1、一、选择题（每题2分，共16分）1（2分）抛物线yx2+1的对称轴是（）A直线x1B直线x1C直线x0D直线y12（2分）如图，在ABC中，DEBC，DE分别与AB，AC相交于点D，E，若AD4，DB2，则DE：BC的值为（）ABCD3（2分）如图是几种汽车轮毂的图案，图案绕中心旋转90后能与原来的图案重合的是（）ABCD4（2分）如图所示，ABC中BAC80，AB4，AC6甲、乙、丙、丁四名同学分别在ABC内画出一个阴影三角形与ABC相似，其中画的错误的是（）ABCD5（2分）将抛物线y（x+1）22向上平移a个单位后得到的抛物线恰好与x轴有一个交点，则a的值为（）A1B1C2D26（2分）
2、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC相似的是（）ABCD7（2分）如图，将ABC绕点A逆时针旋转100，得到ADE若点D在线段BC的延长线上，则B的大小为（）A30B40C50D608（2分）已知一个二次函数图象经过P1（3，y1），P2（1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，若y3y2y4，则y1，y2，y3，y4的最值情况是（）Ay3最小，y1最大By3最小，y4最大Cy1最小，y4最大D无法确定二、填空题（每题2分，共16分）9（2分）利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5cm的一个等边三角形放大成边长为20cm的等边三角形，则放大前后的两个三
3、角形的面积比为 10（2分）老师给出一个二次函数，甲、乙、丙三名同学各指出这个函数的一个性质甲：函数图象的顶点在x轴上；乙：当x1时，y随x的增大而减小；丙：该函数的形状与函数yx2的图象相同已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数表达式 11（2分）如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知ABBD，CDBD，测得AB2米，BP3米，PD12米，那么该古城墙的高度CD是 米12（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，AOB可以看作
4、是OCD经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由OCD得到AOB的过程： 13（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2+bx+c与x轴交于（1，0），（3，0）两点，请写出一个满足y0的x的值 14（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为A（1，0），等腰直角三角形ABC的边AB在x轴的正半轴上，ABC90，点B在点A的右侧，点C在第一象限将ABC绕点A逆时针旋转75，如果点C的对应点E恰好落在y轴的正半轴上，那么边AB的长为 15（2分）如图，抛物线C1：yx2经过平移得到抛物线C2：yx2+2x，抛物线
5、C2的对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是 16（2分）请阅读下面材料，并回答所提出的问题三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例已知：如图，ABC中，AD是角平分线求证：证明：过C作CEDA，交BA的延长线于E1E，23AD是角平分线，123EACAE又CEDA，（1）上述证明过程中，步骤处的理由是 （2）用三角形内角平分线定理解答：已知，ABC中，AD是角平分线，AB7cm，AC4cm，BC6cm，则BD的长为 cm三、解答题（本题共68分，第17-22题每小题5分，第23-26题每小题5分，第27
6、、28题每小题5分）17（5分）如图，已知ABC顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，1），C（3，4）（1）将ABC绕点A逆时针旋转90后，得到AB1C1在所给的直角坐标系中画出旋转后的AB1C1，并写出点B1的坐标；（2）以坐标原点O为位似中心，在第二象限内再画一个放大的A2B2C2，使得它与ABC的位似比等于2：118（5分）已知抛物线yx2+4x5（1）直接写出它与x轴、y轴的交点的坐标；（2）用配方法将yx2+4x5化成ya（xh）2+k的形式；（3）抛物线yx2+4x5是如何由抛物线yx2+1平移得到的19（5分）如图，在矩形ABCD中，E为AD边上的一点，过C点作CFCE交AB的
7、延长线于点F（1）求证：CDECBF；（2）若B为AF的中点，CB3，DE1，求CD的长20（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2+ax+b经过点A（2，0），B（1，3）（1）求抛物线的解析式；（2）由图象直接写出：x取何值时，y随x的增大而减少；（3）根据图象回答：x取何值时，y021（5分）已知二次函数的解析式是yx22x3（1）与y轴的交点坐标是 ，顶点坐标是 （2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；xy（3）结合图象回答：当2x2时，函数值y的取值范围是 22（5分）在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的
8、安全距离，如图，在一个路口，一辆长为10m的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶设小张距大巴车尾xm，若大巴车车顶高于小张的水平视线0.8m，红灯下沿高于小张的水平视线3.2m，若小张能看到整个红灯，求出x的最小值23（6分）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面8m时，水面宽AB为12m当水面上升6m时达到警戒水位，此时拱桥内的水面宽度是多少m？下面给出了解决这个问题的两种方法，请补充完整：方法一：如图1，以点A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，此时点B的坐标为（ ， ），抛物线的顶点坐标为（
9、 ， ），可求这条抛物线所表示的二次函数的解析式为 当y6时，求出此时自变量x的取值，即可解决这个问题方法二：如图2，以抛物线顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系xOy，这时这条抛物线所表示的二次函数的解析式为 当y 时，求出此时自变量x的取值为 ，即可解决这个问题24（6分）如图，将非等腰ABC绕点B旋转得到DBE，且A，D，C三点在同一条直线上，BC、DE交与点O，连结EC补全图形后，在现有图形下找出一对相似比不是1：1的相似三角形并进行证明25（6分）有这样一个问题：探究函数y的图象与性质小东根据学习函数的经验
10、，对函数y的图象与性质进行了探究下面是小东的探究过程，请补充完成：（1）化简函数解析式，当x3时，y ，当x3时y ；（2）根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数y的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：若关于x的方程ax+1只有一个实数根，直接写出实数a的取值范围： 26（6分）已知抛物线G：yx22ax+a1（a为常数）（1）当a3时，用配方法求抛物线G的顶点坐标；（2）若记抛物线G的顶点坐标为P（p，q）分别用含a的代数式表示p，q；请在的基础上继续用含p的代数式表示q；由可得，顶点P的位置会随着a的取值变化而变化，但点P总落在 &nb
11、sp; 的图象上A一次函数 B反比例函数 C二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G改为抛物线H：yx22ax+N（a为常数），其中N为含a的代数式，从而使这个新抛物线H满足：无论a取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H的函数表达式： （用含a的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式ykx+b（k，b为常数，k0）中，k ，b 2
12、7（7分）如图，等腰直角三角形ABC中，ACB90D为射线BC上一动点连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90至点E，连接AE、DE点M、N分别是AB、DE的中点，连接MN（1）如图1，点D在线段BC上猜想MN与AB的位置关系，并证明你的猜想；连接EB，猜想BE与BC的位置关系；（2）在图2中，若点D在线段BC的延长线上，BE与BC的位置关系是否改变？请你补全图形后，证明你的猜想28（7分）对某一个函数给出如下定义：若存在实数M0，对于任意的函数值y，都满足MyM，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1（1）分别判断
13、函数y（x0）和yx+1（4x2）是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；（2）若函数yx+1（axb，ba）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；（3）将函数yx2（1xm，m0）的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足t1？2019-2020学年北京市宣武外国语实验学校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题2分，共16分）1【解答】解：抛物线yx2+1，抛物线对称轴为直线x0，即y轴，故选：C2【解答】解：DEBC，ADEABC，故选：A3【解答】解：A此图案绕中心旋转36或36的整数倍能与原来的图案重合，此选项不符合题
14、意；B此图案绕中心旋转45或45的整数倍能与原来的图案重合，此选项符合题意；C此图案绕中心旋转60或60的整数倍能与原来的图案重合，此选项不符合题意；D此图案绕中心旋转72或72的整数倍能与原来的图案重合，此选项不符合题意；故选：B4【解答】解A满足两组角分别相等，则阴影三角形与ABC相似；B满足两组角分别相等，则阴影三角形与ABC相似；C满足两组边成比例且夹角相等，则阴影三角形与ABC相似；D不满足相似三角形的判定方法故选：D5【解答】解：新抛物线的解析式为：y（x+1）22+ax2+2x1+a，新抛物线恰好与x轴有一个交点，44（1+a）0，解得a2故选：D6【解答】解：根据题意得：AB，
15、AC，BC2，AC：BC：AB：2：1：，A、三边之比为1：2，图中的三角形（阴影部分）与ABC不相似；B、三边之比为：3，图中的三角形（阴影部分）与ABC不相似；C、三边之比为1：，图中的三角形（阴影部分）与ABC相似；D、三边之比为2：，图中的三角形（阴影部分）与ABC不相似故选：C7【解答】解：根据旋转的性质，可得：ABAD，BAD100，BADB（180100）40故选：B8【解答】解：二次函数图象经过P1（3，y1），P2（1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，且y3y2y4，抛物线开口向上，对称轴在0和1之间，P1（3，y1）离对称轴的距离最大，P3（1，y3）离对称
16、轴距离最小，y3最小，y1最大，故选：A二、填空题（每题2分，共16分）9【解答】解：因为原图中边长为5cm的一个等边三角形放大成边长为20cm的等边三角形，所以放大前后的两个三角形的面积比为1：16，故答案为：1：1610【解答】解：根据题意知，满足上述所有性质的二次函数可以是：y（x1）2，故答案为：y（x1）2，（答案不唯一）11【解答】解：由题意可得：APECPE，APBCPD，ABBD，CDBD，ABPCDP90，ABPCDP，AB2米，BP3米，PD12米，CD8米，故答案为：812【解答】解：OCD绕C点顺时针旋转90，并向左平移2个单位得到AOB（答案不唯一）故答案为：OCD绕
17、C点顺时针旋转90，并向左平移2个单位得到AOB13【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2+bx+c与x轴交于（1，0），（3，0）两点，当y0的x的取值范围是：1x3，x的值可以是2故答案是：2（答案不唯一）14【解答】解：依题可知，BAC45，CAE75，ACAE，OAE60，在RtAOE中，OA1，EOA90，OAE60，AE2，AC2在RtABC中，故答案为：15【解答】解：抛物线C1：yx2的顶点坐标为（0，0），yx2+2x（x+3）23，平移后抛物线的顶点坐标为（3，3），对称轴为直线x3，当x3时，y（3）23，平移后阴影部分的面积等于如图三角形的面积为：（3+3
18、）39，故答案为：916【解答】解：（1）的理由是：平行线分线段成比例定理（2）设BDxcm，则CD（6x）cm，AD平分ABC，解得x，BDcm，故答案为三、解答题（本题共68分，第17-22题每小题5分，第23-26题每小题5分，第27、28题每小题5分）17【解答】解：（1）如图：正确画出AB1C1，B1（1，2），（2）如图：正确画出A2B2C2，18【解答】解：（1）设y0，则x2+4x50，x11，x25，与x轴交点坐标（1，0），（5，0）；与y轴交点（0，5）；（2）yx2+4x5（x2+4x+4）9，（x+2）29（3）将抛物线yx2+1 向左平移2个单位，再向下平移10个单
19、位19【解答】（1）证明：四边形ABCD是矩形，D12+390，CFCE4+39024，CDECBF；（2）解：四边形ABCD是矩形，CDAB，B为AF的中点BFAB，设CDBFxCDECBF，x0，x，即CD的长为20【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线的表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：yx2+6x+8；（2）由图象得：x3时，y随x的增大而减少；（3）由图象得：x4或x2时，y021【解答】解：（1）令x0，则y3所以抛物线yx22x3与y轴交点的坐标为（0，3），yx22x3（x1）x24，所以它的顶点坐标为（1，4）；故答案为（0，3），（1，4）；（2）列表：x101
20、23y03430图象如图所示：；（3）当2x1时，4y5；当1x2时，4y3故答案为：当2x1时，4y5；当1x2时，4y322【解答】解：如图，由题可得CDAB，OCDOAB，即，解得x10，x的最小值为1023【解答】解：方法一：B（12，0），O（6，8），设二次函数的解析式为ya（x6）2+8，把B点的坐标代入得，a，二次函数的解析式为yx2+x；方法二：设二次函数的解析式为yax2，把B（6，8）代入得，a，二次函数的解析式为yx2；y2时，求出此时自变量x的取值为3，故答案为：12，0，6，8，yx2+x，yx2；2，324【解答】解：OBEODC证明如下：非等腰ABC绕点B旋转得
21、到DBE，如图，ACBDEB，BOEDOC，OBEODC25【解答】解：（1）当x3时，yx；当x3时，y3；故答案为x，3；（2）根据（1）中的结果，画出函数y的图象如下：（3）根据画出的函数图象，当a0时，直线yax+1与函数y只有一个交点；当a1时，直线yax+1与函数y3（x3）的图象有一个交点，与函数yx（x3）无交点；当a时，直线yx+1经过点（3，3）故若关于x的方程ax+1只有一个实数根，实数a的取值范围：a0或a1或a，故答案为a0或a1或a26【解答】解：（1）当a3时，yx26x+31x26x+2（x3）27，此时抛物线的顶点坐标为（3，7）；（2）yx22ax+a1（x
22、a）2a2+a1，抛物线G的顶点坐标为P（p，q），pa，qa2+a1；由可得，qp2+p1；由可得，顶点P的位置会随着a的取值变化而变化，但点P总落在二次函数图象上，故答案为：C；（3）符合以上要求的新抛物线H的函数表达式：yx22ax+a2+a，yx22ax+a2+a（xa）2+a，顶点坐标为（a，a），它的顶点所在的一次函数图象的表达式yx，k1，b0，故答案为：yx22ax+a2+a，1，027【解答】解：（1）垂直，理由：如图1，由旋转知，ADAE，DAE90，点N是DE的中点，DANDAE45，AND90，ADAN，在等腰直角三角形ABC中，ACB90，BAC45，ABAC，M是A
23、B的中点，AMABAC，ACAM，DANBAC45，CADMAN，CADMAN，AMNACD90，MNAB；垂直；理由：如图2，连接AB，BN，由知，MNAB，M是AB的中点，MN是AB的中垂线，ANBN，由旋转知，ADAE，DAE90，点N是DE的中点，ANDNENDE，DNENBN，BDNDBN，BENEBN，BDE+BED+DBE180，BDN+BEN+DBN+EBN2DBN+2EBN2（DBN+EBN）2DBE180，DBE90，BEBC；（2）关系不改变，DEBC，理由：当CDAC时，如图3，同（1）的方法；当CDAC时，如图4，同（1）的方法28【解答】解：（1）根据有界函数的定义知，函数y （x0）不是有界函数；函数yx+1（4x2）是有界函数4+13，2+13，yx+1（4x2）边界值为3（2）k10，函数yx+1的图象是y随x的增大而减小，当xa时，ya+12，解得：a1；当xb时，yb+1，1b3；（3）若m1，函数向下平移m个单位后，x0时，函数值小于1，此时函数的边界t1，与题意不符，故m1当x1时，y1，函数yx2过点（1，1）；当x0时，y最小0，函数yx2过点（0，0）都向下平移m个单位，则函数yx2m过点（1，1m）、（0，m），t1，或，解得：0m 或 m1故当0m 或 m1时，满足t1
