1、专题 09 三角函数1【2019 年高考全国卷理数 】函数 f(x)= 2sinco在 的图像大致为,A BC D【答案】D【解析】由 ，得 是奇函数，其图象关于原点对称，22sin()sin() ()cocoxxf f()fx排除 A又 ，排除 B，C，故选 D214()1,2f2()0f【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题解答本题时，先判断函数的奇偶性，得 是奇函数，排除 A，再()fx注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案2 【2019 年高考全国卷理数 】关于函数 有下述四个结论：()sin|i |fxx
2、f(x)是偶函数 f(x)在区间（ ， ）单调递增2f(x)在 有 4 个零点 f(x)的最大值为 2,其中所有正确结论的编号是A BC D【答案】C【解析】 为偶函数，故正确sinisini,fxxxffx当 时， ，它在区间 单调递减，故错误2x2sinfx,2当 时， ，它有两个零点： ；当 时，000xsinifxx，它有一个零点： ，故 在 有 个零点： ，故错误2sinxfx,3当 时， ；当 时，,kkN2sin2,2xkkN，又 为偶函数， 的最大值为 ，故正确si0fxxfxf综上所述，正确，故选 C【名师点睛】本题也可画出函数 的图象（如下图） ，由图象可得正确sinifx
3、3【2019 年高考全国卷理数】下列函数中，以 为周期且在区间( ， )单调递增的是242Af(x)=|cos2x| Bf(x)=|sin2x| Cf(x)=cos|x| Df (x)=sin|x|【答案】A【解析】作出因为 的图象如下图 1，知其不是周期函数，排除 D；sin|yx因为 ，周期为 ，排除 C；cosyx2作出 图象如图 2，由图象知，其周期为 ，在区间( ， )单调递增，A 正确；242作出 的图象如图 3，由图象知，其周期为 ，在区间( ， )单调递减，排除 B，sinyx故选 A图 1图 2图 3【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素
4、养，画出各函数图象，即可作出选择本题也可利用二级结论：函数 的周期是函数 周期的一半；()yfx()yfx 不是周期函数.sinyx4【2019 年高考全国卷理数】已知 (0 ， )，2sin2 =cos2+1，则 sin=2A B 15 5C D32【答案】B【解析】 ， ，2sincos2124sincos.0,cos02in,，又 ， ，又 ， ，2sinco22sincos12215sin,i5sin05sin故选 B【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得
5、出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为 1 关系得出答案5【2019 年高考全国卷理数】设函数 =sin（ ）( 0)，已知 在 有且仅有 5fx5fx0,2个零点，下述四个结论： 在（ ）有且仅有 3 个极大值点fx0,2 在（ ）有且仅有 2 个极小值点 在（ ）单调递增fx0,1 的取值范围是 )295，其中所有正确结论的编号是A BC D【答案】D【解析】若 在 上有 5 个零点，可画出大致图象，()fx0,2由图 1 可知， 在 有且仅有 3 个极大值点.故正确；)由图 1、2 可知， 在 有且仅有 2 个或
6、3 个极小值点.故错误；(fx,当 =sin（ ）=0 时， =k（kZ），所以 ，fx55x5kx因为 在 上有 5 个零点，()0,2所以当 k=5 时， ，当 k=6 时， ，解得 ，2x652x12950故正确.函数 =sin（ ）的增区间为： ，fx5225kxk.732210kkx取 k=0，当 时，单调递增区间为 ，12571248x当 时，单调递增区间为 ，91039综上可得， 在 单调递增.故正确.fx,10所以结论正确的有.故本题正确答案为 D.【名师点睛】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，可数形结合，分析得出答案，要求高，理解深度高，考查数形结合思想注意本题中极小值点
7、个数是动态的，易错，正确性考查需认真计算，易出错6【2019 年高考天津卷理数】已知函数 是奇函数，将()sin()0,|)fxAx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数yfx为 若 的最小正周期为 ，且 ，则g24g38fA B2 2C D【答案】C【解析】 为奇函数， ；()fx(0)sin0,=,0,fAkZ又 ，12sin,gAT2又 ， ，()24 ， 故选 C.()sinfx3()2.8f【名师点睛】本题主要考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数 ，再根据函数性gx质逐步得出 的值即可.,A7 【2018 年高考全国卷理数】若 ，则
8、1sin3cos2A B89 79C D7 8【答案】B【解析】 .2217cos1sin()39故选 B.【名师点睛】本题主要考查三角函数的求值，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.8 【2018 年高考全国卷 II 理数】若 在 是减函数，则 的最大值是cosinfxx,aaA B4 2C D3【答案】A【解析】因为 ，cosin2cos4fxx所以由 得 ，02()4kkZ32()kxkZ因此 ，从而 的最大值为 ，3,044aaaa 4故选 A.【名师点睛】解答本题时，先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定 的最大值.函数a的性质： sin(0,)yAxBA(1
9、) .mamin=+y，(2)周期 2.T(3)由 求对称轴. 2xkZ(4)由 求增区间；由 求减区2k 322kxkZ间.9 【2018 年高考天津理数】将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数sin(2)5yx10A在区间 上单调递增 B在区间 上单调递减35,4 3,4C在区间 上单调递增 D在区间 上单调递减2 2【答案】A【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将 的图象向右平移 个单位长度之后的sin25yx10解析式为 .sin2si2105yxx则函数的单调递增区间满足 ，即 ，kkZ4kxkZ令 可得一个单调递增区间为 .1k3,4函数的单调递减区间满足： ，即
10、 ，322kxk34kxk令 可得一个单调递减区间为： .1k57,4故选 A.【名师点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10 【2018 年高考浙江卷】函数 y= sin2x 的图象可能是2A BC D【答案】D【解析】令 ，因为 ，所以2sinxf,2sin2sinxxxf fxR为奇函数，排除选项 A，B；sixf因为 时， ，所以排除选项 C，,2x0fx故选 D.【名师点睛】解答本题时，先研究函数的奇偶性，再研究函数在 上的符号，即可作出判断.有,2关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，
11、判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复11 【2017 年高考全国理数】 已知曲线 C1：y=cos x，C 2：y=sin (2x+ )，则下面结论正确的是3A把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，6得到曲线 C2B把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，12得到曲线 C2C把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向
12、右平移 个单位长度，12 6得到曲线 C2D把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，12得到曲线 C2【答案】D【解析】因为 函数名不同，所以先将 利用诱导公式转化成与 相同的函数名，则12, 2C1C，则由 上各点的横坐标缩短到原来的 倍2:sin()cos()cos()336yxxx12变为 ，再将曲线向左平移 个单位长度得到 ，故选 D.co122【名师点睛】对于三角函数图象变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住 ；另外，在进行图象变换时，提倡先平移后伸缩，而sin(),cosin()先伸缩后平移在考试中也
13、经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量 而言.x12 【2017 年高考全国理数】设函数 ，则下列结论错误的是(3cos)fxA 的一个周期为()fx2B 的图象关于直线 对称y83xC 的一个零点为()fx6D 在( ， )单调递减2【答案】D【解析】函数 的最小正周期为 ，则函数 的周期为 ，取 ，()fx21T()fx2TkZ1k可得函数 的一个周期为 ，选项 A 正确；函数 图象的对称轴为 ，即 ，取 ，可得 y=f(x)的图象关()fx3xkZ3xkZ3k于直线 对称，选项 B 正确；83，函数 的零点满足 ，即coscos3fxxx()fx32xkZ，取 ，可得 的一个零
14、点为 ，选项 C 正确；6kZ0k()f 6当 时， ，函数 在该区间内不单调，选项 D 错误.,2x54,36xfx故选 D.【名师点睛】（1）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为 或(n)siyAx的形式，则最小正周期为 ；奇偶性的判断关键是解析式是否为(s)coyAx2T或 的形式.incosyxb（2）求 的对称轴，只需令 ，求 x；求 f(x)的对i0()fx2xkZ称中心的横坐标，只需令 即可.()xkZ13 【2017 年高考天津卷理数】设函数 ， ，其中 ， 若 ，2sin()fxR0|5()28f，且 的最小正周期大于 ，则()08f()fxA ， B ，231231C ，
15、 D ，4 4【答案】A【解析】由题意得 ，其中 ，所以 ，1258k12,kZ214()33k又 ，所以 ，所以 ， ，2T0131由 得 ，故选 A12【名师点睛】关于 的问题有以下两种题型：sin()yx提供函数图象求解析式或参数的取值范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定 ，再根据最小A正周期求 ，最后利用最高点或最低点的坐标满足解析式，求出满足条件的 的值； 题目用文字叙述函数图象的特点，如对称轴方程、曲线经过的点的坐标、最值等，根据题意自己画出大致图象，然后寻求待定的参变量，题型很活，一般是求 或 的值、函数最值、取值范围等14【2019 年高考北京卷理数】函数 f（x ）=si
16、n 22x 的最小正周期是_【答案】2【解析】函数 ，周期为 .2sinfx1cos4x2【名师点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式三角函数的最小正周期公式，属于基础题.将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可.15 【2019 年高考江苏卷】已知 ，则 的值是 .tan234sin4【答案】210【解析】由 ，得 ，tan1ttant 2314 2tan5t20解得 ，或 .tan2tan3sisicos2in444222icosinin2=，2ta1t=当 时，上式tan21=0；当 时，上式=1ta322()()2311.综上，sin2.40【名师点睛】本题考查三
17、角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.由题意首先求得 的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原tan问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.16【2018 年高考全国理数】已知函数 ，则 的最小值是_2sifxxf【答案】 32【解析】 ， 2 1cos24cos24coss2fxxxx所以当 时函数单调递减，当 时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为1cs1，函数的递增区间为 ，52,3kkZ2,3kkZ所以当 时，函数 取得最小值，此时 ，2,3xkZfx33sin,si2xx所以 ，故答案是 .min
18、32f32【名师点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.17 【2018 年高考北京卷理数】设函数 f（x ）= ，若 对任意的实数 x 都成立，cos()06x()4fx则 的最小值为_【答案】 23【解析】因为 对任意的实数 x 都成立，所以 取最大值，4fxf 4f所以 ，22 8463kkZZ，因为 ，所以当 时， 取最小值为 .00【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，考查
19、考生的逻辑推理能力以及运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.18 【2018 年高考全国理数】函数 在 的零点个数为_cos36fx0，【答案】 3【解析】 ， ，由题可知 ，或 ，0x1936326x， 562x解得 ，或 ，故有 3 个零点.4,97【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查数形结合思想和考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.19 【2018 年高考江苏卷】已知函数 的图象关于直线 对称，则 的值sin2()2yx3x是_【答案】6【解析】由题意可得 ，所以 ，2sin132()36kkZ，因为 ，所以20,.6k【名师点睛】由对称轴得 ，再根据
20、限制范围求结果.函数2()36kkZ，（A0，0）的性质：sinyAxB(1) ；mamin,y(2)最小正周期 ；2T(3)由 求对称轴；2xkZ(4)由 求增区间;由 求减区2xk 322kxkZ间.20 【2017 年高考全国理数】函数 ( )的最大值是 .23sincos4fxx0,2【答案】1【解析】化简三角函数的解析式：， 22 2313cosscos3scos144fxxxx由自变量的范围： 可得： ，0,0,当 时，函数 取得最大值 1.3cos2xfx【名师点睛】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常
21、结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法.一般从：开口方向；对称轴位置；判别式；端点函数值符号四个方面分析.21 【2017 年高考北京卷理数】在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以 Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若 ，则 =_.1sin3cos()【答案】79【解析】因为 和 关于 轴对称，所以 ，那么 ，y2,kZ1sini3（或 ），2cos3cos3所以 .2227incosinsi19【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若 与 的终边关于 轴对称，则 ，若 与 的终边关于 轴对称，则 ，y2,
22、kZx2,kZ若 与 的终边关于原点对称，则 .2,k22 【2018 年高考全国理数】已知 ， ，则 _sinco1sin0sin()【答案】 12【解析】因为 ， ，所以sinco1sin0221sincos1,所以 ，i,因此 22ssicsicossi.442【名师点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算.23【2017 年高考江苏卷】若 则 1tan(),46tan【答案】75【解析】 故答案为 1tan()ta764tant()45175【考点】两角和的正切公式【名师点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以
23、便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异一般有如下两种思路：适当变换已知式，进而求得待求式的值；变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角24 【2019 年高考浙江卷】设函数 .()sin,fxR（1）已知 函数 是偶函数，求 的值；0,2)（2）求函数 的值域22()14yfxfx【答案】（1） 或 ；（2） 33,12【解析】（1）因为 是偶函数，所以，对任意实数x都有()sin()fx，sin()six即 ，coisicosi
24、n故 ，2i0所以 s又 ，,)因此 或 23（2）222sinsin1414yfxfxxx1coscos362cos2i2 x31cos2x因此，函数的值域是 31,2【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力.25 【2017 年高考浙江卷】已知函数 22sinco3sinco()()xxfR（1）求 的值2()3f（2）求 的最小正周期及单调递增区间x【答案】 （1）2；（2） 的最小正周期是 ；单调递增区间是 ()fx2,63kkZ【解析】 （1）由 ， ， 3sin21cos22211()()()32f得 2()3f（2）由 与 得22cossinx
25、xisincox()cos23infxxin()6所以 的最小正周期是 fx由正弦函数的性质得 ，322,6kxkZ解得 ，,63kxZ所以， 的单调递增区间是 ()f ,3kk【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数 xAysin的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即 xAysin，然后利用三角函数 uAysin的性质求解26 【2017 年高考江苏卷】已知向量 (cos,in)(3,)0,.xxab（1）若 ab，求 的值；x（2）记
26、，求 的最大值和最小值以及对应的 的值()fxab()fxx【答案】（1） ；（2） 时， 取到最大值 3； 时， 取到最小值 560fx56fx23【解析】（1）因为 ， ，ab， co()s,inxa(3,)b所以 3cosix若 ，则 ，与 矛盾，故 0n022sico1xcos0x于是 3tax又 ，所以 0，56（2） (cos,in)(3,)cos3in2cos() )6fxxxxab因为 ，所以 ，0，7,6从而 31cos()2x于是，当 ，即 时， 取到最大值 3；60fx当 ，即 时， 取到最小值 x5xf227 【2018 年高考浙江卷】已知角 的顶点与原点 O 重合，始
27、边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P（ ） 345， -（1）求 sin（+）的值；（2）若角 满足 sin（ +）= ，求 cos 的值513【答案】 （1） ；（2） 或 .456cos16cos5【解析】 （1）由角 的终边过点 得 ，34(,)5P4sin5所以 .4sin()sin（2）由角 的终边过点 得 ，3(,)5P3cos5由 得 .sin()1312cos()3由 得 ，cosin()si所以 或 .56cos16cos5【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义、诱导公式、两角差的余弦公式，考查考生分析问题、解决问题的能力，运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.求
28、解三角函数的求值问题时，需综合应用三角函数的定义、诱导公式及三角恒等变换.（1）首先利用三角函数的定义求得 ，然后利用诱导公式，计算 sin（ +）的值;sin（2）根据 sin（+ ）的值，结合同角三角函数的基本关系，计算 的值，要注意该值的正cos()负，然后根据 ，利用两角差的余弦公式，通过分类讨论，求得 cos 的值.()28 【2018 年高考江苏卷】已知 为锐角， ， ,4tan35cos()（1）求 的值；cos2（2）求 的值tan()【答案】 （1） ；（2） .751【解析】 （1）因为 ， ，4ta3sintaco所以 sincos因为 ，221所以 ，9s5因此， 27
29、coss15（2）因为 为锐角，所以 ,(0,)又因为 ，cos()5所以 ，25in()1cos()因此 ta因为 ，所以 ，4n32tan4ta17因此， ttan()2ta()tn() 1【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力三角函数求值的三种类型：（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异一般有如下两种思路：适当变换已知式，进而求得待求式的值；变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的（3）给值求角：实质是转化为“给值求值
30、”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角29 【2017 年高考山东卷理数】设函数 ，其中 03.已知 .()sin)sin()62fxx()06f（1）求 ；（2）将函数 ()yfx的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再将得到的图象向左平移 个单位，得到函数 ()ygx的图象，求 ()gx在 上的最小值.4 3,4【答案】 （1） 2；（2）最小值为32.【解析】 （1）因为 ，()sin)sin()6fxx所以31()ico2fx3sincos2x13(i)2x.3sin()x由题设知 ，()06f所以 ， .3kZ故 62， ，又 0，所以 .（2）由（1）得 .()3sin2fxx所以 .()sii412g因为 ，3,x所以 ，2,13所以当 ，即 时， ()gx取得最小值32.2x4x【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题时，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好地考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.
