理数真题分项版

1、专题 15 概率与统计（解答题）1 【2019 年高考全国卷理数】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200 只小鼠随机分成 A，B 两组，每组 100 只，其中 A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比根据试验数据分别得到如下直方图：记 C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5”，根据直方图得到 P（C ）的估计值为 0.70（1）求乙离子残留百分比直方图中 a，b 的值；（2）分别估计甲、乙离子残。

2、专题 09 三角函数1【2019 年高考全国卷理数 】函数 f(x)= 2sinco在 的图像大致为,A BC D【答案】D【解析】由 ，得 是奇函数，其图象关于原点对称，22sin()sin() ()cocoxxf f()fx排除 A又 ，排除 B，C，故选 D214()1,2f2()0f【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题解答本题时，先判断函数的奇偶性，得 是奇函数，排除 A，再()fx注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案2 【2019 年高考全国卷理数 】关于函数 有下述四个结论：()sin|i |fxxf(x)是偶函数 。

3、专题 13 不等式、推理与证明1【2019 年高考全国 I 卷理数 】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 （ 0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯” 便是如此此外，最美人512体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 若某人满足上述两个黄金分割比例，且512腿长为 105 cm，头顶至脖子下端的长度为 26 cm，则其身高可能是A165 cm B175 cmC185 cm D190 cm2 【2019 年高考全国 II 卷理数】2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成。

4、专题 14 概率与统计（选择题、填空题）1 【2019 年高考全国卷理数】 西游记 三国演义 水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 位学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有 90 位，阅读过红楼梦的学生共有 80 位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有 60 位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A0.5 B0.6C0.7 D0.8【答案】C【解析】由题意得，阅读过西游记的学生人数为 90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70100=0.7故选 C【。

5、专题 17 数系的扩充与复数的引入1 【2019 年高考北京卷理数】已知复数 ，则2izzA B3 5C D【答案】D【解析】由题 ，则 ，故选 D2iz(2i)5z2 【2019 年高考全国卷理数】设复数 z 满足 ，z 在复平面内对应的点为(x，y) ，则=1iA B2+1()xy 21yC D (+)x【分析】本题考点为复数的运算， 为基 础题目，难度偏易此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为 1，可选正确答案为 C【答案】C【解析】由题可得 则 故选i,(1)i,zxyxy22(1),zxy22(1)xyC3 【2019 年高考全国卷理数】设 z=3+2i，则在复平面内 对应的点位于zA第一象限 B第二象限C。

6、专题 08 平面解析几何（解答题）1 【2019 年高考全国卷理数 】已知抛物线 C：y 2=3x 的焦点为 F，斜率为32的直线 l 与 C 的交点为A，B ，与 x 轴的交点为 P（1）若|AF|+|BF|=4 ，求 l 的方程；（2）若 3，求| AB|【答案】 （1） ；（2） .78yx413【解析】设直线 123:,ltAxyB（1）由题设得 ，故 ，由题设可得 ,04F123|Fx125x由 ，可得 ，则 23yxt2291()40xtxt12()9tx从而 ，得 1()5t78t所以 的方程为 l32yx（2）由 可得 APB12y由 ，可得 23yxt20yt所以 从而 ，故 122321,3y代入 的方程得 C12,x故 43|AB【名师点睛】本题考查抛物线的几何性。

7、专题 07 平面解析几何（选择题、填空题）1 【2019 年高考全国卷理数 】已知椭圆 C 的焦点为 ，过 F2 的直线与 C 交于 A，B 两12,01,F()， (点若 ， ，则 C 的方程为22|AFB1|AA B1xy213xyC D2432542【2019 年高考全国卷理数】若抛物线 y2=2px(p0)的焦点是椭圆 的一个焦点，则 p=231xypA2 B3 C4 D83【2019 年高考全国卷理数】设 F 为双曲线 C： 的右焦点， 为坐标原点，以21(0,)xyabO为直径的圆与圆 交于 P，Q 两点若 ，则 C 的离心率为OF22xyaOFA B 2 3C2 D 54【2019 年高考全国卷理数】双曲线 C： =1 的右焦点为 F，点 P 在 C 的一条渐近。

8、专题 11 平面向量1 【2019 年高考全国 I 卷理数 】已知非零向量 a，b 满足 ，且 b，则 a 与 b 的夹角为|2|b()aA B6 3C D 23 562 【2019 年高考全国 II 卷理数】已知 =(2,3)， =(3，t )， =1，则 =ACABCA3 B2C2 D33 【2019 年高考北京卷理数】设点 A，B，C 不共线，则“ 与 的夹角为锐角”是A“ ”的|ABA充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件4 【2018 年高考全国 I 卷理数 】在 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则AC EADEBA B314B 134ACC D 5 【2018 年高考全国 II 卷理数】已知向量 ， 满足 ， ，则ab。

9、专题 16 算法初步1 【2019 年高考天津卷理数】 阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出 的值为SA5 B8C24 D292 【2019 年高考北京卷理数】执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为来源:学_科_网A1 B2 来源:学科网C3 D43 【2019 年高考全国卷理数】如图是求 的程序框 图，图中空白框中应填入12A B12 12AC D14 【2019 年高考全国卷理数】执行下边的程序框图，如果输入的 为 0.01，则输出 的值等于sA B412 512C D6 75 【2018 年高考全国卷理 数】为计算 ，设计了下面的程序框图，则在1123490S空白框中应填入A B 1i 2iC D3 46 【2018 年高考。

10、专题 11 平面向量1 【2019 年高考全国 I 卷理数 】已知非零向量 a，b 满足 ，且 b，则 a 与 b 的夹角为|2|b()aA B6 3C D 23 56【答案】B【解析】因为 b，所以 =0，所以 ，所以 =()a2()ab2abcos，所以 a 与 b 的夹角为 ，故选 B2|1ba 3【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为 0,2 【2019 年高考全国 II 卷理数】已知 =(2,3)， =(3，t )， =1，则 =ABCBACA3 B2C2 D3【答案】C【解析】由 ， ，得 ，则 ，(1,)BACt221()1Ct3t(1,0)BC故选 C(2。

11、专题 15 概率与统计（解答题）1 【2019 年高考全国卷理数】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200 只小鼠随机分成 A，B 两组，每组 100 只，其中 A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比根据试验数据分别得到如下直方图：记 C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5”，根据直方图得到 P（C ）的估计值为 0.70（1）求乙离子残留百分比直方图中 a，b 的值；（2）分 别估计甲、乙离子。

12、专题 09 三角函数1【2019 年高考全国卷理数 】函数 f(x)= 2sinco在 的图像大致为,A BC D2 【2019 年高考全国卷理数 】关于函数 有下述四个结论：()sin|i |fxxf(x)是偶函数 f(x)在区间（ ， ）单调递增2f(x)在 有 4 个零点 f(x)的最大值为 2,其中所有正确结论的编号是A BC D3【2019 年高考全国卷理数】下列函数中，以 为周期且在区间( ， )单调递增的是242Af(x)=|cos2x| Bf(x)=|sin2x| Cf(x)=cos|x| Df (x)=sin|x|4【2019 年高考全国卷理数】已知 (0 ， )，2sin2 =cos2+1，则 sin=2A B 15 5C D325【2019 年高考全国卷理数】设函数 =sin（ 。

13、专题 16 算法初步1 【2019 年高考天津卷理数】阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出 的值为SA5 B8C24 D29【答案】B【分析】根据程序框图，逐步写出运算结果即可【解析】 ； ； ，1,2Si1,25,3jSi8,4Si结束循环，输出 故选 B来源:学.科.网8【名师点睛】解答本题要注意要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体2 【2019 年高考北京卷理数】执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为A1 B2C3 D4【答案】B【分析】根据程序框图中的条件逐次运算即可【解析】初始： ， ，来源:学科网1sk运行第一次， ， ，23运行第二次， ， ，。

14、专题 13 不等式、推理与证明1【2019 年高考全国 I 卷理数 】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 （ 0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯” 便是如此此外，最美人512体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 若某人满足上述两个黄金分割比例，且512腿长为 105 cm，头顶至脖子下端的长度为 26 cm，则其身高可能是A165 cm B175 cmC185 cm D190 cm【答案】B来源:学科网【解析】方法一：如下图所示.依题意可知：，5151,22ACBD腿长为 105 cm 得，即 ， 0CD，5164.892AC，.1056.89D所以 。

15、专题 17 数系的扩充与复数的引入1 【2019 年高考北京卷理数】 已知复数 ，则2izzA B3 5C D2 【2019 年高考全国卷理数】设复数 z 满足 ，z 在复平面内对应的点为(x，y) ，则=1iA B2+1()xy 21yC D (+)x3 【2019 年高考全国卷理数】设 z=3+2i，则在复平面内 对应的点位于zA第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限4 【2019 年高考全国卷理数】若 ，则 z=(1i)2zA B1i 1iC D5 【2018 年高考浙江卷】复数 (i 为虚数单位)的共轭复数是21iA1+i B1iC1+i D1i6 【2018 年高考全国卷理数】设 ，则1i2z|zA B012C D17 【2018 年高考全国卷理数】12iA B43i。

16、专题 12 数列1 【2019 年高考全国 I 卷理数 】记 为等差数列 的前 n 项和已知 ，则nSa450Sa，A B25na 310nC D28nS 2nS【答案】A【解析】由题知， ，解得 ， ， ,故选 A415302dSa132ad5n24nS【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前 n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养利用等差数列通项公式与前 n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，再适当计算即可做了判断2【2019 年高考全国 III 卷理数 】已知各项均为正数的等比数列 的前 4 项和为 15，且 ，na5314a则 3aA16 B8C4 D2【答案】C【解析】设正数的等比数列。

17、专题 10 解三角形1【2018 年高考全国理数】在 中， ， ， ，则ABC5cos21BC5ABA B42 30C D9 5【答案】A【解析】因为2253cos11,C所以 ，故选 A.22cos53242ABBAAB， 则【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件，灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.2【2018 年高考全国理数】 的内角 的对边分别为 ， ， ，若 的面积为ABC ， ， abcABC，则24abcA B2 3C D4 6【答案】C【解析】由题可知 ，所以 ，221sin4ABCabcS 22sinCabca由余弦定理 ，得 ，因为 ，所以 ，故选 C.22cosabi。

18、专题 07 平面解析几何（选择题、填空题）1 【2019 年高考全国卷理数 】已知椭圆 C 的焦点为 ，过 F2 的直线与 C 交于 A，B 两12,01,F()， (点若 ， ，则 C 的方程为22|AFB1|AA B1xy213xyC D243254【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设 ，则 ，2FBn21,3AnBFAn由椭圆的定义有 1124,aa在 中，由余弦定理推论得 1AFB2219cos3n在 中，由余弦定理得 ，解得 12244n2n所求椭圆方程为 ，故选 B2243,31,anabac213xy法二：由已知可设 ，则 ，2FBn21,3AnBFAn由椭圆的定义有 1 24aa在 和 中，由余弦定理得 ，12AF 12B2 221cos49FnnB又 互补， ，两。

19、专题 14 概率与统计（选择题、填空题）1 【2019 年高考全国卷理数】 西游记 三国演义 水浒传和红楼梦是 中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 位学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有 90 位，阅读过红楼梦的学生共有 80 位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有 60 位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A0.5 B0.6C0.7 D0.82 【2019 年高考全国卷理数】演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从 9 个原始。

20、专题 08 平面解析几何（解答题）1 【2019 年高考全国卷理数 】已知抛物线 C：y 2=3x 的焦点为 F，斜率为32的直线 l 与 C 的交点为A，B ，与 x 轴的交点为 P（1）若|AF|+|BF|=4 ，求 l 的方程；（2）若 3，求| AB|2【2019 年高考全国卷理数】已知点 A(2，0) ，B(2，0) ，动点 M(x，y)满足直线 AM 与 BM 的斜率之积为 .记 M 的轨迹为曲线 C.1（1）求 C 的方程，并说明 C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交 C 于 P，Q 两点，点 P 在第一象限，PEx 轴，垂足为 E，连结 QE 并延长交 C 于点 G.（i）证明： 是直角三角形；（ii）求 面积的最大。