1、第三章 导数及其应用考试内容等级要求导数的概念A导数的几何意义B导数的运算B利用导数研究函数的单调性与极值B导数在实际问题中的应用B3.1导数的概念及运算考情考向分析导数的概念和运算是高考的必考内容，一般渗透在导数的应用中考查；导数的几何意义常与解析几何中的直线交汇考查；题型为填空题或解答题的第(1)问，低档难度1导数的概念(1)函数yf(x)从x1到x2的平均变化率函数yf(x)从x1到x2的平均变化率为，若xx2x1，yf(x2)f(x1)，则平均变化率可表示为.(2)设函数yf(x)在区间(a，b)上有定义，x0(a，b)，当x无限趋近于0时，比值无限趋近于一个常数A，则称f(x)在xx
2、0处可导，并称常数A为函数f(x)在xx0处的导数，记作f(x0)2导数的几何意义函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率k，即kf(x0)3基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)x(为常数)f(x)x1f(x)sinxf(x)cosxf(x)cosxf(x)sinxf(x)exf(x)exf(x)ax(a0，a1)f(x)axlnaf(x)lnxf(x)f(x)logax(a0，a1)f(x)4.导数的运算法则若f(x)，g(x)存在，则有(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)
3、g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)5复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积概念方法微思考1根据f(x)的几何意义思考一下，|f(x)|增大，曲线f(x)的形状有何变化？提示|f(x)|越大，曲线f(x)的形状越来越陡峭2直线与曲线相切，是不是直线与曲线只有一个公共点？提示不一定题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)f(x0)是函数yf(x)在xx0附近的平均变化率()(2)f(x0)f(x0).()(3)(2x)x2x1.()
4、(4)若f(x)e2x，则f(x)e2x.()题组二教材改编2P26T2若f(x)xex，则f(1).答案2e解析f(x)exxex，f(1)2e.3P26T3曲线y1在点(1，1)处的切线方程为答案2xy10解析y，y|x12.所求切线方程为2xy10.题组三易错自纠4设f(x)ln(32x)cos2x，则f(0).答案解析因为f(x)2sin 2x，所以f(0).5设函数f(x)的导数为f(x)，且f(x)fsinxcosx，则f.答案解析因为f(x)fsinxcosx，所以f(x)fcosxsinx，所以ffcossin，即f1，所以f(x)sinxcosx，f(x)cosxsinx.故
5、fcossin.6已知aR，设函数f(x)axlnx的图象在点(1，f(1)处的切线为l，则l在y轴上的截距为答案1解析f(x)a，f(1)a1.又f(1)a，切线l的斜率为a1，且过点(1，a)，切线l的方程为ya(a1)(x1)，即y(a1)x1.故l在y轴上的截距为1.题型一导数的计算1已知f(x)sin，则f(x).答案cosx解析因为ysin sin x，所以y(sin x)cos x.2已知f(x)ln，则f(x).答案解析y.3f(x)x(2019lnx)，若f(x0)2020，则x0.答案1解析f(x)2 019ln xx2 020ln x，由f(x0)2 020，得2 020
6、ln x02 020，x01.4若f(x)x22xf(1)，则f(0).答案4解析f(x)2x2f(1)，f(1)22f(1)，即f(1)2，f(x)2x4，f(0)4.思维升华 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的商的求导法则，这样可以减少运算量，提高运算速度减少差错(2)若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元题型二导数的几何意义命题点1求切线方程例1(1)已知函数f(x1)，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处切线的斜率为答案1解析由f(x1)，知f(x)2.f(x)，f(1)1.由导
7、数的几何意义知，所求切线的斜率k1.(2)已知函数f(x)xlnx，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，则直线l的方程为答案xy10解析点(0，1)不在曲线f(x)xlnx上，设切点为(x0，y0)又f(x)1lnx，直线l的方程为y1(1lnx0)x.由解得x01，y00.直线l的方程为yx1，即xy10.命题点2求参数的值例2(1)(2018常州模拟)已知函数f(x)bxlnx，其中bR，若过原点且斜率为k的直线与曲线yf(x)相切，则kb的值为答案解析设切点坐标为(x0，bx0lnx0)，因为f(x)b，所以kb，则切线方程为y(bx0lnx0)(xx0)因为切线过坐标原点
8、，所以(bx0lnx0)(0x0)，即lnx01，所以x0e，所以kb.(2)已知f(x)lnx，g(x)x2mx(m0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，与f(x)图象的切点为(1，f(1)，则m.答案2解析f(x)，直线l的斜率kf(1)1.又f(1)0，切线l的方程为yx1.g(x)xm，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0m1，y0x01，y0xmx0，m0，所以f(x)lnx1，则f(1)1，f(t)lnt1.因为两条切线互相垂直，所以(lnt1)11，解得te2.(3)函数f(x)lnxax的图象存在与直线2xy0平行的切线，则实数a的取值范围是答案
9、(，2)解析函数f(x)ln xax的图象存在与直线2xy0平行的切线，即f(x)2在(0，)上有解所以f(x)a2在(0，)上有解，则a2.因为x0，所以22，所以a的取值范围是(，2)1函数f(x)(x2a)(xa)2的导数为答案3(x2a2)解析f(x)(xa)2(x2a)(2x2a)(xa)(xa2x4a)3(x2a2)2已知曲线f(x)2x21在点M(x0，f(x0)处的瞬时变化率为8，则点M的坐标为答案(2,9)解析f(x)2x21，f(x)4x，令4x08，则x02，f(x0)9，点M的坐标是(2,9)3已知函数f(x)cosx，则f()f.答案解析因为f(x)cos x(sin
10、 x)，所以f()f(1).4设f(x)xlnx，若f(x0)2，则x0的值为答案e解析由f(x)xln x，得f(x)ln x1.根据题意知，ln x012，所以ln x01，即x0e.5曲线ysinxex在点(0,1)处的切线方程是答案2xy10解析ycos xex，故切线斜率k2，切线方程为y2x1，即2xy10.6已知点P在曲线y上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是答案解析求导可得y，exex2224，当且仅当x0时，等号成立，y1,0)，得tan 1,0)，又0，)，.7已知曲线ylnx的切线过原点，则此切线的斜率为答案解析ylnx的定义域为(0，)，且y，设切点为(x0
11、，lnx0)，则，切线方程为ylnx0(xx0)，因为切线过点(0,0)，所以lnx01，解得x0e，故此切线的斜率为.8设曲线yeaxln(x1)在x0处的切线方程为2xy10，则a.答案3解析yeaxln(x1)，yaeax，当x0时，ya1，曲线yeaxln(x1)在x0处的切线方程为2xy10，a12，即a3.9(2018苏北四市模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C：xy上任意一点P到直线l：xy0的距离的最小值为答案解析令y，则y，又直线xy0的斜率k.令，得x，即当曲线C的切线与直线l平行时，切点坐标为(，1)或(，1)，此时切点到直线l的距离d，即为所求的最小值10已知曲线f(
12、x)xlnx在点(e，f(e)处的切线与曲线yx2a相切，则a.答案1e解析因为f(x)lnx1，所以曲线f(x)xlnx在xe处的切线斜率为k2，则曲线f(x)xlnx在点(e，f(e)处的切线方程为y2xe.由于切线与曲线yx2a相切，故yx2a可联立y2xe，整理得x22xae0，所以由44(ae)0，解得a1e.11.已知f(x)，g(x)分别是二次函数f(x)和三次函数g(x)的导函数，且它们在同一平面直角坐标系内的图象如图所示(1)若f(1)1，则f(1)；(2)设函数h(x)f(x)g(x)，则h(1)，h(0)，h(1)的大小关系为(用“”连接)答案(1)1(2)h(0)h(1
13、)h(1)解析(1)由题图可得f(x)x，g(x)x2，设f(x)ax2bxc(a0)，g(x)dx3ex2mxn(d0)，则f(x)2axbx，g(x)3dx22exmx2，故a，b0，d，em0，所以f(x)x2c，g(x)x3n，由f(1)1，得c，则f(x)x2，故f(1)1.(2)h(x)f(x)g(x)x2x3cn，则有h(1)cn，h(0)cn，h(1)cn，故h(0)h(1)h(1)12已知函数f(x)x34x25x4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)求经过点A(2，2)的曲线f(x)的切线方程解(1)f(x)3x28x5，f(2)1，又f(2)2，曲
14、线在点(2，f(2)处的切线方程为y2x2，即xy40.(2)设曲线与经过点A(2，2)的切线相切于点P(x0，x4x5x04)，f(x0)3x8x05，切线方程为y(2)(3x8x05)(x2)，又切线过点P(x0，x4x5x04)，x4x5x02(3x8x05)(x02)，整理得(x02)2(x01)0，解得x02或1，经过点A(2，2)的曲线f(x)的切线方程为xy40或y20.13若曲线f(x)acosx与曲线g(x)x2bx1在交点(0，m)处有公切线，则ab.答案1解析依题意得，f(x)asin x，g(x)2xb，f(0)g(0)，即asin 020b，得b0.又mf(0)g(0
15、)，即ma1，因此ab1.14已知曲线f(x)xlnx在点(e，f(e)处的切线与曲线yx2a相切，求实数a的值解因为f(x)lnx1，所以曲线f(x)xlnx在xe处的切线斜率为k2，则曲线f(x)xlnx在点(e，f(e)处的切线方程为y2xe.由于切线与曲线yx2a相切，故yx2a可联立y2xe，得x22xae0，所以由44(ae)0，解得a1e.15给出定义：设f(x)是函数yf(x)的导函数，f(x)是函数f(x)的导函数，若方程f(x)0有实数解x0，则称点(x0，f(x0)为函数yf(x)的“拐点”已知函数f(x)5x4sin xcos x的“拐点”是M(x0，f(x0)，f(x
16、0)和x0满足的关系是答案f(x0)5x0解析由题意，知f(x)54cos xsin x，f(x)4sin xcos x，由f(x0)0，知4sin x0cos x00，所以f(x0)5x0.16已知函数f(x)x.(1)求曲线f(x)过点(0，3)的切线方程；(2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形的面积为定值，并求此定值(1)解f(x)1，设切点为(x0，y0)，则曲线yf(x)在点(x0，y0)处的切线方程为yy0(xx0)，切线过(0，3)，3(x0)，解得x02，y0，所求切线方程为y(x2)，即yx3.(2)证明设P(m，n)为曲线f(x)上任一点，由(1)知过P点的切线方程为yn(xm)，即y(xm)，令x0，得y，从而切线与直线x0的交点为，令yx，得yx2m，从而切线与直线yx的交点为(2m,2m)，点P(m，n)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积S|2m|6，为定值14
