1、4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数,第四章 三角函数、解三角形,ZUIXINKAOGANG,最新考纲,1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化. 2.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,1.角的概念 (1)任意角：定义：角可以看成平面内 绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的 ；分类：角按旋转方向分为 、 和 . (2)所有与角终边相同的角，连同角在内，构成的角的集合是S _ . (3)象限角：使角的顶点与 重合，角的始边与
2、 重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.,一条射线,图形,正角,负角,知识梳理,ZHISHISHULI,零角,|k,360，kZ,原点,x轴的非负半轴,2.弧度制 (1)定义：把长度等于 长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度.正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 .,半径,正数,0,负数,(2)角度制和弧度制的互化：180 rad,1 rad，1 rad .,(3)扇形的弧长公式：l ，扇形的面积公式：S .,|r,3.任意角的三角函数 任意角的终边与单位圆交于点P(x，y)
3、时， 则sin ，cos ，tan (x0). 三个三角函数的性质如下表：,y,x,R,R,4.三角函数线 如下图，设角的终边与单位圆交于点P，过P作PMx轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与的终边或终边的反向延长线相交于点T.,MP,OM,AT,1.总结一下三角函数值在各象限的符号规律.,提示 一全正、二正弦、三正切、四余弦.,2.三角函数坐标法定义中，若取点P(x，y)是角终边上异于顶点的任一点，怎样定义角的三角函数？,【概念方法微思考】,题组一 思考辨析,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角.( ) (2)角的三角函
4、数值与其终边上点P的位置无关.( ) (3)不相等的角终边一定不相同.( ) (4)若为第一象限角，则sin cos 1.( ),基础自测,JICHUZICE,1,2,3,4,5,6,7,8,题组二 教材改编,2.角225 弧度，这个角在第 象限.,二,4.一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为 弧度.,1,2,3,4,5,6,7,8,1,2,3,4,5,6,7,8,题组三 易错自纠,1,2,3,4,5,6,7,8,1,2,3,4,5,6,7,8,解析 2cos x10，,由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，,1,2,3,4,5,6,7,8,2,题型分类 深度剖析,
5、PART TWO,题型一 角及其表示,自主演练,但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确.,A.MN B.MN C.NM D.MN,故选B.,3.(2018宁夏质检)终边在直线y x上，且在2，2)内的角的集合 为 .,4.若角是第二象限角，则 是第 象限角.,一或三,解析 是第二象限角，,(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(kZ)赋值来求得所需的角.,题型二 弧度制及其应用,师生共研,1.若例题条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积.,2.若例题条件改为：“若扇形周长为20 cm”，当扇形的圆心
6、角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？,解 由已知得，l2R20，则l202R(0R10).,所以当R5 cm时，S取得最大值25 cm2，此时l10 cm，2 rad.,应用弧度制解决问题的方法 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度. (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题. (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.,跟踪训练1 (1)(2018湖北七校联考)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为,解析 如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，,作OMAB，垂足为M，,(2)一扇形是从一个
7、圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的 面积等于圆面积 的 则扇形的弧长与圆周长之比为 .,记扇形的圆心角为，,题型三 三角函数的概念,命题点1 三角函数定义的应用,多维探究,A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角,例3 (1)满足cos 的角的集合是 .,连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角终边的范围，,命题点2 三角函数线,(2)若 从单位圆中的三角函数线观察sin ，cos ，tan 的大小关 系是 .,解析 如图，作出角的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT， 观察可知sin cos tan .,sin cos tan ,(1)利用三角函数的定
8、义，已知角终边上一点P的坐标可求的三角函数值；已知角的三角函数值，也可以求出点P的坐标. (2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围.,跟踪训练2 (1)(2018济南模拟)已知角的终边经过点(m，2m)，其中m0，则sin cos 等于,解析 角的终边经过点(m，2m)，其中m0，,(2)在(0,2)内，使得sin xcos x成立的x的取值范围是,此时sin x|MA|，cos x|OM|，sin xcos x；,OB为x的终边，此时sin x|NB|，cos x|ON|，sin xcos x.,3,课时作业,PART THREE,1.下列说法中正确的
9、是 A.第一象限角一定不是负角 B.不相等的角，它们的终边必不相同 C.钝角一定是第二象限角 D.终边与始边均相同的两个角一定相等,解析 因为33036030，所以330角是第一象限角，且是负角，所以A错误； 同理330角和30角不相等，但它们终边相同，所以B错误； 因为钝角的取值范围为(90，180)，所以C正确； 0角和360角的终边与始边均相同，但它们不相等，所以D错误.,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2.已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是 A.1 B.4 C.1或4 D.2或4,解析 设扇形的半径为r，弧长
10、为l，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.若sin cos 0，sin cos 0，则在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,解析 sin cos 0，sin 0，cos 0或sin 0，cos 0时，为第一象限角， 当sin 0，cos 0时，为第三象限角.sin cos 0， 为第三象限角.故选C.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15
11、,16,6.sin 2cos 3tan 4的值 A.小于0 B.大于0 C.等于0 D.不存在,解析 sin 20，cos 30， sin 2cos 3tan 40.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以8m0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8.给出下列命题： 第二象限角大于第一象限角； 三角形的内角是第一象限角或第二象限角； 不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关； 若sin sin ，则与的终边相同； 若cos 0，则是第二或第三象限的角. 其中正确命题的个数是 A.1
12、 B.2 C.3 D.4,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 举反例：第一象限角370不小于第二象限角100，故错； 当三角形的内角为90时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故错；正确；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,当cos 1，时，其既不是第二象限角，也不是第三象限角，故错. 综上可知，只有正确.,9.若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是 .,解析 设圆半径为r，则圆内接正方形的对角线长为2r，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1
13、6,10.若角的终边与直线y3x重合，且sin 0，又P(m，n)是角终边上一点，且|OP| ，则mn .,2,解析 由已知tan 3，n3m， 又m2n210，m21. 又sin 0，m1，n3.故mn2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 利用三角函数线(如图)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,13.已知角的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角用集合 可表示为 .,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7
14、,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以角只能是第三象限角.记P为角的终边与单位圆的交点， 设P(x，y)(x0，y0)， 则|OP|1(O为坐标原点)，即x2y21，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,16.如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为(1,0)，BOA60.质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以2 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动. (1)求经过1 s后，BOA的弧度；,解 经过1 s后，质点A运动1 rad，质点B运动2 rad，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)求质点A，B在单位圆上第一次相遇所用的时间.,
