1、专题 15 概率与统计（解答题）1 【2019 年高考全国卷理数】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200 只小鼠随机分成 A，B 两组，每组 100 只，其中 A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比根据试验数据分别得到如下直方图：记 C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5”，根据直方图得到 P（C ）的估计值为 0.70（1）求乙离子残留百分比直方图中 a，b 的值；（2）分 别估计甲、乙离子残留百分比的平均值 （同一组中的数据用该组区间的
2、中点值为代表） 2 【2019 年高考全国卷理数】11 分制乒乓球比赛，每赢一球得 1 分，当某局打成 10:10 平后，每球交换发球权，先多得 2 分的一方获胜，该局比赛结束甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为 0.5，乙发球时甲得分的概率为 0.4，各球的结果相互独立在某局双方 10:10 平后，甲先发球，两人又打了 X 个球该局比赛结束（1）求 P（X =2） ；（2）求事件“X=4 且甲获胜”的概率3 【2019 年高考天津卷理数】设甲、乙两位同学上学期间，每天 7：30 之前到校的概率均为 假定甲、23乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立（1）
3、用 表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数，求随机变量 的分布列和数学期望；X X（2）设 为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30 之前到校的天数比乙同学在 7：30 之前到校的M天数恰好多 2”，求事件 发生的概率4 【2019 年高考北京卷理数】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变近年来，移动支付已成为主要支付方式之一为了解某校学生上个月 A，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了 100 人，发现样本中 A，B 两种支付方式都不使用的有 5 人，样本中仅使用 A 和仅使用 B 的学生的支付金额分布情况如下：支付金额（元）支付方式（ 0，1000
4、（1000 ，2000 大于 2000仅使用 A 18 人 9 人 3 人仅使用 B 10 人 14 人 1 人（1）从全校学生中随机抽取 1 人，估计该学生上个月 A，B 两种支付方式都使用的概率；（2）从样本仅使用 A 和仅使用 B 的学生中各随机抽取 1 人，以 X 表示这 2 人中上个月支付金额大于1000 元的人数，求 X 的分布列和数学期望；（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化现从样本仅使用 A 的学生中，随机抽查 3 人，发现他们本月的支付金额都大于 2000 元根据抽查结果，能否认为样本仅使用 A 的学生中本月支付金额大于 2000 元的 人数有变化？说明理由5 【
5、2019 年高考全国卷理数】为治疗 某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得 分；若1施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分甲、乙两种药的治愈率分别记为 和 ，一轮
6、试验中甲药的得分记为 X（1）求 的分布列；X（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分， 表示“甲药的累计得分为 时，最终认为(0,18)ip i甲药比乙药更有效”的概率，则 ， ， ，其中0p8 1iiiiabpc(,27)， ， 假设 ， (1)aPX()bPX()c.50.(i)证明： 为等比数列；iip,2,7(ii)求 ，并根据 的值解释这种试验方案的合理性来源 :学,科,网446 【2018 年高考全国卷理数】某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验
7、结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为 ，且)10(p各件产品是否为不合格品相互独立（1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 ，求 的最大值点 )(pf)(f0p（2）现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以（1）中确定的 作为 的值已知每件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 ，求 ；XE（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？7 【2018 年高考全国卷理数
8、】下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 （单位：亿元）的y折线图为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 与时间变量 的两个线性回归模型根据yt2000 年至 2016 年的数据（时间变量 的值依次为 ）建立模型： ；根据t127， ， ， 30.415yt2010 年至 2016 年的数据（时间变量 的值依次为 ）建立模型： t， ， ， 97.t（1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模 型得到的预测值更可靠？并说明理由8 【2018 年高考全国卷理数】某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提
9、出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每组 20人第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 ，并将完成生产任务所需时间超过 和不超过mm的工人数填入下面的列联表：m超过 不超过第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附： ，2nadbcKd2Pk 0.5.10.3846829 【20
10、18 年高考北京卷理数】电影公司随机收集了电影的 有关数据，经分类整理得到下表：电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类电影部数 140 50 300 200 800 510好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值假设所有电影是否获得好评相互独立（1）从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（2）从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1 部，估计恰有 1 部获得好评的概率；（3）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“ ”表示第 k 类电1
11、k影得到人们喜欢， “ ”表示第 k 类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6） 写出方差 ，0k 1D， ， ， ， 的大小关系2D345D610 【2018 年高考天津卷理数】已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24，16，16现采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，进行睡眠时间的调查（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（2）若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查（i）用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数，求随机变量 X 的分布列与数学期望；（ii）设 A 为事件“抽取的 3 人中
12、，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工” ，求事件 A 发生的概率11 【2017 年高考全国卷理数】为了监控某种零件的一条生 产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸（单位：cm） 根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 2(,)N（1）假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 之外的零件(3,)数，求 及 的数学期望；(1)PX（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 之外的零件，就认为这条生产线在这一(3,)天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（）试说明上述监控生产过程
13、方法的合理性；（）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺 寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得 ， ，其中 为抽取169.7ix161622()()0.21i iisxxix的第 个零件的尺寸， i,2用样本平均数 作为 的估计值 ，用样本标准差 作为 的估计值 ，利用估计值判断是否需对xs当天的生产过程进行检查？剔除 之外的数据，用剩下的数据估计 和 （精确到(3,)0.01） 附：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，Z2(,)N(33)0.
14、97 4PZ， 160.97 4.59 20.8.9来源:学#科#网12 【2017 年高考全国卷理数】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位： kg） 其频率分布直方图如下：（1）设两种养殖方法的箱产量相互 独立，记 A 表示事件：“旧养殖法的箱产量低于 50kg，新养殖法的箱产量不低于 50kg”，估计 A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量50kg 箱产量50kg旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精
15、确到 0.01） 附： ，22()(nadbcK13 【2017 年高考全国卷理数】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间20，25） ，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 10，15） 15，20） 20，25） 来源:学科网25，30） 30，3
16、5） 35，40）天数 2 16 36 25 7 4以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率（1）求六月份这种酸奶一天的需求量 X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y（单位： 元） 当六月份这种酸奶一天的进货量 n（单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？14 【2017 年高考天津卷理数】从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为 1,234（1）设 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量 的分布列和数学期望；X X（2）若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率15 【2017 年高考北京卷理数】为了研究一种新药的疗效，选 100 名患者随机分成两组，每组各 50 名，一组服药，另一组不服药一段时间后，记录了两组患者的生理指标 x 和 y 的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者， “+”表示未服药者（1）从服药的 50 名患者中随机选出一人，求此人指标 y 的值小于 60 的概率；（2）从图中 A，B，C，D 四人中随机选出两人，记 为选出的两人中指标 x 的值大于 1.7 的人 数，求 的分布列和数学期望 E( )；（3）试判断这 100 名患者中服药者指标 y 数据的方差与未服药者指标 y 数据的方差的大小 （只需写出结论）
