立体几何空间想象

1、平面，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面的法向量显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量2.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1l2n1n2n1n2l1l2n1n2n1n20直线l的方向向量为n，平面的法向量为mlnmmn0lnmnm平面，的法向量分别为n，mnmnmnmnm0概念方法微思考1直线的方向向量如何确定？提示l是空间一直线，A，B是l上任意两点，则及与平行的非零向量均为直线l的方向向量2如何确定平面的法向量？提示设a，b是平面内两不共线向量，n为平面的法向量，则求法向量的方程组为题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)直线的方向向量是唯一确定的()(2)平面的单位法向量是唯一确定的()(。

2、专题五专题五 立体几何与空间向量立体几何与空间向量 第二编 讲专题 第第1 1讲讲 空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积 考情研析 1.从具体内容上，主要考查：空间几何体的几何量(线 段长度、夹角、表面积、体积等)的计算等；球与多面体的组合，并结合 考查球的表面积和体积的计算等 2.从高考特点上，题型为选择题或填空 题，难度中等 1 核心知识回顾核心知识回顾 PART ONE 。

3、2)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.(3)能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).(4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题,了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.空间向量的计算和角度的求解是考查的重点，解题时常用到空间直角坐标系的建立、点和向量坐标的计算与应用，考查学生的数学抽象能力、数学建模能力、数学运算能力、直观想象能力，题型以选择填空题和解答题为主，中等难度.1、主要考查与点、线、面位置关系有关的命题真假判断和求解异面直线所成的角，题型主要以选择题和填空题的形式出现，解题要求有较强的空间想象能力和逻辑推理能力.2、空间向量是高考中的必考内容，涉及用向量法计算空间异面直线所成角、直线和平面所成角、二面角及空间距离等内容，考查热点是空间角的求解题型以解答题为主，要求有较强的运算能力，广泛应用函数与方程的思想、转化与化归思想.1【2019年新课标3理科08】如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，平面ECD平面ABCD，M是。

4、静，往往能以静制动、克难致胜.,1.去掉枝蔓见本质大道至简 在解决立体几何中的“动态”问题时，需从复杂的图形中分化出最简单的具有实质性意义的点、线、面，让几何图形的实质“形销骨立”，即从混沌中找出秩序，是解决“动态”问题的关键.,例1 如图1，直线l平面，垂足为O.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2.点A是直线l上的动点，点B1在平面内，则点O到线段CD1中点P的距离的最大值为_.,图1,解析 从图形分化出4个点O，A，B1，P，其中AOB1为直角三角形，固定AOB1，点P的轨迹是在与AB1垂直的平面上且以AB1的中点Q为圆心的圆，,当且仅当OQAB1，且点O，Q，P共线时取到等号，此时直线AB1与平面成45角.,2.极端位置巧分析穷妙极巧 在解决立体几何中的“动态”问题时，对于移动问题，由图形变化的连续性，穷尽极端特殊之要害，往往能直取答案.,例2 在正四面体ABCD中，E为棱BC的中点，F为直线BD上的动点，则平 面AEF与平面ACD所成二面角的正弦值的取值范围是_.,解析 本例可用极端位置法来加以分析. 先寻找垂。

5、0，0)，C1(1，0，1)，所以(0，1，1)，(1，0，1)，所以cos，所以，60，所以异面直线BA1与AC1所成的角等于60.2在三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC90，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，ABAC1，PA2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为()ABCD解析：选C.以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由ABAC1，PA2，得A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，2)，D，E，F.所以(0，0，2)，.设平面DFE的法向量为n(x，y，z)，则由得取z1，则n(2，0，1)，设直线PA与平面DEF所成的角为，则sin ，所以直线PA与平面DEF所成角的正弦值为.3在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABC。

6、2)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.(3)能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).(4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题,了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.空间向量的计算和角度的求解是考查的重点，解题时常用到空间直角坐标系的建立、点和向量坐标的计算与应用，考查学生的数学抽象能力、数学建模能力、数学运算能力、直观想象能力，题型以选择填空题和解答题为主，中等难度.1、主要考查与点、线、面位置关系有关的命题真假判断和求解异面直线所成的角，题型主要以选择题和填空题的形式出现，解题要求有较强的空间想象能力和逻辑推理能力.2、空间向量是高考中的必考内容，涉及用向量法计算空间异面直线所成角、直线和平面所成角、二面角及空间距离等内容，考查热点是空间角的求解题型以解答题为主，要求有较强的运算能力，广泛应用函数与方程的思想、转化与化归思想.1【2019年天津理科17】如图，AE平面ABCD，CFAE，ADBC，ADAB，ABAD1，AEBC2。

7、1(1)110(1)0，AC与B1D所成的角为.答案D2.(2017郑州调研)在正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为()A. B. C. D.解析设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.则B(1，1，0)，B1(1，1，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，所以(0，0，1)，(1，1，0)，(1，0，1).令平面ACD1的法向量为n(x，y，z)，则nxy0，nxz0，令x1，可得n(1，1，1)，所以sin |cosn，|.答案B3.在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A. B. C. D.解析以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系。

8、k.Com从近三年高考情况来看，利用空间向量证明平行与垂直，以及求空间角是高考的热点高考主要考查空间向量的坐标运算，以及平面的法向量等，难度属于中等偏上，主要为解答题，解题时应熟练掌握空间向量的坐标表示和坐标运算，把空间立体几何问题转化为空间向量问题.2018 新课标全国192017 新课标全国182017 新课标全国192017 新课标全国192016 新课标全国182016 新课标全国19考点 1 利用空间向量证明平行与垂直调研 1 如图，在直三棱柱 ADEBCF 中，面 ABFE 和面 ABCD 都是正方形且互相垂直，M 为 AB 的中点，O 为 DF 的中点运用向量方法 证明：（1）OM 平面 BCF；（2）平面 MDF平面 EFCD【答案】 （1）见解析；（2）见解析.【解析】由题意，得 AB，AD，AE 两两垂直，以 A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系设正方形边长为 1，则 A(0，0，0) ， B(1，0，0)， C(1，1，0) ，D(0 ，1，0)，F (1，0，1)，M ，O(12，0，0).(12，12，12)（1。

9、高考必备公式、结论、方法、细节四：立体几何与空间向量 一、必备公式 1空间几何体的表面积与体积公式： (1)基本公式：圆：面积 S圆 ， 周长 C圆 ； 扇形：弧长 l扇形 ， 面积 S扇形 1 2R 2， 周长 C扇形l2R (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧2rl S圆锥侧 S圆台侧(r1r2)l (3)柱、锥、台。

10、建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，E，G，F(x，0，0)，D(0，y，0)，由于GDEF，所以x2y10，DF，由x12y0，得y，所以当y时，线段DF长度的最小值是，当y0时，线段DF长度的最大值是1，又不包括端点，故y0不能取，故选A.2. (2019杭州市学军中学高考数学模拟)如图，三棱锥PABC中，已知PA平面ABC，ADBC于D，BCCDAD1，设PDx，BPC，记函数f(x)tan ，则下列表述正确的是()Af(x)是关于x的增函数Bf(x)是关于x的减函数Cf(x)关于x先递增后递减Df(x)关于x先递减后递增解析：选C.因为PA平面ABC，ADBC于D，BCCDAD1，PDx，BPC，所以可求得AC，AB，PA，PC，BP，所以在PBC中，由余弦定理知cos .所以tan211.所以tan (当且仅当x时取等号)，所以f(。

11、年高考数学复习,空间向量,立体几何一选择题,共小题,正三棱柱的底面边长是,侧棱长是,分别为,的中点,若是侧面上一点,且平面,则线段的最小值为,如图,在平行六面体中,是的中点,点在上,且,设,则,已知正方形纸片的边长为,现将沿对角线旋转,记旋。

12、kv，kR,ab,ab0,v0,a0,2.用向量法解决立体几何问题 步骤如下： (1)建立适当的空间直角坐标系； (2)写出相关点的坐标及向量的坐标； (3)进行相关坐标的运算； (4)写出几何意义下的结论. 关键点如下： (1)选择恰当的坐标系.坐标系的选取很重要，恰当的坐标系可以使得点的坐标、向量的坐标易求且简单，简化运算过程. (2)点的坐标、向量的坐标的确定.将几何问题转化为向量的问题，必须确定点的坐标、直线的方向向量、平面的法向量，这是最核心的问题.,(3)几何问题与向量问题的转化.平行、垂直、夹角问题都可以通过向量计算来解决，如何转化也是这类问题解决的关键.,3.若空间向量a平行于平面，则a所在直线与平面平行.( ) 4.只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底.( ),1.向量a，b的夹角a，b与它们所在直线所成的角相等.( ),思考辨析 判断正误,SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU,2,题型探究,PART TWO,解析 。

13、空间向量与立体几何空间向量与立体几何 01 空间向量及其运算 知识点梳理知识点梳理 知识点一知识点一：空间向量的有关概念空间向量的有关概念 1空间向量 1定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量 2长度或模：空间向量的大小 3表示方法：。

14、宽度与俯视图一样. 2.柱、锥、台、球体的表面积和体积 侧面展开图 表面积 体积 直棱柱 长方形 S2S底S侧 VS底 h 圆柱 长方形 S2r22rl Vr2 l 棱锥 由若干个三角形构成 SS底S侧 V1 3S 底 h 圆锥 扇形 Sr2rl V1 3r 2 h 棱台 由若干个梯形构成 SS上底S下底S侧 V1 3(S SSS) h 圆台 扇环 Sr2(rr)lr2 V1 3(r 2rrr2) h 球 S4r2 V4 3r 3 3.平行、垂直关系的转化示意图 (1) (2)两个结论 a b ab； ab a b. 4.用空间向量证明平行、垂直 设直线 l 的方向向量为 a(a1，b1，c1)，平面 ， 的法向量分别为 (a2，b2，c2)，v(a3， b3，c3).则有： (1)线面平行 laa 0a1a2b1b2c。

15、maba b0 线面垂直 laak，kR 面面垂直 vv0 线线夹角 l，m 的夹角为 0 2 ，cos |a b| |a|b| 线面夹角 l， 的夹角为 0 2 ，sin |a | |a| 面面夹角 ， 的夹角为 0 2 ，cos | v| |v| 2.用向量法解决立体几何问题 步骤如下： (1)建立适当的空间直角坐标系； (2)写出相关点的坐标及向量的坐标； (3)进行相关坐标的运算； (4)写出几何意义下的结论. 关键点如下： (1)选择恰当的坐标系.坐标系的选取很重要， 恰当的坐标系可以使得点的坐标、 向量的坐标易 求且简单，简化运算过程. (2)点的坐标、向量的坐标的确定.将几何问题转化为向量的问题，必须确定点的坐标、直线的 方向向量、平面的法向量，这是最核心的问题. (3)几何问题与向量问题的转化.平行、垂直、夹角问题都可以通过向量计算来解决，如何转化。

16、专题五专题五 立体几何与空间向量立体几何与空间向量 第二编 讲专题 第第3 3讲讲 立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法 考情研析 以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，常 与空间线面关系的证明相结合，热点为线面角、二面角的求解，均以解答题 的形式进行考查，难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上 1 核心知识回顾核心知识回顾 PART ONE 核心知识回顾核心知识回顾 。