高三数学二轮复习第4讲

1、高效提分 源于优学第04讲 几何综合知识构图学好几何图形，一定要从基本元素、图形的性质和判定，两个方面入手思考。知识要点一全等、相似三角形（一）相似三角形1、相似三角形的性质：相似三角形对应角相等，对应边成比例.相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.相似三角形周长的比等于相似比.相似三角形面积的比等于相似比的平方.2、相似三角形的判定如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，。

2、70 分分 解答题标准练解答题标准练(三三) 1.ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 1 2bsin C cos Asin Acos C，a2. (1)求 A； (2)求ABC 的面积的最大值. 解 (1)因为 1 2bsin C cos Asin Acos C， 所以1 2bcos Asin Ccos Asin Acos Csin(AC) sin B，所以bcos A 2sin B1， 由正弦定理得 b sin B a sin A 2 sin A， 所以bcos A 2sin B 2cos A 2sin A1，sin Acos A， 又 A(0，)，所以 A 4. (2)由余弦定理 a2b2c22bccos A 得， b2c2 2bc4， 因为 b2c22bc. 所以 2bc42bc， 解得 bc2(2 2)， 所以 SABC1 2bcsin A 2 4 bc 2 4 2(2 2) 21.。

3、70 分分 解答题标准练解答题标准练(二二) 1.(2019 南昌模拟)在ABC 中， 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 已知cos A2cos C cos B 2ca b . (1)求sin C sin A的值； (2)若 cos B1 4，b2，求ABC 的面积. 解 (1)由正弦定理，得2ca b 2sin Csin A sin B ， 所以cos A2cos C cos B 2sin Csin A sin B ， 即(cos A2cos C)sin B(2sin Csin A)cos B， cos Asin B2cos Csin B2sin Ccos Bsin Acos B， cos Asin Bsin Acos B2sin Ccos B2cos Csin B. 化简得 sin(AB)2sin(BC)， 又 ABC，所以 sin C2sin A， 因此sin C sin A2. (2)由sin C sin A。

4、 70 分分 解答题标准练解答题标准练(一一) 1.(2019 广州模拟)已知an是等差数列，且 lg a10，lg a41. (1)求数列an的通项公式； (2)若 a1，ak，a6是等比数列bn的前 3 项，求 k 的值及数列anbn的前 n 项和. 解 (1)数列an是等差数列，设公差为 d， 且 lg a10，lg a41. 则 a11， a13d10， 解得 d3， 所以 an13(n1)3n2. (2)若 a1，ak，a6是等比数列bn的前 3 项， 则 a2ka1 a6， 根据等差数列的通项公式得到 ak3k2， 代入上式解得 k2；a1，a2，a6是等比数列bn的前 3 项，a11，a24， 所以等比数列bn的公比为 q4. 由等比数列的通项公式得到 bn4n 1.。

5、 第第 1 讲讲 空间几何体空间几何体、空间中的位置关系空间中的位置关系(小题小题) 热点一 三视图与直观图 1.一个物体的三视图的排列规则 俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的 右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样.即“长对正、高平齐、宽相 等”. 2.由三视图还原几何体的步骤 一般先依据俯视图确定底面，再利用正(主)视图与侧(左)视图确定几何体. 例 1 (1)如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F，G 分别为棱 CD，CC1，A1B1的中点， 用过点 E，F，G 的平面截正方体。

6、 一一、数学抽象数学抽象、直观想象直观想象 素养 1 数学抽象 通过由具体的实例概括一般性结论，看我们能否在综合的情境中学会抽象出数学问题， 并在得到数学结论的基础上形成新的命题，以此考查数学抽象素养. 例 1 (2019 全国)设函数 f(x)的定义域为 R， 满足 f(x1)2f(x)， 且当 x(0,1时， f(x)x(x 1).若对任意 x(，m，都有 f(x)8 9，则 m 的取值范围是( ) A. ，9 4 B. ，7 3 C. ，5 2 D. ，8 3 答案 B 解析 当1log0.310， 0ab ab 1，abab120，所以优惠 10 元，顾客实际需要付款 130 元. (2)设顾客一次购买的水果总价为 m 元，由题意知，。

7、第第 3 讲讲 圆锥曲线中的最值圆锥曲线中的最值、范围范围、证明问题证明问题(大题大题) 热点一 最值问题 求圆锥曲线中三角形面积的最值的关键 (1)公式意识，把求三角形的面积转化为求距离、求角等； (2)方程思想，即引入参数，寻找关于参数的方程； (3)不等式意识，寻找关于参数的不等式，利用基本不等式等求最值. 例 1 (2019 邯郸模拟)已知椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，P 为 E 上 的一个动点，且|PF2|的最大值为 2 3，E 的离心率与椭圆 ：x 2 2 y2 81 的离心率相等. (1)求 E 的方程； (2)直线 l 与 E 交于 M，。

8、(八八)不等式选讲不等式选讲 1.(2019 天水市第一中学模拟)设函数 f(x)|2xa|x2|(xR，aR). (1)当 a1 时，求不等式 f(x)0 的解集； (2)若 f(x)1 在 xR 上恒成立，求实数 a 的取值范围. 解 (1)a1 时，f(x)0 可得|2x1|x2|，即(2x1)2(x2)2， 化简得：(3x3)(x1)0，所以不等式 f(x)0 的解集为(，1)(1，). (2)当 a0)，求4 a 1 b的取值范围. 解 (1)由 f(x)1， 即|2x1|1，得12x11， 解得1x0. 即不等式的解集为x|1x0. (2)g(x)f(x)f(x1)|2x1|2x1| |2x1(2x1)|2， 当且仅当(2x1)(2x1)0， 即1 2x 1 2时取等号， m2. ab2(a，b0)， 4 a 1 b 1 2(ab) 4 a 1 b 。

9、第第 2 讲讲 不等式不等式 1.(2019 武汉联考)下列命题中正确的是( ) A.若 ab，则 ac2bc2 B.若 ab，c b d C.若 ab，cd，则 acbd D.若 ab0，ab，则1 a 1 b 答案 D 解析 对于 A 选项，当 c0 时，不成立，故 A 选项错误.当 a1，b0，c2，d1 时，a cb0，有下列命题： 若 a b1，则 abb0， 所以 00，得 01，求得 00， y0， 作出约束条件表示的可行域如图阴影部分所示. 可知 z2x3y 过 C()3，2 时，z 最小. z23320，即 2x3y. 8.(2019 德阳模拟)已知实数 x，y 满足 2xy20， x2y40， 3xy30， 若 yk(x1)1 恒成立，那么 k 的 取值范围是( ) A. 1 2，3 B.。

10、回扣回扣 6 概率与统计概率与统计 1.分类加法计数原理 完成一件事， 可以有n类办法， 在第一类办法中有m1种方法， 在第二类办法中有m2种方法， ， 在第 n 类办法中有 mn种方法，那么完成这件事共有 Nm1m2mn种方法(也称加法原 理). 2.分步乘法计数原理 完成一件事需要经过 n 个步骤， 缺一不可， 做第一步有 m1种方法， 做第二步有 m2种方法， ， 做第 n 步有 mn种方法，那么完成这件事共有 Nm1m2mn种方法(也称乘法原理). 3.排列 (1)排列的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 。

11、(四四)概率与统计概率与统计 1.随着智能手机的普及，使用手机上网成为了人们日常生活的一部分，很多消费者对手机流 量的需求越来越大.长沙某通信公司为了更好地满足消费者对流量的需求， 准备推出一款流量 包.该通信公司选了 5 个城市(总人数、经济发展情况、消费能力等方面比较接近)采用不同的 定价方案作为试点， 经过一个月的统计， 发现该流量包的定价 x(单位： 元/月)和购买人数 y(单 位：万人)的关系如表： 流量包的定价(元/月) 30 35 40 45 50 购买人数(万人) 18 14 10 8 5 (1)根据表中的数据，运用相关系数进行分析说明，是否可以。

12、(四四)概率与统计概率与统计 1.(2019 全国)演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时， 从 9 个原始评分中去掉 1 个最高分、1 个最低分，得到 7 个有效评分.7 个有效评分与 9 个原 始评分相比，不变的数字特征是( ) A.中位数 B.平均数 C.方差 D.极差 答案 A 解析 记 9 个原始评分分别为 a，b，c，d，e，f，g，h，i(按从小到大的顺序排列)，易知 e 为 7 个有效评分与 9 个原始评分的中位数，故不变的数字特征是中位数，故选 A. 2.(2019 东北三省三校模拟)将一枚质地均匀的硬币连掷三次，事件“恰出现 1 次反面朝。

13、第第 6 讲讲 古典概型与几何概型古典概型与几何概型 1.(2019 全国)我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上 排列的 6 个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“ ”，如图就是一重卦，在所有重 卦中随机取一重卦，则该重卦恰有 3 个阳爻的概率是( ) A. 5 16 B. 11 32 C. 21 32 D. 11 16 答案 A 解析 由 6 个爻组成的重卦种数为 2664，在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有 3 个阳 爻的种数为 C36654 32120.根据古典概型的概率计算公式得，所求概率 P 20 64 5 16.故选 A. 2.(2019 黄冈调研)黄冈市的天气预报显示，大别山。

14、第第 3 讲讲 导数的简单应用导数的简单应用(小题小题) 热点一 导数的几何意义与定积分 应用导数的几何意义解题时应注意： (1)f(x)与 f(x0)的区别与联系，f(x0)表示函数 f(x)在 xx0处的导数值，是一个常数； (2)函数在某点处的导数值就是对应曲线在该点处切线的斜率； (3)切点既在原函数的图象上也在切线上. 例 1 (1)(2019 湖南省三湘名校联考)在二项式 x2 a 2x 6 的展开式中，其常数项是 15.如图所 示，阴影部分是由曲线 yx2和圆 x2y2a 及 x 轴在第一象限围成的封闭图形，则封闭图形 的面积为( ) A. 4 1 6 B. 4 1 6 C. 4 D.1 6 答案 B 解。

15、第第 4 讲讲 圆锥曲线中的定点圆锥曲线中的定点、定值定值、存在性问题存在性问题(大题大题) 热点一 定点问题 解决圆锥曲线中的定点问题应注意 (1)分清问题中哪些是定的，哪些是变动的； (2)注意“设而不求”思想的应用，引入参变量，最后看能否把变量消去； (3)“先猜后证”，也就是先利用特殊情况确定定点，然后验证，这样在整理式子时就有了明 确的方向. 例 1 (2019 汕尾质检)已知 P(0,2)是椭圆 C： x2 a2 y2 b21(ab0)的一个顶点， C 的离心率 e 3 3 . (1)求椭圆的方程； (2)过点 P 的两条直线 l1，l2分别与 C 相交于不同于点 P 的 A，。

16、70 分分 解答题标准练解答题标准练(四四) 1.已知在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，cos(2B2C)3cos A10，且 ABC 的外接圆的直径为 2. (1)求角 A 的大小； (2)若ABC 的面积为 2 3，求ABC 的周长； (3)当ABC 的面积取最大值时，判断ABC 的形状. 解 (1)由题意知 2A2B2C2，所以 cos(2B2C)3cos A1cos 2A3cos A10， 即 2cos2A3cos A20， 解得 cos A2(舍去)或 cos A1 2. 又 00 恒成立， 则 x1x2 4k 2k21，x1x2 2 2k21. 所以 xx1x2 2 2k 2k21， yk 2k 2k21 1 1 2k21， 两式联立，得 x22y22y0(y0). 又(0,0)适合上式， 故弦 PQ 的中点 M 。

17、 典例 4 (12 分)(2019 全国)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药 更有效， 为此进行动物试验.试验方案如下： 每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两 只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验. 当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多 的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的 白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈 则乙药。

18、第第 3 讲讲 平面向量平面向量 1.(2019 佛山模拟)已知向量 a(2,1)，b(1，k)，a(2ab)，则 k 等于( ) A.8 B.6 C.6 D.8 答案 A 解析 a(2,1)，b(1，k)，2ab(3,2k)， a(2ab)，则 a()2ab 62k0， 解得 k8. 2.(2019 福建三校联考)若平面向量 a， b 满足 a (ab)3， 且 a 1 2， 3 2 ，| |b 2 5， 则|ab 等于( ) A.5 B.3 2 C.18 D.25 答案 A 解析 a 1 2， 3 2 ，|a|1， 又 a()ab 3| |a 2a b3a b2， (ab)2| |a 22a b| | b 2142025， |ab 5. 3.(2019 乐山模拟)如图所示，AD 是ABC 的中线，O 是 AD 的中点，若CO AB。

19、第第 4 讲讲 导数的热点问题导数的热点问题(大题大题) 热点一 导数的简单应用 利用导数研究函数的单调性是导数应用的基础，只有研究了函数的单调性，才能研究其函数 图象的变化规律，进而确定其极值、最值和函数的零点等.注意：若可导函数 f(x)在区间 D 上 单调递增，则有 f(x)0 在区间 D 上恒成立，但反过来不一定成立. 例 1 (2019 武邑调研)已知函数 f(x)ln xax2bx(其中 a，b 为常数且 a0)在 x1 处取得 极值. (1)当 a1 时，求 f(x)的单调区间； (2)若 f(x)在(0，e上的最大值为 1，求 a 的值. 解 (1)因为 f(x)ln xax2bx，x0， 所以 f(x)1。

20、第第 7 讲讲 数学文化数学文化 1.(2019 张家界模拟)数的概念起源于大约 300 万年前的原始社会，如图 1 所示，当时的人类 用在绳子上打结的方法来记数，并以绳结的大小来表示猎物的大小，即“结绳计数”.图 2 所 示的是某个部落一段时间内所擒获猎物的数量，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，右 边绳子上的结每满 7 个即在左边的绳子上打一个结，请根据图 2 计算该部落在该段时间内所 擒获的猎物总数为( ) A.336 B.510 C.1 326 D.3 603 答案 B 解析 由题意知，图 2 中的“结绳计数”法是七进制计数法，所以图 2 中该部落在该段时间 内。