变,指数相加,例1 计算：,(2) x2 x5,(3) aa6,(4) xmx3m+1,(1) 23 24,解：,(1) 23 24 = 23+4 = 27,(2) x2 x5 = x2+5 = x7,(3) aa6 = a1+6 = a7,(4) xmx3m+1 = xm+3m+1 = x4m+1,推广：am an ap = am+n+p （m、n、p都是正整数),知识清单,2、幂
2、的乘方法则：(am)n=amn (m,n都是正整数) 幂的乘方，底数不变，指数相乘,例2 计算：,解：,推广：（am）np = amnp (m,n,p都是正整数) 逆用：,(1) (xn)5 (2)(24)3 (3) (xy)3 3m+1 (4) (x+y)3 2,（1） (xn)5= x5n,（2） (24)3 =243=212,（3） (xy)3 3m+1= (xy)3 (3m+1) =(xy)9m+3,（4） (x+y)3 2 =(x+y)32=(x+y)6,知识清单,3、积的乘方法则：(ab)n=anbn(n为正整数) 积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.,例3
3、计算：,解：,推广：(abc)n = anbncn(n为正整数) 逆用： anbncn = (abc)n,(1) (2a)3 ; (2) (-5b)3 ; (3) (xy2)2 ; (4) (-2x3)4.,(1) (2a)3=23a3 = 8a3；,(2) (-5b)3=(-5)3b3=-125b3；,(3) (xy2)2=x2(y2)2=x2y4；,(4) (-2x3)4=(-2)4(x3)4=16x12.,单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。,知识清单,4、单项式与单项式相乘的法则:,例4 计算：(1) (-
4、5a2b)(-3a); (2) (2x)3(-5xy2).,解:(1) (-5a2b)(-3a) = (-5)(-3)(a2a)b = 15a3b,(2) (2x)3(-5xy2) =8x3(-5xy2) =8(-5)(x3x)y2 =-40x4y2,(1) -5a3b2c3a2b,(2)xy3 (-4x)2,(3) (-2xy2)3(3x2y)2,练习：,单项式与多项式相乘,只要将单项式分别乘以多项式的各项,再将所得的积相加.,知识清单,5、单项式与多项式相乘的法则:,例5 计算：,例6 先化简再求值:,答案：（1）,（2）,（3）,（4）,答案：化简得：,值为：,多项式乘以多项式，先用一个
5、多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加,知识清单,6、多项式与多项式相乘的法则:,例7 计算：,练习：,答案：（1）,(3x+1)(x+2) (2) (x-8y)(x-y) (3)(x+y)(x2-xy+y2),3x2+7x+2,x2-9xy+8y2,x3+y3,（2),（3),(1)(2x+1)(x+3);,(2)(m+2n)(m-3n);,(3)(a+3b)(a-3b).,答案：（1）,（3),（2),两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.即:,知识清单,7、平方差公式:,例8 用平方差公式计算:（x+2y)(x-2y),练习：,(a+b)(ab)=,a2b
6、2,解：原式 x2 - (2y)2,x2 - 4y2,运用平方差公式计算： (1) (3x2 )( 3x2 ) ；(2) (b+2a)(2ab); (3) (-x+2y)(-x-2y)； （4）20072013.,例9 化简：,(x4+y4 ),两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加(或减)它们的积的2倍.即：,知识清单,8、完全平方公式:,练习:运用完全平方公式计算: (1) (4m+n)2; (2) (y- )2 ; (3) 1022 ; (4) 992 .,(a+b)2=a2+2ab+b2, (a-b) 2 = a2-2ab +b2.,例9、运用完全平方公式计算：,(1)(4m+n)
7、2,解: (1)(4m+n)2=,(4m)2,+2(4m) n,+n2,=16m2,+8mn,+n2,(2)(x-2y)2,(2) (x-2y)2=,-2x 2y,+(2y)2,-4xy,+4y2,x2,=x2,知识清单,9、同底数幂的除法:,例10、计算：,单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.,知识清单,9、单项式除以单项式:,例11、计算：,多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.,10、多项式除以单项式:,例12、计算：,知识清单,11、因式分解:,（1）概念：把一个多项式化成几个
8、整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。,（2）因式分解的方法：提公因式法；公式法；分组分解法；十字相乘法,（3）如何找一个多项式各项的公因式： 系数：所有项的系数的最大公因数； 字母：应提取每一项都有的字母，且字母的指数取最低的； 系数与字母相乘,（4）用提公因式法分解因式的一般步骤： 第一步：找到该多项式的公因式； 第二步：将原式除以公因式，得到一个新多项式； 第三步：把它与公因式相乘。,知识清单,例13 将下列各式分解因式：,提高练习：,知识清单,12、公式法（平方差公式）：,两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积.,例14 将下列
9、各式因式分解：,（1） 4x2 + y2 （2） x4 1,解：（1）原式= y2 4x2 = (y+2x)(y2x) 或 原式= ( 4x2 y2 ) = (2x+y)(2xy) （2）原式= (x2)2 12 = (x2+1)(x21) = (x2+1)(x+1)(x1),练习：将下列各式分解因式 (1）x2 x6 （2）6x3 54xy2,知识清单,13、公式法（完全平方公式）：,例14 将下列各式因式分解：,（1）16x2+24x+9（2）4x2+4xy-y2 （3）4x28xy+4y2,两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的两倍，等于这两个数的和（或差）的平方。,知识清单,14、分组分解法 例：将下列各式因式分解： （1） 4x24xya2y2 （2）9m26m2nn2,知识清单,15：十字相乘法分解因式,例将下列各式因式分解： （1）m+4m-12,（2）,作业：练习册31-32页,
