1、第4讲 简单的三角恒等变换基础达标1计算sin 15sin 30sin 75的值等于()AB C.D解析：选C.原式sin 15cos 152sin 15cos 15sin 30.2已知f(x)2tan x，则f的值为()A4BC4D8解析：选D.因为f(x)222，所以f8.3若sin，则cos等于()ABCD解析：选D.因为sin，cossin 2coscos 22sin21.4已知，均为锐角，(1tan )(1tan )2，则为()ABCD解析：选B.由(1tan )(1tan )2得tan tan 1tan tan ，所以tan()1.因为0，所以0，所以.5(2019台州质检)4si
2、n 80等于()ABCD23解析：选B.依题意，因为sin 80cos 10，所以4sin 80，选B.6已知cossin ，则sin的值是()ABCD解析：选C.因为cossin ，所以cos sin ，即，即sin，所以sin，所以sinsin.故选C.7._解析：原式tan 30.答案：8(2019温州中学高三模考)已知向量a(sin cos ，1)，b(1，2cos )，ab，则sin _，cos _解析：由题设可得sin cos 2cos ，即sin cos ，联立sin2cos21，由此可得sin ，cos .答案：9已知，tan()，则tan _解析：因为，所以，1，所以tan
3、1，又因为tan()，所以tan tan().答案：10(2019浙江省重点中学高三月考)请利用图1、图2中大矩形内部阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：_解析：两个图的阴影部分面积相等，题图1中大矩形面积为：S(cos cos )(sin sin )sin()sin cos sin cos ，减去四个小直角三角形的面积得S1Ssin cos sin cos sin()，题图2中阴影部分面积为S2sin cos cos sin .答案：sin()sin cos cos sin 11已知tan ，cos ，求tan()的值，并求出的值解：由cos ，得sin ，tan 2.
4、所以tan()1.因为，所以，所以.12已知tan 22，22，求的值解：原式，又，所以原式tan.因为tan 22，解得tan 或tan ，又22，所以，所以tan ，所以原式32.能力提升1已知sin 且为第二象限角，则tan()ABCD解析：选D.由题意得cos ，则sin 2，cos 22cos21，所以tan 2，所以tan.2公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割均为0.618，这一数值也可以表示为m2sin 18，若m2n4，则()A8B4C2D1解析：选C.因为m2sin 18，若m2n4，则n4m244sin2184(1sin218
5、)4cos218，所以2.3(2019台州市书生中学检测)在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知ab2，c4，sin A2sin B，则ABC的面积为_，sin(2AB)_解析：由sin A2sin B得，a2b，结合已知可知，ac4，b2，则cos A，sin A，Sbcsin A，cos B，sin B，sin(2AB)sin 2Acos Bcos 2Asin B2sin Acos Acos B(cos2Asin2A)sin B2.答案：4设，且5sin 5cos 8，sin cos 2，则cos()的值为_解析：由5sin 5cos 8，得sin，因为，所以cos.又，
6、由已知得sin.所以cos.所以cos()sinsinsincoscossin.答案：5已知sin msin(2)，求证：tan()tan .证明：因为sin msin(2)，所以sin()msin()，所以sin()cos cos()sin msin()cos cos()sin ，所以(1m)sin()cos (1m)cos()sin ，所以tan()tan ，所以原式成立6广告公司为某游乐场设计某项设施的宣传画，根据该设施的外观，设计成的平面图由半径为2 m的扇形AOB和三角区域BCO构成，其中C，O，A在一条直线上，ACB，记该设施平面图的面积为S(x)m2，AOBx rad，其中x.(
7、1)写出S(x)关于x的函数关系式(2)如何设计AOB，使得S(x)有最大值？解：(1)因为扇形AOB的半径为2 m，AOBx rad，所以S扇形x222x，过点B作边AC的垂线，垂足为点D，如图所示：则BODx，所以BD2sin(x)2sin x，OD2cos(x)2cos x，因为ACB，所以CDBD2sin x，所以SBOCCOBD(2sin x2cos x)2sin x2sin2x2sin xcos x1cos 2xsin 2x，所以S(x)1cos 2xsin 2x2x.(2)根据(1)，得到S(x)1cos 2xsin 2x2x，所以S(x)2sin 2x2cos 2x2，令S(x)0，所以2sin2，所以sin，所以2x，所以x，根据实际意义知，当x时，该函数取得最大值，故设计AOB时，S(x)有最大值7
