1、第二章 函数的概念与基本初等函数 考点要求考点要求 1函数的概念与性质 (1)了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域和值域 (2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数 (3)了解简单的分段函数，并能简单应用 (4)理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义 (5)会运用函数图象理解和研究函数的性质 2指数函数 (1)了解指数函数模型的实际背景 (2)理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质 (3)理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点 (4)知道指数函数是一类
2、重要的函数模型 3对数函数 (1)理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数 在简化运算中的作用 (2)了解对数函数的概念，了解对数函数的单调性，了解对数函数图象通过的特殊点 (3)知道对数函数是一类重要的函数模型 (4)知道指数函数 yax与对数函数 ylogax 互为反函数(a0，且 a1) 4幂函数 (1)了解幂函数的概念 (2)结合函数 yx，y1 x，yx 2，y x，yx3 的图象，理解它们的变化规律 5函数与方程 (1)结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个 数 (2)结合具体连续函数及其图
3、象的特点，能够用二分法求相应方程的近似解 6函数模型及其应用 (1)了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道“对数增长”“直线上升”“指数爆炸” 等不同函数类型增长的含义 (2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型) 的广泛应用 21 函数的概念及其表示函数的概念及其表示 【教材梳理】 1函数的概念 一般地，设 A，B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任 意一个数 x，在集合 B 中都有_f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集 合 B 的一个_，记作 yf(x)，xA，其中，x 叫做
4、，x 的取值范围 A 叫做函数的 _；与 x 的值相对应的 y 值叫做，其集合f(x)|xA叫做函数的_ 2函数的表示方法 (1)解析法：就是用_表示两个变量之间的对应关系的方法 (2)图象法：就是用_表示两个变量之间的对应关系的方法 (3)列表法：就是_来表示两个变量之间的对应关系的方法 3构成函数的三要素 (1)函数的三要素是：_，_，_ (2)两个函数相等：如果两个函数的_相同，并且_完全一致，则称 这两个函数相等 4分段函数 若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同，这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要 的函数 5几个重要概念 常数函数：也称常值函数，即值域是只含一个元素的集合的
5、函数 有界函数、无界函数：值域是有界集的函数称为有界函数，否则称为无界函数 抽象函数：没有给出具体解析式的一类函数 复合函数： 指按一定次序把有限个函数合成得到的函数一般地， 对于两个函数 yf(u)和 ug(x)， 如果通过变量 u，y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为函数 yf(u)和 ug(x)的复合函数，记作 yf(g(x)，其中 yf(u)叫做复合函数 yf(g(x)的外层函数，ug(x)叫做复合函数 yf(g(x)的内层函 数，u 称为中间变量函数的复合是研究函数的一种工具一方面它提供了构造各式各样新函数的方 法；另一方面，为研究复杂的函数，常将它们看成一些简单函数的复合
6、代数函数、超越函数：如果函数与其自变量的关系能用有限次加、减、乘、除、 乘方、开方运算表示，就称这样的函数为代数函数，否则称为超越函数 基本初等函数与初等函数：一般地，常数函数、幂函数、指数函数、对数函数 和三角函数这五类函数叫做基本初等函数其基本性质有：有界性，单调性，奇偶 性，周期性以上五类函数以及由它们通过有限次四则运算(加、减、乘、除)及有 限次复合得到的函数叫初等函数 函数方程：未知量是函数的方程称为函数方程使函数方程中的等号能够成立的函 数，叫做这一函数方程的解 【常用结论】 6关于函数定义域为 R 的结论 (1)若 f(x) ax2bxc型函数的定义域为 R，则有 ax2bxc0
7、 恒成立 若a0，则b0，c0， 若a0，则 a0， 0 (2)若 f(x)lg(ax2bxc)型函数的定义域为 R，则有 ax2bxc0 恒成立 若a0，则b0，c0， 若a0，则 a0， 0， 0 (3)若 f(x) 1 ax2bxc型函数的定义域为 R，则有 ax 2bxc0 恒成立 若a0，则b0，c0， 若a0，则0，f：xy|x|，其对应是从 A 到 B 的函数 ( ) (2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等 ( ) (3)已知 f(x)3(xR)，则 f(x2)9 ( ) (4)函数 f(x)的图象与直线 x0 最多有一个交点 ( ) (5)f(x) 1x 1x与
8、g(t) 1t2是相同函数( ) 解：(1)； (2)； (3)； (4)； (5) 函数 y 1 log2x2的定义域为 ( ) A(0，4) B(4，) C(0，4)(4，) D(0，) 解： 由题意得 log2x20 且 x0， 解得 x(0， 4)(4， )故 选 C 设函数 f(x) x21，x2， log2x，0 x2，若 f(m)3，则实数 m 的值为( ) A2 B8 C1 D2 解：当 m2 时，由 m213，得 m24，解得 m2； 当 0m0，解得 4x4， x2且x3，即函数 f(x)的定义域 为(2，3)(3，4故选 C 【点拨】 求函数定义域的原则：用列表法表示的函
9、数的定义域，是指表格中 实数 x 的集合；用图象法表示的函数的定义域，是指图象在 x 轴上的投影所对应 的实数的集合；当函数 yf(x)用解析法表示时，函数的定义域是指使解析式有意 义的实数 x 的集合，一般通过列不等式(组)求其解集常见的限制条件有：分式 的分母不等于 0，对数的真数大于 0，偶次根式下的被开方数大于或等于 0 等 (2019衡水调研模拟二)函数 f(x) 1 4x2ln(2x1)的定 义域为_ 解：要使函数 f(x)有意义，须满足 4x20， 2x10，解得 1 2x2，即函数 f(x)的定义 域为 1 2，2 故填 1 2，2 命题角度 2 求抽象函数的定义域 (2019
10、东北师大附中摸底)已知函数f(x)的定义域是0， 2， 则函数g(x)f x1 2 f x1 2 的定义域是( ) A 1 2，1 B 1 2，2 C 1 2， 3 2 D 1，3 2 解：由题意得 0 x1 22， 0 x1 22， 所以 1 2x 3 2， 1 2x 5 2， 所以1 2x 3 2故选 C 【点拨】 求抽象函数的定义域常用转移法若 yf(x)的定义域 为(a，b)，则解不等式 ag(x)1 时，y(x1) 4 x12 44，且当 x3，等号成立；当 x0 恒成立，所以函数的定义域为 R 由 y2x 2x2 x2x1 ，得(y2)x2(y1)xy20 当 y20，即 y2 时
11、，上式化为 3x00，所以 x0R 当 y20，即 y2 时，因为当 xR 时，方程(y2)x2(y1)xy20 恒有实 根， 所以 (y1)24(y2)20，所以 1y5 且 y2故函数的值域为1，5故 填1，5 (4)(2020届广东深圳宝安区高三上期中)设函数 yex 1 exa 的值域为 A，若 A 0，)，则实数 a 的取值范围是_ 解：因为 ex0，所以 ex 1 ex2(当且仅当 e x1 ex，即 x0 时取等号)，所以 y ex 1 exa2a， 即A2a， )， 因为A0， )， 所以2a0， 即a2 故 填(，2 (5)函数 y （x3）216 （x5）24的值域是_ 解
12、：如图， 函数 y （x3）216 （x5）24的几何意义为平面内 x 轴上一点 P(x，0)到点 A(3，4)和点 B(5，2)的距离之和由平面解析几何知识，找出点 B 关于 x 轴的对称点 B(5，2)，连接 AB交 x 轴于一点 P，此时距离之和最小，所 以 ymin|AB|826210，又 y 无最大值，所以 y10，)故填10，) 考考点三点三 求函数的解析式求函数的解析式 (1)已知 f(x)是一次函数，且 3f(x1)2f(x1)2x17，则 f(x)_ 解：(待定系数法)因为 f(x)是一次函数， 可设 f(x)axb(a0)， 所以 3a(x1)b2a(x1)b2x17， 即
13、 ax(5ab)2x17， 所以 a2， 5ab17，解得 a2， b7 所以 f(x)的解析式是 f(x)2x7故填 2x7 (2)已知 f(1sinx)cos2x，则 f(x)_ 解：(换元法)设 1sinxt，t0，2， 则 sinx1t，因为 f(1sinx)cos2x1sin2x， 所以 f(t)1(1t)22tt2，t0，2 即 f(x)2xx2，x0，2故填 2xx2，x0，2 (3)已知 f x1 x x2 1 x2，则 f(x)_ 解： (配凑法)f x1 x x2 1 x2 x22 1 x2 2 x1 x 2 2， 所以 f(x) x22(|x|2)故填 x22(|x|2)
14、 (4)已知函数 f(x)的定义域为(0，)，且 f(x)2f 1 x x1，则 f(x) _ 解：(消去法)在 f(x)2f 1 x x1 中，将 x 换成1 x，则 1 x换成 x，得 f 1 x 2f(x) 1 x1， 由 f（x）2f 1 x x1， f 1 x 2f（x） 1 x1， 解得 f(x)2 3 x1 3 故填2 3 x1 3 (5)已知函数 f(x)在 R 上是单调函数，且满足对任意 xR，都有 f(f(x) 3x)4，则 f(2)的值是( ) A4 B8 C10 D12 解：根据题意，f(x)是单调函数，且 f(f(x)3x)4，则 f(x)3x为定值设 f(x)3xt
15、，t 为常数，则 f(x)3xt 且 f(t)4，即有 3tt4，得 t1，则 f(x)3x1，故 f(2)10故选 C 【点拨】 函数解析式的求法：待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、 二次函数等)，可用待定系数法；换元法：已知复合函数 f(g(x)的解析式，可用 换元法，此时要注意新元的取值范围；配凑法：由已知条件 f(g(x)F(x)，可 将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式，然后以 x 替代 g(x)，便得 f(x)的解析式；消去 法(即函数方程法)：已知 f(x)与 f 1 x 或 f(x)之间的关系式，可根据已知条件再构 造出另外一个等式，两等式组成方程组，通过解方程组求出
16、 f(x) (1)已知一次函数 f(x)满足 f(f(x)4x1，则 f(x)_ 解： 设 f(x)kxb(k0)， 则 f(f(x)k2xkbb， 所以 k24， kbb1，所以 k2， b1 3 或 k2， b1 故 f(x)2x1 3或 f(x)2x1故填 2x 1 3或2x1 (2)已知 f( x1)x2 x，则 f(x)_ 解：令 x1t，则 x(t1)2(t1)，代入原式得 f(t)(t1)22(t1) t21，所以 f(x)x21(x1)故填 x21(x1) (3)已知 f x1 x x2 1 x2，则 f(x)_ 解：f x1 x x2 1 x2 x1 x 2 2，所以 f(x
17、)x22故填 x22 (4)已知 f(x)3f(x)2x1，则 f(x)_ 解：以x 代替 x 得 f(x)3f(x)2x1，所以 f(x)3f(x) 2x1，代入 f(x)3f(x)2x1 可得 f(x)x1 4故填x 1 4 (5)(2021届江西南昌二中摸底)已知函数 f(x)是单调函数， 且 x(0， )时， 都有 f f（x）2 x 1，则 f(1)( ) A4 B3 C1 D0 解：由题得，设 f(x)2 xk，k 是一个正数， 因为 f f（x）2 x f(k)1，所以 f(k)k2 k1，解得 k1(负值舍)，所 以 f(1)1故选 C 考点四考点四 分段函数分段函数 命题角度
18、 1 求分段函数的函数值和值域 【多选题】(2021 届辽宁凌海二中高三二模)已知函数 f(x) 1 2 x ，x1， f（x1），x1，所以 f(log23) 2 log 3 1 2 2 1 log 3 21 3，f(f(log23)f 1 3 f 4 3 1 2 4 3 2 2 ，故 C 错误； 对于 D，当 x1 时，f(x) 1 2 x 0，1 2 ，函数 f(x)的值域为 0，1 2 ，当 0 x1 时，1x12，f(x) f(x1) 1 2 x1 ，函数 f(x)的值域为 1 4， 1 2 ，又因为 x1 时，f(x)f(x1)，所以 f(x)在 x1 时是周期为 1 的函数，所以
19、当 x1 时，函数 f(x)的值域为 1 4， 1 2 综上，函数 f(x)的值域为 0，1 2 ，故 D 正确 故选 BD 【点拨】 求分段函数的函数值， 要先确定要求值的自变量属于哪一段 区间，然后代入该段的解析式求值，当出现形如 f(f(x0)的求值问题时，应 从内到外依次求值求值域问题同样分段求解 (2021届云南昭通一中模拟)设函数 f(x) 1 x，x1， x2，x1， 则 f(f(2) _，函数 f(x)的值域是_ 解： 因为 f(2)1 2， 所以 f(f(2)f 1 2 1 22 5 2 当 x1 时， f(x)(0， 1)，当 x1 时，f(x)3，)，所以 f(x)3，)
20、故填5 2；3， ) 命题角度 2 分段函数与方程 (2020届贵州铜仁一中高三二模)函数f(x) x2x，0 x2， 2x8，x2，若f(a) f(a2)，则 f 1 a _ 解：由 x2 时 f(x)2x8 是减函数可知，若 a2，则 f(a)f(a2)， 所以 0a2，2a24，由 f(a)f(a2)得 a2a2(a2)8，解得 a1， 则 f 1 a f(1)1212故填 2 【点拨】 此类分段函数与方程交汇问题， 关键点是抓住“分段问题、 分段解决”的核心思想，结合函数单调性及参数的特点分区间讨论，最 后将结果合并起来 函数 f(x) sin（x2），1x0， ex 1，x0 满足
21、f(1)f(a)2，则 a 所有可能 的值为 ( ) A1 或 2 2 B 2 2 C1 D1 或 2 2 解： 因为 f(1)e1 11 且 f(1)f(a)2， 所以 f(a)1 当1a0 时， f(a)sin(a2) 1，因为 0a21，所以 0a20， 则满足 f(x)f x1 2 1 的 x 的取 值范围是_ 解： 当 x1 2时， 恒成立； 当 0 x 1 2时， 恒成立， 当 x0 时， 1 4x0， 故 x1 4故填 1 4， 【点拨】 解由分段函数构成的不等式， 一般要根据分段函数的不 同分段区间进行分类讨论 设函数 f(x) e x1，x1， x 1 3，x1， 则使得 f
22、(x)2 成立的 x 的取值范围 是_ 解：当 x1 时，ex 12，解得 x1ln2，所以 x1在，a上的 最大值为 3，则 a 的取值范围为 ( ) A 3 4 ， 4 B 3 4 ，9 C 4，9 D 3 4 ， 解：当a3 4 f(x)1 时，若 x1，f(x)maxf 3 4 f 4 3，若 1xa，f(x)maxf(a)log2(a1)，因为函数 f(x) 在，a上的最大值为 3，所以 log2(a1)3，解得 1a9 综上可得，a 的取值范围为 3 4 ，9故选 B 【点拨】 已知分段函数的值域或最值求参数范围， 可先求函数在各区间段的值 域或最值，再结合已知建立不等式(组)求解必要时可先分析函数性质，再画图数 形结合 已知 f(x) （12a）x3a，x0， ln112a3a，所以1a 1 2，即实数 a 的取值范 围是 1，1 2 故选 C
