1、专题 08 平面解析几何（解答题）1 【2019 年高考全国卷理数 】已知抛物线 C：y 2=3x 的焦点为 F，斜率为32的直线 l 与 C 的交点为A，B ，与 x 轴的交点为 P（1）若|AF|+|BF|=4 ，求 l 的方程；（2）若 3，求| AB|【答案】 （1） ；（2） .78yx413【解析】设直线 123:,ltAxyB（1）由题设得 ，故 ，由题设可得 ,04F123|Fx125x由 ，可得 ，则 23yxt2291()40xtxt12()9tx从而 ，得 1()5t78t所以 的方程为 l32yx（2）由 可得 APB12y由 ，可得 23yxt20yt所以 从而 ，故
2、 122321,3y代入 的方程得 C12,x故 43|AB【名师点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及平面向量、弦长的求解方法，解题关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，利用根与系数的关系构造等量关系.2【2019 年高考全国卷理数】已知点 A(2，0) ，B(2，0) ，动点 M(x，y)满足直线 AM 与 BM 的斜率之积为 .记 M 的轨迹为曲线 C.1（1）求 C 的方程，并说明 C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交 C 于 P，Q 两点，点 P 在第一象限，PEx 轴，垂足为 E，连结 QE 并延长交 C 于点 G.（i）证明： 是直角三角形；（ii）
3、求 面积的最大值.P【答案】 （1）见解析；（2） （i）见解析；（ii） .169【解析】 （1）由题设得 ，化简得 ，所以 C 为中心在坐标原点，2yx21(|2)4xyx焦点在 x 轴上的椭圆，不含左右顶点（2）（i）设直线 PQ 的斜率为 k，则其方程为 (0)ykx由 得 214ykx2k记 ，则 2uk(,)(,)(,0PuQuE于是直线 的斜率为 ，方程为 QG2kyx由 得2(),14kyxu22()80kxuk设 ，则 和 是方程的解，故 ，由此得 (,)GxyuGx2(3)Gukx32Guky从而直线 的斜率为 P321()kuk所以 ，即 是直角三角形QG（ii）由（i）
4、得 ， ，所以PQG 的面积2|1Puk21|ukPG228()18()| 12kSQG设 t=k+ ，则由 k0 得 t2，当且仅当 k=1 时取等号因为 在2，+）单调递减，所以当 t=2，即 k=1 时，S 取得最大值，最大值为 281tS 169因此，PQG 面积的最大值为 169【名师点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，以及利用直线与椭圆的位置关系，判断三角形形状以及三角形面积最大值问题，考查了数学运算能力，考查了求函数最大值问题.3【2019 年高考全国卷理数】已知曲线 C：y= ，D 为直线 y= 上的动点，过 D 作 C 的两条切线，2x12切点分别为 A，B.（1）证明：直线
5、AB 过定点：（2）若以 E(0， )为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求四边形 ADBE 的面积.52【答案】 （1）见详解；（2）3 或 .42【解析】 （1）设 ，则 .1,DtAxy21y由于 ，所以切线DA的斜率为 ，故 .yx1x12yxt整理得 12 +=0.t设 ，同理可得 .,Bxy2 +=0txy故直线AB的方程为 .1所以直线AB过定点 .(0,)2（2）由（1）得直线AB的方程为 .12ytx由 ，可得 .2ytx210xt于是 ，21212212, 1xtytxt.| 4ABxt设 分别为点D，E到直线 AB的距离，则 .12,d212,1dt
6、dt因此，四边形ADBE的面积 .221| 32SABtt设M为线段AB的中点，则 .,Mt由于 ，而 ， 与向量 平行，所以 .解得t=0或EAB2,tAB(1, )t20t.1t当 =0时，S=3；当 时， .1t42S因此，四边形ADBE的面积为3或 .【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题，第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班地求解就可以，思路较为清晰，但计算量不小.4【2019 年高考北京卷理数】已知抛物线 C：x 2=2py 经过点（ 2，1 ）（1）求抛物线 C 的方程及其准线方程；（2）设 O 为原点，过抛物线 C 的焦点作斜率不为 0 的直线 l 交抛物线 C 于
7、两点 M，N ，直线 y=1 分别交直线 OM， ON 于点 A 和点 B求证：以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的两个定点【答案】 （1）抛物线 的方程为 ，准线方程为 ；（2）见解析.24xy1【解析】 （1）由抛物线 经过点 ，得 .:p(,)p所以抛物线 的方程为 ，其准线方程为 .C2xyy（2）抛物线 的焦点为 .(0,1)F设直线 的方程为 .lykx由 得 .21,4ykx240设 ，则 .1,MNy12x直线 的方程为 .O1令 ，得点 A 的横坐标 .1y1Axy同理得点 B 的横坐标 .2Bx设点 ，则 ，(0, )Dn12,1xAnDBnyy212()xABy212()
8、4nx2126()nx.24令 ，即 ，则 或 .0DAB24(1)0n1n3综上，以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的定点 和 .(,)0,)【名师点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5【2019 年高考天津卷理数】设椭圆 的左焦点为 ，上顶点为 已知椭圆的短21(0)xyabFB轴长为 4，离心率为 5（1）求椭圆的方程；（2）设点 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 为直线 与 轴的交点，点 在 轴的负PMPBxNy半轴上若 （ 为原点），且 ，求直线 的斜率|ONFOPN【答案】（1
9、） ；（2） 或 2154xy3052【解析】（1）设椭圆的半焦距为 ，依题意， ，又 ，可得 ，c54,cba22bc5a2,bc所以，椭圆的方程为 2154xy（2）由题意，设 设直线 的斜率为 ，0,PpMx， PB0k又 ，则直线 的方程为 ，0,BB2yk与椭圆方程联立 整理得 ，2,154ykx2450kx可得 ，代入 得 ，2045Pkx2ykx281045Pky进而直线 的斜率 O4510Pp在 中，令 ，得 2ykxy2Mxk由题意得 ，所以直线 的斜率为 0,1NN2由 ，得 ，化简得 ，从而 OPM2451k45k2305k所以，直线 的斜率为 或 B305【名师点睛】本
10、小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识考查用代数方法研究圆锥曲线的性质考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力6【2019 年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C: 的焦点为21(0)xyabF1（1、0），F 2（1，0）过 F2 作 x 轴的垂线 l，在 x 轴的上方，l 与圆 F2: 交于224xya点 A，与椭圆 C 交于点 D.连结 AF1 并延长交圆 F2 于点 B，连结 BF2 交椭圆 C 于点 E，连结 DF1已知 DF1= 52（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）求点 E 的坐标【答案】 （1） ；（2） .2143xy3(1,)2
11、E【解析】 （1）设椭圆 C 的焦距为 2c.因为 F1(1，0)，F 2(1，0)，所以 F1F2=2，c=1.又因为 DF1= ，AF 2x 轴，所以 DF2= ，522153()D因此 2a=DF1+DF2=4，从而 a=2.由 b2=a2c2，得 b2=3.因此，椭圆 C 的标准方程为 .2143xy（2）解法一：由（1）知，椭圆 C： ，a=2，2因为 AF2x 轴，所以点 A 的横坐标为 1.将 x=1 代入圆 F2 的方程( x1) 2+y2=16，解得 y=4.因为点 A 在 x 轴上方，所以 A(1，4).又 F1(1，0) ，所以直线 AF1：y=2x+2.由 ，得 ，解得
12、 或 .2()6yx2501x5将 代入 ，得 ，15yx1y因此 .2(,)B又 F2(1，0) ，所以直线 BF2： .3(1)4yx由 ，得 ，解得 或 .2143()xy276130x1x37又因为 E 是线段 BF2 与椭圆的交点，所以 .将 代入 ，得 .1x3(1)4yx32y因此 .(,)2E解法二：由（1）知，椭圆 C： .2143xy如图，连结 EF1.因为 BF2=2a，EF 1+EF2=2a，所以 EF1=EB，从而BF 1E=B.因为 F2A=F2B，所以A =B，所以A= BF 1E，从而 EF1F 2A.因为 AF2x 轴，所以 EF1 x 轴.因为 F1(1，0
13、)，由 ，得 .243y32又因为 E 是线段 BF2 与椭圆的交点，所以 .y因此 .3(1,)【名师点睛】本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.7【2019 年高考浙江卷】如图，已知点 为抛物线 的焦点，过点 F 的直线交抛物(10)F，2(0)ypx线于 A、 B 两点，点 C 在抛物线上，使得 的重心 G 在 x 轴上，直线 AC 交 x 轴于点 Q，且 QABC在点 F 的右侧记 的面积分别为 ,GQ 12,S（1）求 p 的值及抛物线的准线方程；（2）求 的最小值及此时点 G 的
14、坐标12S【答案】（1）p=2，准线方程为x=1；（2）最小值为 ，此时G（2，0）31【解析】（1）由题意得 ，即p=2.12所以，抛物线的准线方程为x=1.（2）设 ，重心 .令 ，则 .,ABcyxCy,Gxy2,0At2Axt由于直线AB过F ，故直线AB方程为 ，代入 ，得21txy24yx，2140tyy故 ，即 ，所以 .2Bt2Bt21,t又由于 及重心G在x轴上，故 ，得1,33GABcGABcxxyy20cty.242,0tCtt所以，直线AC方程为 ，得 .2ytxt21,Qt由于Q在焦点F的右侧，故 .从而2.42 4221 422 1| 31|1|ActtGyS tt
15、tt t 令 ，则m0，2t.122 113234 244S m当 时， 取得最小值 ，此时G （2，0）3m12S【名师点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.8【2017 年高考全国 III 卷理数 】已知抛物线 C：y 2=2x，过点（2,0）的直线 l 交 C 于 A,B 两点，圆 M 是以线段 AB 为直径的圆 .（1）证明：坐标原点 O 在圆 M 上；（2）设圆 M 过点 ，求直线 l 与圆 M 的方程.4,2P【答案】（1）见解析；（2）直线 的方程为 ，圆 的方程为 ，l20xyM22310xy或直线 的方程为
16、，圆 的方程为l240xyM2918546y【解析】（1）设 ， .12,AB:2lxmy由 可得 ，则 .2,xmy240y124又 ，故 .12,x2112x因此 的斜率与 的斜率之积为 ，所以 .OAB1241yxOAB故坐标原点 在圆 上.M（2）由（1）可得 .2121212, 4ymxym故圆心 的坐标为 ，圆 的半径 .,r由于圆 过点 ，因此 ，故 ，4,P0APB12120xy即 ，1212112xxyy由（1）可得 .2,所以 ，解得 或 .210m1m2当 时，直线 的方程为 ，圆心 的坐标为 ，圆 的半径为 ，圆 的方l0xyM3,110M程为 .223xy当 时，直线
17、 的方程为 ，圆心 的坐标为 ，圆 的半径为 ，圆1ml40xy9,42854的方程为 .M22918546x【名师点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.中点弦问题，可以利用“点差法” ，但不要忘记验证 或说明中点在曲线内部.09 【2017 年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的左、右焦点xOy2:1(0)xyEab分别为 ， ，离心率为 ，两准线之间的距离为 8点 在椭圆 上，且位于第一象限，过点1F21P作直线 的垂线 ，过点 作直线 的垂线 P1
18、l2F2P2l（1）求椭圆 的标准方程；E（2）若直线 ， 的交点 在椭圆 上，求点 的坐标1l2QE（注：椭圆 的准线方程： ）2(0)xyab2axc【答案】 （1） ；（2） 2143xy473(,)【解析】 （1）设椭圆的半焦距为 c因为椭圆 E 的离心率为 ，两准线之间的距离为 8，所以 ， ，212ca8解得 ，2,1ac于是 ，3b因此椭圆 E 的标准方程是 214xy（2）由（1）知， ， 1(,0)F2(,)设 ，0(,)Pxy因为 为第一象限的点，故 P0,xy当 时， 与 相交于 ，与题设不符01x2l11F当 时，直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 010yx2PF01y
19、x因为 ， ，所以直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，1lPF 2l 1l0y2l01xy从而直线 的方程： ，1l0()xy直线 的方程： 2l01()y由，解得 ，20,xx所以 201(,)Qy因为点 在椭圆上，由对称性，得 ，2001xy即 或 201xy20xy又 在椭圆 E 上，故 P20143由 ，解得 ；20143xy007,xy，无解20143xy因此点 P 的坐标为 473(,)【名师点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用根与系数关系或求根公式进行转化，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点在曲线上（点的坐标满足曲线方程）等10【2
20、017 年高考浙江卷】如图，已知抛物线 ，点 A ， ，抛物线上的点2xy1()24，39()，B过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q13(,)2Pxy（1）求直线 AP 斜率的取值范围；（2）求 的最大值|PAQ【答案】 （1） ；（2） (,)716【解析】 （1）设直线 AP 的斜率为 k， ，214x因为 ，32x所以直线 AP 斜率的取值范围是 (1,)（2）联立直线 AP 与 BQ 的方程10,2493,kxy解得点 Q 的横坐标是 24(1)Qkx因为|PA|= = ，| PQ|= ，21()k2()k 22(1)1()Qkkx所以 31PA令 ，因为 ，3()1)(fkk
21、2()4)(1fkk所以 f(k)在区间 上单调递增， 上单调递减，,21,2因此当 k= 时， 取得最大值 1|PAQ716【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达 与 的长度，通过函数 求解|PA|Q3()1)(fkk的最大值|PA11【2018 年高考全国卷理数】设抛物线 的焦点为 ，过 且斜率为 的直线 与 交24Cyx： F(0)klC于 ， 两点， B|8（1）求 的方程；l（2）求过点 ， 且与 的准线相切的圆的方程AC【答案】 （1） ；（2） 或 yx22(3)()16xy22()(6)14xy
22、【解析】 （1）由题意得 ，l 的方程为 1,0F0k设 ，2(,)(,)AyxB由 得 24k222(4)0kx，故 2160k12x所以 1224|()()kABFx由题设知 ，解得 （舍去） ， 248kk1k因此 l 的方程为 1yx（2）由（1）得 AB 的中点坐标为 ，(3,2)所以 AB 的垂直平分线方程为 ，即 yx5yx设所求圆的圆心坐标为 ，则0(,)xy解得 或02205,(1)(1)6.yx03,2xy01,6.因此所求圆的方程为 或 2(3)()x22()()14y12 【2018 年高考北京卷理数】已知抛物线 C： =2px 经过点 （1，2） 过点 Q（0，1）的
23、直线 l 与抛2yP物线 C 有两个不同的交点 A， B，且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N（1）求直线 l 的斜率的取值范围；（2）设 O 为原点， ， ，求证： 为定值QMONQ1【答案】 （1） （-，-3 ）（-3，0）（0，1） ；（2）见解析.【解析】 （1）因为抛物线 y2=2px 经过点 P（1，2） ，所以 4=2p，解得 p=2，所以抛物线的方程为 y2=4x由题意可知直线 l 的斜率存在且不为 0，设直线 l 的方程为 y=kx+1（k0） 由 得 241yxk2(4)10x依题意 ，解得 kb0)的左焦点为 F，上顶点为 B已知椭圆的离心率2x
24、y为 ，点 A 的坐标为 ，且 53(,0)b62FBA（1）求椭圆的方程；（2）设直线 l： 与椭圆在第一象限的交点为 P，且 l 与直线 AB 交于点 Q()ykx若 (O 为原点)，求 k 的值5sin4AQAP【答案】 （1） ；（2）219xy18或 【解析】 （1）设椭圆的焦距为 2c，由已知有 ，259ca又由 a2=b2+c2，可得 2a=3b由已知可得， ， ，FBA由 ，可得 ab=6，6A从而 a=3，b=2，所以椭圆的方程为 2194xy（2）设点 P 的坐标为（x 1，y 1） ，点 Q 的坐标为（x 2，y 2） 由已知有 y1y20，故 1sinAO又因为 ，而O
25、AB= ，故 siAQB42y由 ，可得 5y1=9y252sin4AQAOP由方程组 消去 x，可得 2194ykx， ， 12694k易知直线 AB 的方程为 x+y2=0，由方程组 消去 x，可得 0yx， ， 21ky由 5y1=9y2，可得 5（k +1）= ，两边平方，整理得 ，解得 ，或2394k2560k28k所以 k 的值为128或 18【2017 年高考全国 I 理数 】已知椭圆 C： ，四点 P1（1,1） ，P 2（0,1） ，P 3（21()0xyab1， ） ，P 4（1， ）中恰有三点在椭圆 C 上3232（1）求 C 的方程；（2）设直线 l 不经过 P2 点且
26、与 C 相交于 A，B 两点若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为1，证明：l 过定点【答案】 （1） ；（2）见解析.214xy【解析】 （1）由于 ， 两点关于 y 轴对称，故由题设知 C 经过 ， 两点3P4 3P4又由 知，C 不经过点 P1，所以点 P2 在 C 上22ab因此 ，解得 ，2134ab241ab故 C 的方程为 214xy（2）设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1，k 2，如果 l 与 x 轴垂直，设 l：x=t，由题设知 ，且 ，可得 A，B 的坐标分别为（t ， ） ， （t， ） 0t|t2424则 ，得 ，不符合题设，从而可设221241t
27、kt2tl： （ ） yxm1将 代入 得 ，由题设可知k24y22(41)840kxkm216(1)0设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 x1+x2= ，x 1x2= 84k4k而 212k21km1212()mx由题设 ，故 ，2212()()0xx即 ，解得 ，2248(1)104mkkk当且仅当 时 ，于是 l： ，即 ，01myx1(2)myx所以 l 过定点（2， ） 1【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况
28、另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简19 【2017 年高考全国 II 理数】设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： 上，过 M 作 x 轴的垂线，21xy垂足为 N，点 P 满足 2N（1）求点 P 的轨迹方程；（2）设点 Q 在直线 上，且 证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点3x1OPQF 【答案】 （1） ；（2）见解析.2y【解析】 （1）设 ， ，则 0(,),)PxMy0(,)Nx00(,)(,)PxyNMy由 得 2N0,2因为 在 C
29、 上，所以 0(,)xy1xy因此点 P 的轨迹方程为 2（2）由题意知 设 ，(1,)F(3,),QtPmn则 ， 3,3OQtOFt(,)(3,)OPmnQtn由 得 ，1P221mtn又由（1）知 ，故 230t所以 ，即 0OQFPF又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ，所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 过 C 的左焦点 Fl【名师点睛】求轨迹方程的常用方法：（1）直接法：直接利用条件建立 x，y 之间的关系 F(x，y)0（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程（4）代入(相关点)法
30、：动点 P(x，y)依赖于另一动点 Q(x0，y 0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y )的轨迹方程20 【2017 年高考北京卷理数】已知抛物线 C：y 2=2px 过点 P(1，1).过点(0 ， )作直线 l 与抛物线 C 交于12不同的两点 M，N，过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP，ON 交于点 A，B，其中 O 为原点.（1）求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：A 为线段 BM 的中点.【答案】 （1）抛物线 C 的方程为 ，焦点坐标为( ，0)，准线方程为 ；（2）见解析.2yx1414x【解析】 （1）由抛物线 C： 过点 P(1，1)
31、，得 .p2p所以抛物线 C 的方程为 .2yx抛物线 C 的焦点坐标为( ，0)，准线方程为 .1414x（2）由题意，设直线 l 的方程为 （ ） ，l 与抛物线 C 的交点为 ， .2yk01(,)Mxy2(,)Nxy由 ，得 .21ykx24(4)1kxx则 ， .12x12因为点 P 的坐标为（1，1） ，所以直线 OP 的方程为 ，点 A 的坐标为 .yx1(,)xy直线 ON 的方程为 ，点 B 的坐标为 .2yx21(,)x因为211212yx1212()()kkx121()()x2()4kkx，0所以 .21yx故 A 为线段 BM 的中点.【名师点睛】本题考查了直线与抛物线
32、的位置关系，考查了转化与化归能力，当看到题目中出现直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数的关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来即可，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整体代换到后面的计算中去，从而减少计算量.（1）代入点 求得抛物线的方程，根据方程表示焦点坐标和准线方程；P（2）设直线 l 的方程为 （ ） ，与抛物线方程联立，再由根与系数的关系，及直线 ON12ykx0的方程为 ，联立求得点 的坐标为 ，再证明 .2yxB21(,)yx1210xy21 【2017 年高考天津卷理数】设椭圆 的左焦点为 ，右顶点为 ，离心
33、率2(0)xabFA为 已知 是抛物线 的焦点， 到抛物线的准线 的距离为 12A2(0)ypxFl12（1）求椭圆的方程和抛物线的方程；（2）设 上两点 ， 关于 轴对称，直线 与椭圆相交于点 （ 异于点 ） ，直线 与 轴lPQxAPBABQx相交于点 若 的面积为 ，求直线 的方程DA62【答案】 （1）椭圆的方程为 ，抛物线的方程为 ；（2） 或413yx4yx360y360xy【解析】 （1）设 的坐标为 F(,0)c依题意， ， ， ，解得 ， ， ，于是 2cap12aa12cp2234bac所以，椭圆的方程为 ，抛物线的方程为 243yx24yx（2）设直线 的方程为 ，AP1
34、(0)m与直线 的方程 联立，可得点 ，故 l1x2,P2(1,)Qm将 与 联立，消去 ，整理得 ，1xmy2413yxx2(34)60my解得 或 026由点 异于点 ，可得点 BA22346(,)mB由 ，可得直线 的方程为 ，2(1,)QmQ22342()(11)(034mxy令 ，解得 ，故 ，所以 0y23x2(,0)mD226|3AD又因为 的面积为 ，故 ，APD62163|2整理得 ，解得 ，所以 23|20m|m3所以，直线 的方程为 或 AP36xy360xy【名师点睛】圆锥曲线问题在历年高考中都是较有难度的压轴题，本题中第一步利用椭圆的离心率及椭圆与抛物线的位置关系的特
35、点，列方程组，求出椭圆和抛物线的方程，第二步联立方程组求出点的坐标，写出直线的方程，利用面积求直线方程，利用代数的方法解决几何问题，即坐标化、方程化、代数化，这是解题的关键（1）由于 为抛物线焦点， 到抛物线的准线 的距离为 ，则 ，又椭圆的离心率为 ，AFl1212ac12求出 ，得出椭圆的标准方程和抛物线的方程；,cab（2）设直线 的方程为 ， 解 出 两 点 的 坐 标 ， 把 直 线 的 方 程 和 椭 圆 方 程 联P1(0)xmy,PQAP立 解 出 点 坐 标 ， 写 出 所 在 直 线 的 方 程 ， 求 出 点 的 坐 标 ， 最 后 根 据 的 面 积 为 ， 解 方 程
36、BQDD62求 出 ， 可 得 直 线 的 方 程 mA22 【2017 年高考山东卷理数】在平面直角坐标系 中，椭圆 的离心率为xOy2:1(0)xyEab，焦距为 2.2（1）求椭圆 E的方程；（2）如图，动直线 交椭圆 E 于 A，B 两点，C 是椭圆 E上一点，直线 OC 的斜率为13:2lykx2k，且 ， M是线段 OC延长线上一点，且 ， MA的半径为 C，124 |:|2:3,OST是 A的两条切线，切点分别为 ,ST，求 O的最大值，并求取得最大值时直线 l的斜率.【答案】 （1） ；（2） SOT的最大值为 ，取得最大值时直线 l的斜率为 .21xy312k【解析】 （1）由题意知 ，,2cea所以 c=1，所以 ，2,ab因此椭圆 E的方程为 .21xy（2）设 12,AxyB，联立方程 ，213xyk
