1、章末复习一、网络构建二、要点归纳1向量的运算：设a(x1，y1)，b(x2，y2).向量运算法则(或几何意义)坐标运算向量的线性运算加法ab(x1x2，y1y2)减法ab(x1x2，y1y2)数乘(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0a(x1，y1)向量的数量积运算ab|a|b|cos (为a与b的夹角)规定0a0，数量积的几何意义是a的模与b在a方向上的投影的积abx1x2y1y22.两个定理(1)平面向量基本定理定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12
2、e2.基底：把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底(2)向量共线定理如果有一个实数，使ba(a0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a0)是共线向量，那么有且只有一个实数，使ba.3向量的平行与垂直a，b为非零向量，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，ab有唯一实数使得ba(a0)x1y2x2y10abab0x1x2y1y20题型一向量的线性运算例1如图所示，在ABC中，P是BN上的一点，若m，则实数m的值为_答案解析设，则m(m1).与共线，(m1)0，m.反思感悟向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解
3、决平面几何中的共线、共点问题跟踪训练1如图所示，正方形ABCD中，M是BC的中点，若，则等于()A. B.C. D2考点基底思想在解题中的应用题点基底思想在解题中的应用答案B解析因为()()()()，且，所以得所以，故选B.题型二向量的数量积运算例2已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，且|kab|akb|(k0)(1)用k表示数量积ab；(2)求ab的最小值，并求出此时a与b的夹角的大小解(1)由|kab|akb|，得(kab)23(akb)2，k2a22kabb23a26kab3k2b2.(k23)a28kab(13k2)b20.|a|1，|b|1，k238kab13k2
4、0，ab.(2)ab.由对勾函数的单调性可知，f(k)在(0,1上单调减，在1，)上单调增，当k1时，f(k)minf(1)(11)，此时a与b的夹角的余弦值cos ，又0，180，60.反思感悟数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题：(1)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，abx1y2x2y10，abx1x2y1y20.(2)求向量的夹角和模的问题设a(x1，y1)，则|a|.两向量夹角的余弦值(0)cos .跟踪训练2已知向量(3，4)，(6，3)，(5m，(3m)(1)若点A，B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件；(2)若ABC为直角三角形，且A为直角，求实数
5、m的值解(1)若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，(3，4)，(6，3)，(5m，(3m)，(3,1)，(m1，m)，与不平行，3mm1，解得m，当实数m时满足条件(2)若ABC为直角三角形，且A为直角，则，而(3,1)，(2m,1m)，3(2m)(1m)0，解得m.题型三向量坐标法在平面几何中的应用例3在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60.点E和F分别在线段BC和DC上，且，则的值为_答案解析作COAB于点O，建立如图所示的平面直角坐标系，则A，B，C，D，所以E，F，所以，所以.反思感悟把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能
6、进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题这样的解题方法具有普遍性跟踪训练3如图，半径为的扇形AOB的圆心角为120，点C在上，且COB30，若，则_.答案解析由题意，得AOC90，故以O为坐标原点，OC，OA所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则O(0,0)，A(0，)，C(，0)，B(cos 30，sin 30)，即B.因为，所以(，0)(0，)，即则所以.1已知向量a(2,1)，b(1，m)，c(2,4)，且(2a5b)c，则实数m等于()A B C. D.答案D解析2a5b2(2,1)5(1，m)(1,25m)，又(2a5b)c，所以(2a5b)c0，即(1,25m)(2,4)
7、24(25m)0，解得m.2已知|a|1，ab，|ab|21，则a与b的夹角等于()A30 B45C60 D120考点平面向量数量积的应用题点利用数量积求向量的夹角答案C解析设a与b的夹角为，因为ab|a|b|cos ，且|a|1，所以|b|cos .又|ab|2|a|2|b|22ab1，即1|b|211，故|b|1.由得cos .又0180，所以60，故选C.3已知向量a(2,3)，b(1,2)，若ma4b与a2b共线，则m的值为_答案2解析ma4b(2m4,3m8)，a2b(4，1)ma4b与a2b共线，(2m4)(1)(3m8)40，解得m2.4已知向量a(1,2)，b(2，3)若向量c满足(ca)b，c(ab)，则c_.考点向量坐标在解题中的应用题点向量坐标在解题中的应用答案解析设c(x，y)，则ca(x1，y2)又(ca)b，2(y2)3(x1)0.又c(ab)，(x，y)(3，1)3xy0.联立解得x，y.5平面向量a(，1)，b，若存在不同时为0的实数k和t，使xa(t23)b，ykatb，且xy，试求函数关系式kf(t)解由a(，1)，b，得ab0，|a|2，|b|1，由xy，得a(t23)b(katb)0，ka2tabk(t23)abt(t23)b20，即4kt33t0，所以k(t33t)，令f(t)(t33t)，所以函数关系式为kf(t)(t33t)
