1、53 集合的概念及运算集合的概念及运算 【教材梳理】 1数量积的概念 已知两个非零向量 a 与 b， 我们把数量_叫做 a 与 b 的数量积(或内积)， 记作_， 即a b_， 其中是a与b的夹角， |a|cos (|b|cos )叫向量a在b方向上(b在a方向上)的_ a b 的几何意义：数量积 a b 等于_ 2数量积的运算律及常用结论 (1)数量积的运算律 交换律：_； 数乘结合律：_； 分配律：_ (2)常用结论 (a b)2_； (ab) (ab)_； a2b20_； | | a | |b |_| | a | | b . 3数量积的性质 设 a，b 都是非零向量，e 是与 b 方向相
2、同的单位向量， 是 a 与 e 的夹角，则 (1)e a_. (2)ab_. (3)当 a 与 b 同向时，a b_； 当 a 与 b 反向时，a b_. 特别地，a a_或| |a _. (4)cos _. (5)|a b _. 4数量积的坐标表示 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 (1)a b_；a2_；| |a _. (2)ab_. (3)|x1x2y1y2_. 5用向量方法解决几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为 向量问题 (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如平行、垂直、距离、夹角等问题 (3)把
3、运算结果“翻译”成几何关系 6向量的符号形式及图形形式的重要结论 (1)向量的和与差的模：|ab _， |ab _. (2)G 为ABC 重心的一个充要条件：_； O 为ABC 外心的一个充要条件：_； P 为ABC 垂心的一个充要条件：_. (3)不同的三点 A，B，C 共线存在 ， R，使得OA OB OC ，O 为平面任意一点， 且_ 7向量坐标形式的几个重要结论 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，A(x3，y3)，B(x4，y4)， 为 a 与 b 的夹角 (1)长度或模 | |a _；| | AB _. (2)夹角 cos _. (3)位置关系 ab_(b0 且 R)_. ab
4、_. 【常用结论】 8平面向量与平面几何综合的有关结论 (1)若MA ，MB 为非零向量，则 给出MA MB 0，等价于已知 MAMB； 给出MA MB 0，等价于已知AMB 是钝角或反向共线； 给出MA MB 0，等价于已知AMB 是锐角或同向共线 (2)给出 MA | |MA MB | |MB MP ，等价于已知 MP 是AMB 的角平分线 (3)在ABCD 中， 给出(AB AD ) (AB AD )0，等价于已知ABCD 是菱形； 给出| |AB AD | |AB AD ，等价于已知ABCD 是矩形 (4)AD 是ABC 的内角平分线AD ( AB |AB | AC |AC | )(0
5、) (5) AB |AB | AC |AC | AB |AB | AC |AC | . (6)SABC1 2|AB | |AC |sinA 1 2 |AB |2|AC |2AB AC 2 1 2AB AC tanA(A 非直角) 【自查自纠】 1.| |a| | b cos a b |a|b|cos 投影 a 的长度| |a 与 b 在 a 的方向上的投影| | b cos 的乘积 2(1)a bb a (a) b(a b)a (b) (ab) ca cb c (2)a22a bb2 a2b2 a0 且 b0 3(1)|a|cos (2)a b0 (3)|a|b| |a|b| |a|2 a a
6、 (4) a b |a|b| (5)|a|b| 4(1)x1x2y1y2 x2 1y 2 1 x2 1y 2 1 (2)x1x2y1y20 (3) x2 1y 2 1 x2 2y 2 2 6(1) a22a bb2 a22a bb2 (2)GA GB GC 0 | | OA | | OB | | OC PA PB PB PC PC PA (3)1 7(1) x2 1y 2 1 （x4x3）2（y4y3）2 (2) a b | |a| |b x1x2y1y2 x2 1y 2 1 x2 2y 2 2 (3)ab x1y2x2y10 a b0 x1x2y1y20 判断下列命题是否正确，正确的在括号内
7、画“”，错误的画“” (1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量 ( ) (2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量 ( ) (3)由 a b0 可得 a0 或 b0. ( ) (4)(a b)ca(b c) ( ) (5)若 a b0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 a b0，则 a 和 b 的夹角为钝角 ( ) 解：(1)； (2)； (3)； (4)； (5). (2017北京卷)设 m，n 为非零向量，则“存在负数 ，使得 mn” 是“m n0”的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解：因为
8、 m，n 是非零向量，所以 m n|m| |n|cosm，n0 的充要条件是 cosm，n0.因为 0，则由 mn 可知 m，n 的方向相反， m，n180， 所以 cosm，n0，所以“存在负数 ，使得 mn”可推得“m n0”；而由 “m n0”，可推得“cosm，n0”，但不一定推得“m，n 的方向相反”， 故不能推得“存在负数 ， 使得 mn” 综上，“存在负数 ， 使得 mn”是“m n 0”的充分而不必要条件故选 A. (2019全国卷)已知AB (2，3)，AC (3，t)，|BC |1，则AB BC ( ) A3 B2 C2 D3 解：由BC AC AB (1，t3)，|BC
9、| 12（t3）21， 得 t3， 则BC (1，0)，AB BC 21302.故选 C. (2020全国卷)在平面内，A，B 是两个定点，C 是动点，若AC BC 1，则点 C 的轨迹为 ( ) A圆 B椭圆 C抛物线 D直线 解：设 AB2a(a0)，以 AB 的中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系， 则 A(a，0)，B(a，0)，设 C(x，y)，可得AC (xa，y)，BC (xa，y)，从而AC BC (xa)(xa)y21，整理可得 x2y2a21，即点 C 的轨迹是以 AB 的中点为圆心， a21为半径的圆故选 A. (2020全国卷)设向量 a(1，1)，b(m1，2m
10、4)，若 ab，则 m _ 解：由 ab 可得 a b0， 所以 a b1 (m1)(1) (2m4)0， 即 m5.故填 5. 考点一考点一 平面向量数量积的基本概念及运算平面向量数量积的基本概念及运算 (1)(2018全国卷)已知向量 a，b 满足|a|1，a b1，则 a (2ab)( ) A4 B3 C2 D0 解：因为 a (2ab)2a2a b2|a|2(1)213.故选 B. (2)(2020 云南省云天化中学高三期末)已知 a(4，2)，b(3，9)，则 a 在 ab 方 向上的投影为( ) A 2 B 5 C 2 2 D 10 3 解：因为 a(4，2)，b(3，9)，所以
11、ab(1，7)，所以 a 在 ab 方向上 的投影为a （ab） |ab| 412（7） 12（7）2 10 5 2 2.故选 A. 【点拨】 数量积 a b|a|b|cosx1x2y1y2(其中两向量夹角为 ，a(x1，y1)， b(x2，y2)其几何意义是：a b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos的 乘积在理解数量积与投影概念的基础上，利用二者的关系解题 (1)已知两个单位向量 e1，e2的夹角为 3 ，若向量 b1e12e2，b23e14e2， 则 b1b2_. 解：b1b2(e12e2) (3e14e2)3e2 12e1e28e 2 23211cos 3
12、 86. 故填6. (2)设单位向量 e1，e2的夹角为2 3 ，ae12e2，b2e13e2，则 b 在 a 方向上 的投影为( ) A3 3 2 B 3 C. 3 D.3 3 2 解：依题意得 e1e211cos2 3 1 2，|a| （e12e2）2 e2 14e224e1e2 3， a b(e12e2) (2e13e2)2e2 16e22e1 e29 2， 因此 b 在 a 方向上的投影为 a b |a| 9 2 3 3 3 2 . 故选 A. 考点二考点二 平面向量数量积的应用平面向量数量积的应用 命题角度 1 平面向量的模 (2020全国卷)设 a，b 为单位向量，且|ab|1，则
13、|ab|_ 解：因为 a，b 为单位向量，所以|a|b|1，所以|ab|（ab）2 |a|22a b|b|222a b1，解得 2a b1，所以|ab|（ab）2 |a|22a b|b|2 3.故填 3. 【点拨】 求向量模的常用方法是利用公式|a|2a2即|a| a2将模的运 算转化为向量的数量积 (2019届河南八市“领军考试”高三第五次测评)已知向量 a， b 满足|a|2， |b|2，向量 a 在向量 b 方向上的投影为 1，则|a2b|_ 解：因为向量 a 在向量 b 方向上的投影为 1，则a b |b| 1，所以 a b2，所以|a2b| （a2b）2 a24a b4b2 4421
14、62 3.故填 2 3. 命题角度 2 平面向量的夹角 (2020全国卷)已知向量 a，b 满足|a|5，|b|6，a b6，则 cosa，ab( ) A31 35 B 19 35 C. 17 35 D. 19 35 解：因为|a|5，|b|6，a b6，所以 a (ab)|a|2a b52619. |ab|（ab）2 a22a bb2 2526367， 因此，cosa，aba （ab） |a|ab| 19 57 19 35.故选 D. 【点拨】 求两向量 a，b 的夹角 ，通常采用公式 cos a b |a|b|进行 求解 (2021 年新高考八省模拟演练)已知单位向量 a，b 满足 a b
15、0， 若向量 c 7a 2b，则 sina，c ( ) A. 7 3 B. 2 3 C. 7 9 D. 2 9 解：依题意，|c| 7a 2b|（ 7a 2b）2 7|a|22|b|23. 所以 cosa，c|a c| |a|c| |a （ 7a 2b）| |a|c| 7|a|2 2a b |a| |c| 7 3 ，又a，c0， ，所以 sina，c1 7 3 2 2 3 . 另解：不妨取 a(1，0)，b(0，1)，利用坐标运算求得 故选 B. 命题角度 3 判断两个向量的垂直关系 (1)(2020全国卷)已知单位向量 a，b 的夹角为 60，则在下列向 量中，与 b 垂直的是 ( ) Aa
16、2b B2ab Ca2b D2ab 解：由已知可得，a b|a|b|cos60111 2 1 2.对于 A，因为(a2b) ba b2b 21 221 5 2 0，不符合题意；对于 B，因为(2ab) b2a bb221 2120，不符合题意；对于 C，因为(a 2b) ba b2b21 221 3 20，不符合题意；对于 D，因为(2ab) b2a bb 221 210， 符合题意故选 D. (2)(2020湖南期末)已知向量 a(1，2)，b(2，1)，若 b 与 ab(R) 垂直，则 ( ) A.5 4 B 5 4 C 1 2 D. 1 2 解： 依题意，ab(2，21)，又 b 与 a
17、b(R)垂直，所以(ab) b (2，21) (2，1)0，即 2(2)(21)0，所以 5 4.故选 A. 【点拨】 两个非零向量垂直的充要条件是两向量的数量积为 0， 即：两个非零向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 aba b0 x1x2 y1y20. (1)(2017全国卷)设非零向量 a，b 满足|ab|ab|，则 ( ) Aab B|a|b| Cab D|a|b| 解：因为|ab|ab|，所以(ab)2(ab)2，整理得 4a b0， 所以 ab.故选 A. (2)若向量 a 与 b 不共线，a b0，且 ca a a a b b，则向量 a 与 c 的夹 角为( ) A0
18、 B. 6 C. 3 D. 2 解： 由题意可得 a ca a a a a b b a2a a a b(a b)a 2a20 ， 故 ac ， 即向量 a 与 c 的夹角为 2 .故选 D. 考点三考点三 平面向量与平面几何平面向量与平面几何 (1)(2020北京卷)已知正方形 ABCD 的边长为 2，点 P 满足AP 1 2(AB AC )，则 |PD |_；PB PD _ 解：分别以 AB，AD 为 x 轴，y 轴建立直角坐标系， 则 A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2).AB (2，0)，AC (2，2)， 因为AP 1 2(AB AC )1 2(2，0)(2，2)(2
19、，1)， 所以 P(2，1)，所以PD (2，1)，所以|PD |（2）212 5，又因为PB (0，1)，所以PB PD 201(1)1.故填 5；1. (2)【多选题】在ABC 中，下列命题为真命题的是( ) AO 是ABC 所在平面内一定点，且满足OA OB OB OC OC OA ，则 O 是ABC 的垂心 BO 是ABC 所在平面内一定点，动点 P 满足OP OA (AB AC )， 0，)，则动点 P 一 定过ABC 的重心 CO 是ABC 内一定点，且OA OB OC 0，则S AOC SABC 2 3 D若 AB |AB | AC |AC | BC 0，且 AB |AB | A
20、C |AC | 1 2，则ABC 为等边三角形 解：A 中，OA OB OB OC OB (OA OC )0OB CA 0OB CA ，同理可得：OC AB ，OA CB ，所 以 A 是真命题； B 中，OP OA (AB AC )OP OA (AB AC )AP (AB AC )，设 BC 的中点为 D，所以有AP 2AD ， 又 0，因此动点 P 一定过ABC 的重心，故 B 是真命题； C 中，设 BC 的中点为 D，由OA OB OC 0，可得OA 2OD ，O 是ABC 的重心，S AOC SABC SAOC SADC SADC SABC 2 3 1 2 1 3，故 C 是假命题；
21、 D 中，由 AB |AB | AC |AC | BC 0 可知BAC 的平分线垂直于底边 BC，故ABC 是等腰三角形，由 AB |AB | AC |AC | 1 2可 知BAC60，所以ABC 是等边三角形，故 D 是真命题故选 ABD. 【点拨】 向量与平面几何的综合问题，往往要数形结合，借助平面 几何的知识解题根据数量积求模或参数的值(范围)问题的一般方法： 基底法；坐标法 (1)(2020江苏扬州邗江区蒋王中学月考)在ABC中， BAC60， AB4，AC6，AB 2AD ，AE 2EC ，EF 2FD ，则BF DE 的值为_ 解：AB AC 46cos60241 212，则BF
22、DE (DF DB ) (AE AD ) 1 3DE 1 2AB ( 2 3AC 1 2AB ) 2 9AC 1 6AB 1 2AB ( 2 3AC 1 2AB ) 4 27AC 21 3AB 25 9 AB AC 4 2736 1 316 5 9124.故填 4. (2)【多选题】(20182019学年福建泉州高一下期末)ABC 中，AB c，BC a，CA b，则( ) A若 a b0，则ABC 为锐角三角形 B若 a b0，则ABC 为直角三角形 C若 a bc b，则ABC 为等腰三角形 D若(acb) (abc)0，则ABC 为直角三角形 解：如图所示， ABC 中，AB c，BC
23、a，CA b， 对于 A，若 a b0，则BCA 是钝角，ABC 是钝角三角形，错误； 对于 B，若 a b0，则BC CA ，ABC 为直角三角形，正确； 对于 C，若 a bc b，b (ac)0，CA (BC AB )0，CA (BC BA )0，取 AC 中点 D，则CA BD ，所以 BABC，即ABC 为等腰三角形，正确； 对于 D，若(acb) (abc)0，则 a2(cb)2，即 b2c2a22b c，即b 2c2a2 2|b|c| cosA， 由余弦定理可得，cosAcosA，即 cosA0，即 A 2 ，即ABC 为直角三角形，正确故选 BCD. 考点四考点四 交汇问题交汇
24、问题 (1)(2019届山东烟台高三3月诊断)已知圆 x2y24x50 的弦 AB 的中点为(1， 1)， 直线 AB 交 x 轴于点 P，则PA PB 的值为_ 解：设 M(1，1)，圆心 C(2，0)， 因为 kMC 10 121， 根据圆的性质可知，kAB1， 所以 AB 所在直线方程为 y1(x1)，即 xy0， 联立方程 x2y24x50， xy0 可得，2x24x50， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x25 2， 令 y0 可得 P(0，0)， PA PB x1x2y1y22x1x25.故填5. (2)如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度 d500 m，一艘船从
25、A 点出发航行到 河对岸，船航行速度的大小为|v1|10 km/h，水流速度的大小为|v2|4 km/h，设 v1和 v2的夹角为 (0 180)当 cos _时，船能垂直到达对岸 解： 船垂直到达对岸， 即 vv1v2与 v2垂直， 即(v1v2) v20.所以 v1 v2v2 20， 即|v1|v2|cos|v2|20.所以 40cos160，解得 cos2 5.故填 2 5. 【点拨】 向量在解析几何中的“两个”作用：(i)载体作用，向量在解析 几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、 运算脱去“向量外衣”， 导出曲线上点的坐标之间的关系， 从而解决有关距离、
26、 斜率、夹角、轨迹、最值等问题；(ii)工具作用，利用 aba b0(a，b 为非 零向量)，abab(b0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平 行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、 平行问题常常是比较优越的方法 使用向量解决物理问题的一般步骤：(i)认真分析物理问题，深刻把握物理量之 间的相互关系；(ii)通过抽象、概括，把物理问题转化为与之相关的向量问题； (iii)利用向量知识解决这个向量问题， 并获得这个向量的解； (iv)利用这个结果， 对原物理现象作出合理解释 (1)【多选题】(2020届百师联盟高三期中)已知向量 a(sin ，cos )， b(1，2)，则下列命题正
27、确的是 ( ) A若 ab，则 tan 1 2 B若 ab ，则 tan 1 2 C若 f()a b 取得最大值时，则 tan 1 2 D|ab|的最大值为 51 解：对于 A 选项，若 ab，则 2sincos0，即 tan1 2，故 A 正确； 对于 B 选项，若 ab，则 sin2cos0，则 tan2，故 B 不正确； 对于 C 选项，f()a bsin2cos 5sin()，其中 tan2，当 f()取得 最大值时，sin()1，即 2 2k，kZ，tantan 2 2k tan 2 1 tan 1 2，故 C 正确； 对于 D 选项， (ab)2a2b22a b152(sin2co
28、s)62 5sin()， 当 sin()1 时，(ab)2取得最大值为 62 5，所以|ab|的最大值为 51， 故 D 正确故选 ACD. (2)已知一个物体在大小为 6 N 的力 F 的作用下产生的位移 s 的大 小为 100 m，且 F 与 s 的夹角为 60，则力 F 所做的功 W ( ) A300 J B100 2 J C200 2 J D3 000 2 J 解： WF s|F|s|cos F， s 6100cos60300(J) 故 选 A. 思想方法微专题 数形结合思想在解决平面向量最值问题中的应用 (1)(2020湖南高三月考)如图，圆 O 是边长为 2 3的等边三角形 ABC
29、 的内切圆，其与 BC 边相切于点 D，点 M 为圆上任意一点，BM xBA yBD (x，yR)，则 2xy 的最大值为 ( ) A. 2 B. 3 C2 D2 2 解：以 D 点为原点，BC 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示 由题意，易知内切圆是以 O(0，1)为圆心，1 为半径的圆，且 B( 3，0)，C( 3，0)，A(0，3)，D(0，0)因为点 M(x，y)满足 x2(y1)21，可设 M(cos，1sin)，则BM (cos 3，1sin)，又BA ( 3，3)，BD ( 3， 0) ，故 BM (cos 3，1sin)( 3x 3y，3
30、x) ，故 cos 3x 3y 3， sin3x1 x1sin 3 ， ycos 3 sin 3 2 3， 2x ycos 3 sin 3 4 3 2 3sin 3 4 32. 故 2xy 的最大值为 2.故选 C. (2)(2018浙江卷)已知 a，b，e 是平面向量，e 是单位向量，若非零向量 a 与 e 的夹角 为 3 ，向量 b 满足 b24e b30，则|ab|的最小值是 ( ) A. 31 B. 31 C2 D2 3 解：不妨设 e(1，0)，b(x，y)，则由 b24e b30(x2)2y21， 再由 a 与 e 的夹角为 3 可知， 所求为如图两条射线上的点到圆上的点距离的最小
31、值， 即为 2sin601 31.故选 A. (3)(2020全国新高考卷)已知 P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一点， 则AP AB 的取值范围是( ) A(2，6) B(6，2) C(2，4) D(4，6) 解法一：过 P 作 PHAB 于 H， 则AP AB (AH HP ) AB AH AB (2，6) 解法二：如图，作出该正六边形，取中心为 O，以 A 为原点，AB 所在的直线为 x 轴，AE 所在的直 线为 y 轴建立平面直角坐标系因为正六边形的边长为 2，所以 A(0，0)，B(2，0) 设点 P 的坐标为(x，y)，所以AP AB (x，y) (2，0)2x.
32、易知 xFxxC，xCxBBC cosBCO22cos603， xFAF cosAFO2cos601，所以22x6， 所以AP AB 的取值范围是(2，6)故选 A. 【点拨】 向量具有“数”与“形”的双重特征，解与之相关的最值问题， 如能充分利用数的严谨与形的直观，常能事半功倍向量的坐标运算，往往能 降低推理的难度，与向量相关的最值、范围问题，可优先考虑坐标运算用向 量法解决平面几何相关问题的步骤是：建立平面几何与向量的联系，用向量 表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；通过向量运 算，研究几何元素之间的关系，如长度、距离、夹角等问题；把运算结果“翻 译”成几何关系，从而解
33、决问题 (1)(2020江苏苏州高三模拟)已知点 P 为正方形 ABCD 内一点(包 含边界)，E，F 分别是线段 BC，CD 的中点若CP DP 0，且AP AE AF ，则 的取值范围是_ 解：设正方形 ABCD 的边长为 a，以 A 为原点，AB，AD 所在直线分别为 x，y 轴建立平面直角坐标系，则 A(0，0)，B(a， 0)， C(a， a)， D(0， a) 设 P(x， y)， 因为CP DP 0， 所以(xa， ya) (x， ya)0， 即 xa 2 2 (ya)2a 2 4 ， 设 xa 2 a 2cos， yaa 2sin. 又因为 E a，a 2 ，F a 2，a ，
34、AP AE AF ，所以(x，y) a，a 2 a 2，a ，即 xaa 2 ， ya 2 a， 所以 2 3a(xy) 2 3a 3a 2 a 2（sincos） 1 2 3 sin 4 ， 由 P 为正方形 ABCD 内部一点(包含边界)，可得 ，2，所以 4 5 4 ，9 4 ，所以 1 2 3 sin 4 1 2 3 ，4 3 .故填 1 2 3 ，4 3 . (2)已知 a，b 是单位向量，a b0，若向量 c 满足|cab|1，则|c|的最 大值是_ 解：因为 a，b 是单位向量，且 a b0，不妨设 a(1，0)，b(0，1)， c(x， y)， 则 cab(x1， y1)， 所
35、以|cab| （x1）2（y1）2 1，即(x1)2(y1)21，所以向量 c 的模|c|x2y2表示圆(x1)2(y 1)21 上的动点与原点的距离，最大值为 12121 21.故填 21. (3)如图， 已知等腰梯形 ABCD 中， AB2DC4， ADBC 5， E 是 DC 的中点， P 是线段 BC 上的动点，则EP BP 的最小值是( ) A9 5 B0 C 4 5 D1 解法一：依题意，取 AB 的中点 O，建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(2，0)， B(2，0)因为 ADBC 5，所以 yE 512，即 E(0，2)，令 P(x，2(2x)，其中 1 x2，则EP (x，22x)，BP (x2，2(2x) 所以EP BP x(x2)2(22x)(2x) 5x214x85 x7 5 2 9 5， 因为 1x2，所以当 x7 5时，EP BP 取最小值9 5. 解法二：由等腰梯形的知识可知，cosB 5 5 ， 设 BPx，则 CP 5x， 所以EP BP (EC CP ) BP EC BP CP BP 1x 5 5 x( 5 x)(1)x26 5 5 x. 因为 0 x 5，所以当 x3 5 5 时，EP BP 取得最小值9 5.故选 A.
