1、第2课时圆的一般方程学习目标1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小.3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程.知识点圆的一般方程方程条件图形x2y2DxEyF0D2E24F0表示以为圆心，以为半径的圆一、圆的一般方程命题角度1圆的一般方程的概念例1若方程x2y22mx2ym25m0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径.解由表示圆的条件，得(2m)2(2)24(m25m)0，解得m0成立，则表示圆，否则不表示圆.(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征判断.应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2y2Dx
2、EyF0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解.跟踪训练1(1)已知aR，方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆，则圆心坐标为_，半径为_.(2)点M，N在圆x2y2kx2y40上，且点M，N关于直线xy10对称，则该圆的面积为_.答案(1)(2，4)5(2)9解析(1)由圆的一般方程的形式知，a2a2，得a2或1.当a2时，方程可化为x2y2x2y0，D2E24F122240，a2不符合题意.当a1时，方程可化为x2y24x8y50，即(x2)2(y4)225，圆心坐标为(2，4)，半径为5.(2)圆x2y2kx2y40的圆心坐标为，由圆的性质知，直线xy10经过圆心，110，得
3、k4，圆x2y24x2y40的半径为3，该圆的面积为9.命题角度2求圆的一般方程例2已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，1).(1)求ABC的外接圆的方程；(2)若点M(a,2)在ABC的外接圆上，求a的值.解(1)设ABC外接圆的方程为x2y2DxEyF0，由题意，得解得即ABC的外接圆的方程为x2y28x2y120.(2)由(1)知，ABC的外接圆的方程为x2y28x2y120，点M(a,2)在ABC的外接圆上，a2228a22120，即a28a120，解得a2或6.延伸探究若本例(2)中将条件改为“圆M过A，B两点且圆M关于直线yx对称”，其他条件不变，如何求圆M的方程？解kAB，A
4、B的中点坐标为，AB的垂直平分线方程为y3.联立得即圆心M的坐标为，r，圆M的方程为22.反思感悟应用待定系数法求圆的方程时应注意(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.跟踪训练2已知一圆过P(4，2)，Q(1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程.解方法一(待定系数法)设圆的方程为x2y2DxEyF0，将P，Q的坐标分别代入上式，得令x0，得y2EyF0，由已知得|y1y2|4，其中y1，y2是方程
5、的根，|y1y2|2(y1y2)2(y1y2)24y1y2E24F48.联立解得或两组解均满足D2E24F0，故圆的方程为x2y22x120或x2y210x8y40.方法二(几何法)kPQ1，PQ中点坐标为，线段PQ的垂直平分线方程为yx，即xy10，所求圆的圆心C在直线xy10上，设其坐标为(a，a1).又圆C的半径长rCP.由已知得圆C截y轴所得的线段长为4，而圆心C到y轴的距离为|a|，r2a22，代入整理得a26a50，解得a11，a25，r1，r2.故圆的方程为(x1)2y213或(x5)2(y4)237.二、圆的方程在实际生活中的应用例3如图所示，一座圆拱桥，当水面在l位置时，拱顶
6、离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？解以圆拱桥拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示.设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知得A(6，2).设圆的半径为r，则C(0，r)，即圆的方程为x2(yr)2r2.将点A的坐标(6，2)代入方程，得36(r2)2r2，r10.圆的方程为x2(y10)2100.当水面下降1米后，可设点A的坐标为(x0，3)(x00)，将点A的坐标(x0，3)代入方程，得x0，当水面下降1米后，水面宽为2x02米.反思感悟本类题一般是用解析法解决实际问题.解析法解决实际问题的步骤：建系、设点、列式、计算、总结.跟
7、踪训练3已知隧道的截面是半径为 4 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为3 m，高为3.5 m的货车能不能驶入这个隧道？解如图，以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，那么半圆的方程为x2y216(y0)，将x3代入得y33.5，即在离中心线3 m处，隧道的高度低于货车的高度.因此，该货车不能驶入这个隧道.三、求动点的轨迹问题例4已知动点M到点A(2,0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半.(1)求动点M的轨迹方程；(2)若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹.解(1)设动点M(x，y)为轨迹上任意一点，则点M的轨迹就是集合P.由两点间
8、的距离公式知，点M适合的条件可表示为，平方后再整理，得x2y216.可以验证，这就是动点M的轨迹方程.(2)设动点N的坐标为(x，y)，M的坐标为(x1，y1).由于A(2,0)，且N为线段AM的中点，所以x，y，所以x12x2，y12y.由(1)知，M是圆x2y216上的点，所以点M的坐标(x1，y1)满足xy16.将代入整理，得(x1)2y24.所以N的轨迹是以(1,0)为圆心，2为半径的圆.反思感悟求轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的平面直角坐标系，用有序实数对(x，y)表示动点P的坐标.(2)写出适合条件的点P的集合MP|M(P).(3)用坐标表示条件M(P)，列出方程f(x，y)0.
9、(4)化方程f(x，y)0为最简形式.(5)检验以化简后的方程的解为坐标的点是否都是曲线上的点.跟踪训练4在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得的线段长为2，在y轴上截得的线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线yx的距离为，求圆P的方程.解(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.由题设得y22r2，x23r2，从而y22x23.故圆心P的轨迹方程为y2x21.(2)设P(x0，y0)，由已知得.又P在曲线y2x21上，从而得由得此时，圆P的半径r.由得此时，圆P的半径r.故圆P的方程为x2(y1)23或x2(y1)23.1.圆的一般方程x2y2DxEyF0，来源于圆的标
10、准方程(xa)2(yb)2r2.在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件.2.圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出恰当的方程，以便简化解题过程.3.对于曲线的轨迹问题，要作简单的了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤.1.圆x2y24x6y0的圆心坐标是()A.(2,3) B.(2,3)C.(2，3) D.(2，3)答案D解析圆心坐标为，即(2，3).2.已知方程x2y22x2k30表示圆，则k的取值范围是()A.(，1) B.(3，)C.(，1)(3，) D.答案A解析方程可化为(x1)2y22k2，只有当2k20，即k1时才能表示圆.3.圆x2y22x6y80的面积为()A.8 B.4 C.2 D.答案C解析原方程可化为(x1)2(y3)22，半径r，圆的面积为Sr22.4.若方程x2y2DxEyF0表示以(2，4)为圆心，4为半径的圆，则F_.答案4解析依题意知，2，4，4，解得D4，E8，F4.5.点P(4，2)与圆x2y24上任一点连线的中点的轨迹方程是_.答案(x2)2(y1)21解析设圆上任一点的坐标为(x0，y0)，则xy4.设连线中点的坐标为(x，y)，则得代入xy4中，得(x2)2(y1)21.
