1、2020年高考理科数学：平面向量题型归纳与训练【题型归纳】题型一 平面向量的线性运算例1：记maxx，yx,xyy,xy,minx，yy,xyx,xb0)的右焦点为F,过点F与x轴垂直的直线l交两渐近线于A.B两点,与双曲线的其中一个交点为P,设坐标原点为O,若OP=mOA+nOB(m,nR),且mn=29,则该双曲线的渐近线为（ ）Ay=34x By=24x Cy=12x Dy=13x【答案】B【解析】由题意可知A(c,bca),B(c,-bca),代入OP=mOA+nOB，得P(m+n)c,(m-n)bca),代入双曲线方程中,整理的4e2mn=1；又因为mn=29,可得e=324,ba=
2、e2-1=24,所以该双曲线的渐近线为y=24x，故B为正确答案.【易错点】A、B、P三点坐标的确定，离心率的概念。【思维点拨】解析几何中基本量的计算要注意方程思想的应用和运算的准确性.题型三 平面向量数量积的概念与计算例1.如图,正六边形ABCDEF的边长为1,则ADDB（ ）A.3 B.-3 C.3 D.-3【答案】 D【解析】根据正六边形性质,有ADB30,于是向量AD与DB所成角为150;且AD=2,|DB|=3,所以ADDB=|AD|DBcos15023-32=-3,选D【易错点】正六边形的性质及平面向量的加减法运算法则的应用；【思维点拨】利用定义求两个非零向量数量积,关键要搞清向量
3、的数量积和模,尤其在求向量夹角时,要判断其起点是否共点例2.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,sinC2=63,a=b=3,点P是边AB上的一个三等分点,则CPCB+CPCA=( )A.0 B.6 C.9 D.12【答案】 B【解析】过点C作COAB,垂足为O如图所示, C0,3.,sinC2=63,cosC2=1-sin2C2=33,CO=3.AO=OB=33-32=6.取点P靠近点B的三等分点则P63,0.CPCB+CPCA=CP2CO=263,-30,-3=6同理取点P靠近点A的三等分点答案也是6CPCB+CPCA=6【易错点】坐标系的建立，点坐标的确定；【思维点拨】用坐
4、标法求平面向量数量积可以简化解题过程,坐标法思想能否灵活使用以及坐标系建立的恰当与否是解题关键例3.如图,BC,DE是半径为1的圆O的两条直径, BF=2FO,则FDFE的值是（ ）A-34 B-89 C-14 D-49【答案】 B【解析】BF=2FO,r=1,FO=13,FDFE=FO+ODFO+OE=FO2+FOOE+OD+ODOE=132+0-1=-89.故选B.【易错点】平面向量线性运算性质的应用，共线性质的应用；【思维点拨】利用线性运算将待求量转化到利用B.O.C,D.O.E共线的向量表示,利用同向或是反向解决问题；题型四 平面向量的夹角与模的计算例1.若非零向量a,b满足|a|22
5、3|b|,且(ab)(3a+2b),则a与b的夹角为()A.4B. 2C. 34D【答案】 A【解析】设bx,a,b，则a223x,ab=223x2cos. (ab)(3a2b)，(ab)(3a2b)0，3a2+2ab3ab2b20,即389x2223x2cos2x20, 223cos=23,cos=22，0,=4.故选A.【易错点】垂直关系的转化，比例关系的应用，夹角的范围；【思维点拨】利用垂直得出a,b的等式关系，借助长度关系建立关于夹角余弦值方程即可解决;题型五 平面向量中的范围、最值问题例1.在边长为2的等边三角形ABC中,D是AB的中点,E为线段AC上一动点,则EBED的取值范围为
6、【答案】见解析；【解析】由题意可得，AE与AB的夹角是60，D是AB的中点，设AE=x,EBED=AB-AEAD-AE=ABAD-AB+ADAE+|AE|2 =2|AD|2-3ADAE+AE2=2-32x+x2;由于E为线段AC上的一动点，故0x2，令f(x)= 2-32x+x2=x-342+2316;当x=34时，f(x)min=2316；当x=2时, f(x)max=3，EBED的取值范围为2316,3)【易错点】线性转化，函数关系的构造，取值范围的确定；【思维点拨】将EBED用某个变量表示,转化为函数的值域问题,其中选择变量要有可操作性.例2.已知向量a,b,c满足: a=4,b=22,
7、 a与b的夹角为4, c-ac-b=-1,则|c-a|的最大值为（ ）A.2+12 B. 2+22 C. 2+12 D. 2+1【答案】 D【解析】设OA=a,OB=b,OC=c;以OA所在直线为x,O为坐标原点建立空间直角坐标系,a=4,b=22,a与b的夹角为4,则A(4,0),B(2,2),设C(x,y),c-ac-b=-1,x2+y2-6x-2y+9=0,即(x-3)2+(y-1)2=1表示以(3,1)为圆心，以1为半径的圆,|c-a|表示点AC的距离，即圆上的点与点A(4,0)的距离；圆心到B的距离为：(4-3)2+(0-1)2=2, |c-a|的最大值为2+1，故选:D【易错点】题
8、干条件的转化，几何意义的应用；【思维点拨】夹角已知向量模已知的情况下，即可将线性运算转化为坐标运算，将问题具体化.例3. 已知向量OA与OB的夹角为,OA=2,OB=1,OP=tOA,OG=1-tOB,|PQ|在t0时取得最小值,当0t015时,夹角的取值范围为（ ）A.(0,3) B. (3,2) C. (2,23) D. (0,23)【答案】 D【解析】由题意知, OAOB=21cos=2cos,PQ=OQ-OP=1-tOB-tOA;PQ2=1-t2OB2+t2OA2-2t1-tOAOB=1-t2+4t2-4t(1-t)cos; 5+4cost2+-2-4cost+1;由二次函数图像及其性
9、质知,当上式取得最小值时, t0=1+2cos5+4cos.由题意可得,01+2cos5+4cos15，求得-12cos0,所以2cos23，故应选C.【易错点】转化方向的确定，函数关系的建立；【思维点拨】求变量的取值范围、最值,往往要将目标函数用某个变量表示,转化为求函数的最值问题,期间要注意变量之间的关系,进而得解.例4.已知a=,2,b=(-3,5),且a与b的夹角为锐角,则的取值范围是 【答案】 0,且a与b不共线同向,由ab0-3+100,解得103,当向量a与b共线时,得5=-6,得=-65,因此的取值范围是0且cos1,而三角形内角为锐角,则cos0题型六 平面向量在三角函数中的
10、应用例1.在平面直角坐标系xOy中，已知向量m=(22,-22),nsinx,cos x;x0,2.若mn，求tanx的值；若m与n的夹角为3,求x的值.【答案】 见解析；【解析】m=(22,-22)，nsinx,cos x，mn.mn=22sinx-22cos x=0，即sinxcosx，tanx=sinxcosx=1.由题意知，m222+-222=1，nsinx2+cosx21，mn=22sinx-22cos x=sin(x-4).而mn|m|n|cosm，ncos312.sin(x-4)12，又x0,2，x-4-4,4，x-4=6，x=512.【易错点】运算出错，角度范围不明确；【思维点
11、拨】利用平面向量坐标运算性质及垂直关系建立等式即可得出结果。【巩固训练】题型一 平面向量的线性运算1.设D,E分别是ABC的边AB,BC上的点，AD12AB，BE23BC.若DE1AB+2AC(1,2为实数)，则1+2的值为_【答案】：12【解析】：DEDB+BE=12AB+23BC=12AB+23AC-AB=23AC-16AB；又DE1AB+2AC,1=-16,2=23,1+2=12.2.已知A,B,C为圆O上的三点，若AO=12AB+AC，则AB与AC的夹角为_【答案】：90【解析】：由AO=12AB+AC可知O为BC的中点，即BC为圆O的直径，又因为直径所对的圆周角为直角，所以BAC=9
12、0，所以AB与AC的夹角为90.3.在ABC中,点M,N满足AM=2MC，BN=NC,若MN=xAB+yAC，则x_；y_.【答案】：12 -16【解析】：如图，在ABC中，MN=MA+AB+BN=-23AC+AB+12BC=-23AC+AB+12AC-AB =12AB-16AC； x=12;y=-16题型二 共线向量定理、平面向量基本定理的应用1. 如图,在平行四边形ABCD中, ABa,ADb,AN3NC,则BN（ ）(用a,b表示) A.14a-34b B. 34a-14b C.14b-34a D.34b-14a【答案】D【解析】BN=BA+AN=BA+34AC=BA+34AB+AD=-
13、14AB+34AD=-14a+34b2. 已知OA,OB是两个单位向量,且OAOB=0.若点C在AOB内,且AOC=30,则OC=mOA+nOB(m,nR)，则nm（）A. 13 B.3 C. 33 D. 3【答案】C【解析】以O原点,向量OA,OB所在直线为轴,建立平面直角坐标系,因为AOC=30,设点C的坐标为(x, 33x),由OC=mOA+nOB,得m=x, n=33x, nm=333.直线l过抛物线y2=2px(p0)的焦点,且交抛物线于A,B两点,交其准线于C点,已知AF=4,CB=3BF,则p（ ）A.2 B. 43 C. 83 D.4【答案】C【解析】过A,B分别作准线的垂线交
14、准线于E,D.因为AF=4,CB=3BF，所以AE=4,|CB|=3|BF|,且|BF|=|BD|,设BF=BD=a,则|CB|=3a,根据三角形的相似性可得: |BD|AE|=|CB|AC|,即 a4=3a3a+a+4,解得a=2,所以|GF|AE|=|CF|AC|,即p4=3a+a3a+a+4=4a4a+4,所以p=4aa+1=83,选C.4在ABC中,M为边BC上任意一点,N为AM中点, AN=AB+AC,则+的值为()A. 12 B. 13 C. 14 D.1【答案】A【解析】M为边BC上任意一点,可设AM=xAB+yAC;(x+y=1)N为AMAM中点,AN=12AM=12xAB+1
15、2yAC=AB+AC;.+=12x+y=12. 题型三 平面向量数量积的概念与计算1.若等腰ABC底边BC上的中线长为1,底角B60,则BAAC的取值范围是_【答案】-1,-23【解析】因为等腰ABC底边BC上的中线长为1,底角B60,所以BAC0,y0且x+y=1,则CDBE的最大值为 （ ） A.-58 B-34 C-32 D-38【答案】D【解析】由题意：ABAC=ABACcos3=12; CD=CB+BD=AB-AC+xBA=1-xAB-AC; BE=BC+CE=AC-AB+yCA=1-yAC-AB=xAC-AB;CDBE=1-xAB-ACxAC-AB =x1-xABAC+ABAC-1
16、-xAB2-x|AC|; =-12x2+12x-12=-12x-122-38,(x(0,1);当x=12时, CDBE取得最大值-38。题型四 平面向量的夹角与模的计算1.已知向量AB与AC的夹角为120,且|AB|=3,AC=2.若AP=AB+AC,且APBC，则实数的值为_【答案】712【解析】APBC,APBC=0, AB+ACBC=0,即 AB+ACAC-AB= ABAC- AB2+AC2-ABAC=0;向量AB与AC的夹角为120, |AB|=3,AC=2，-1ABACcos120-9+4=0; =712.2.平面向量a1,2,b4,2,cma+b(mR),且c与a的夹角等于c与b的
17、夹角，则m()A2 B1 C1 D2【答案】D【解析】:cma+bm+4，2m+2，ac5m+8,bc=8m+20.由两向量的夹角相等可得：ac|a|=bc|b|,即为5m+85=8m+2020，解得m2.3.)在平行四边形ABCD中,AD1,BAD60，E为CD的中点若ACBE1，则AB的长为_【答案】12【解析】方法一：由题意可知，AC=AB+AD，BE=-12AB+AD.因为ACBE1，所以(AB+AD)(-12AB+AD)1，则|AD|2+12ABAD-12AB2=1, 因为AD=1,BAD60,所以ABAD=12AB;因此式可化为1+14AB12AB2=1.解得AB=0(舍去)或12
18、，所以AB的长为12.方法二：以A为原点，AB为x轴建立如图的直角坐标系，过D作DMAB于点M.由AD=1,BAD60，可知AM=12,DM=32 .设|AB|m(m0)，则B(m,0)Cm+12,32,D(12,32).因为E是CD的中点，所以Em2+12,32.所以BE=12-m2,32,AC=m+12,32.由ACBE=1，可得m+1212-m2+34=1,即2m2-m=0,所以m=0(舍去)或12. 故AB的长为12.题型五 平面向量中的范围、最值问题1.已知ABAC,AB=1t,AC=t,若点P是ABC所在平面内一点,且AP=AB|AB|+4AC|AC|,则PBPC的最大值等于（ ）
19、.A13 B15 C19 D21【答案】A【解析】以点A为坐标原点,建立平面直角坐标系,如图所示,则B1t,0,C(0,t),AP=1,0+40,1=(1,4),即P(1,4),所以PB=1t-1,-4, PC=(-1,t-4),因此PBPC=1-1t-4t+16=17-(1t+4t).由题可得t0,所以1t+4t21t4t=4,所以PBPC的最大值等于13,当1t=4t,即t=12时,等号成立故选A2.已知a,b是平面内互不相等的两个非零向量,且a=1,a-b与b的夹角为150,则|b|的取值范围是（ ） A.(0,3 B.1,3 C.(0,2 D.3,2 【答案】C【解析】如下图所示,AB
20、=a,AD=b,则AC=DB=a-b,a-b与b的夹角150，即DAB=150；ADB=30，设DBA=，则0150,在ABD中,由正弦定理得|a|sin30=|b|sin,b=|a|sin30sin=2sin; 0b2,故选C。3. 非零向量a,b满足2ab=a2b2, a+b=2,则a与b的夹角的最小值是 【答案】【解析】由题意得ab=12a2b2,( a+b)2=4 ,整理得a2+b2=4-2ab2ab,即ab1 cos=ab|a|b|=12ab12;3;夹角的最小值为3.4.设向量e1,e2满足：|e1|=2,|e2|=1, e1,e2的夹角是60,若2te1+7e2与e1+te2的夹
21、角为钝角,则t的范围是（ ）A(-7,-12) B.-7,-142(-142,-12) C. -7,-142)(-142,-12 D. (-,-7)(-12,+) 【答案】B【解析】由题可知：|e1|2=4,|e2|2=1, e1e2=21cos60=1;2te1+7e2e1+te2=2t|e1|2+2t2+7+7t|e2|2=2t2+15t+7;欲使夹角为钝角,需2t2+15t+70,得-7t-12. 2te1+7e2=e1+te20,2t=且t=7，2t2=7,；t=-142,此时=-14，即t=-142时，向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为. 夹角为钝角时，t的取值范围是-7,-
22、142(-142,-12).故选择B.题型六 平面向量在三角函数中的应用1.已知acos,sin,bcos,sin,0.(1)若|ab|=2，求证：ab；(2)设c(0,1)，若abc，求,的值【答案】见解析；【解析】(1)证明：由题意得|ab|22，即(ab)2=a22ab+b22.又因为a2=b2=|a|2=|b|2=1,所以22ab2，即ab0，故ab.(2)因为a+bcos+cos,sin+sin=c=(0,1)，所以cos+cos=0sin+sin=1 由此得，cos=cos()由0,得0,又0，所以=56,=6.2.已知向量acos,sin,bcos3,sin3,-2,-4，若向量a,b的夹角为,则有()A.4+ B.4 C.2+2 D.2【答案】A【解析】依题意有cos =ab|a|b|=coscos3+sinsin3cos2+sin2cos23+sin23=cos4=cos(4+2),由于-2,-4，所以4+20，,而0,于是有4+2.3. 已知a1,sin2x,b2,sin 2x,其中x(0,)若|ab|a|b|，则tanx的值等于()A1 B1 C. 3 D.22【答案】A【解析】由|ab|a|b|知，ab，所以sin 2x2sin2x,即2sinxcosx2sin2x,而x(0，)，所以sinxcosx，故tanx1.
