1、第第 3 讲讲 圆锥曲线中的最值圆锥曲线中的最值、范围范围、证明问题证明问题(大题大题) 热点一 最值问题 求圆锥曲线中三角形面积的最值的关键 (1)公式意识，把求三角形的面积转化为求距离、求角等； (2)方程思想，即引入参数，寻找关于参数的方程； (3)不等式意识，寻找关于参数的不等式，利用基本不等式等求最值. 例 1 (2019 邯郸模拟)已知椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，P 为 E 上 的一个动点，且|PF2|的最大值为 2 3，E 的离心率与椭圆 ：x 2 2 y2 81 的离心率相等. (1)求 E 的方程； (2)直线 l 与 E 交
2、于 M，N 两点(M，N 在 x 轴的同侧)，当 F1MF2N 时，求四边形 F1F2NM 面 积的最大值. 解 (1)依题意可知 ac2 3， c a 12 8， 解得 a2， c 3， 则 b2a2c21，故 E 的方程为x 2 4y 21. (2)延长 MF1交 E 于点 M， 由(1)可知 F1( 3，0)，F2( 3，0)， 设 M(x1，y1)，M(x2，y2)， 设 MF1的方程为 xmy 3， 由 xmy 3， x2 4y 21 得(m24)y22 3my10， 故 y1y22 3m m24， y1y2 1 m24. 设 F1M 与 F2N 的距离为 d， 四边形 F1F2NM
3、 的面积为 S， 则 S1 2(|F1M|F2N|)d 1 2(|F1M|F1M|)d 1 2|MM|d 2 MF M S ， 而 2 MF M S 1 2|F1F2|y1y2| 3 y1y224y1y2 4 3 m 21 m24 4 3 m21 3 m21 4 3 2 32， 当且仅当 m21 3 m21， 即 m 2时，等号成立， 故四边形 F1F2NM 面积的最大值为 2. 跟踪演练 1 (2019 焦作模拟)已知椭圆 C：x 2 2y 21，点 A 1，1 2 ，B(1,2). (1)若直线 l1与椭圆 C 交于 M，N 两点，且 A 为线段 MN 的中点，求直线 MN 的斜率； (2
4、)若直线 l2：y2xt(t0)与椭圆 C 交于 P，Q 两点，求BPQ 的面积的最大值. 解 (1)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 故x 2 1 2y 2 11，x 2 2 2y 2 21. 将两式相减，可得x 2 1 2y 2 1 x22 2y 2 20， 即x1x2x1x2 2 (y1y2)(y1y2)0， 因为 A 为线段 MN 的中点， 所以 x1x22，y1y21. 得(x1x2)(y1y2)0， 即y1y2 x1x21，故直线 MN 的斜率 kMN1. (2)联立 y2xt， x2 2y 21 可得 9x28tx(2t22)0， 由 0 可得 64t236(2t22)0
5、， 解得 0b0)的右焦点 F(1,0)，A，B，C 是椭圆 上任意三点，A，B 关于原点对称且满足 kAC kBC1 2. (1)求椭圆 E 的方程； (2)若斜率为 k 的直线与圆：x2y21 相切，与椭圆 E 相交于不同的两点 P，Q，求|PQ|4 3 5 时，k 的取值范围. 解 (1)由题可设 A(xA，yA)，B(xA，yA)，C(xC，yC)， 所以 x2A a2 y2A b21， x2C a2 y2C b21， 两式相减得xAxCxAxC a2 yAyCyAyC b2 0， yAyC xAxC yAyC xAxC b2 a2. 即 kAC kBCyAyC xAxC yAyC x
6、AxC b 2 a2 1 2， 所以 a22b2， 又 c1，a2b2c2，所以 a22，b21， 所以椭圆 E 的标准方程为x 2 2y 21. (2)设直线方程为 ykxm， 交椭圆于点 P(x1，y1)，Q(x2，y2). 联立方程 ykxm， x2 2y 21， 得(12k2)x24kmx2m220， 8(2k21m2)0，得 2k21m2， x1x2 4km 12k2，x1x2 2m22 12k2. 所以|PQ| 1k2x1x224x1x2 1k2 4km 12k2 28m 28 12k2 1k2 16k2m2 12k22 8m2812k2 12k22 1k2 16k2m2 12k2
7、2 8m216m2k2816k2 12k22 1k2 8m2816k2 12k22 ， 因为直线 ykxm 与圆 x2y21 相切， 所以 d |m| 1k21 1k 2|m|， 即 m21k2，代入 2k21m2，得 k0. 所以|PQ| 1k2 81k2816k2 12k22 1k2 8k2 12k222 2 k4k2 12k22， 因为|PQ|4 3 5 ， 所以 2 2 k4k2 12k22 4 3 5 ， 化简得 k4k260， 即(k23)(k22)0， 解得 k22 或 k23(舍). 所以 k 2或 k 2， 故 k 的取值范围为(， 2 2，). 跟踪演练 2 (2019 合
8、肥质检)已知抛物线 C： x22py(p0)上一点 M(m,9)到其焦点 F 的距离为 10. (1)求抛物线 C 的方程； (2)设过焦点 F 的直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点，且抛物线在 A，B 两点处的切线分别交 x 轴于 P，Q 两点，求|AP| |BQ|的取值范围. 解 (1)已知 M(m,9)到焦点 F 的距离为 10，则点 M 到准线的距离为 10. 抛物线的准线为 yp 2，9 p 210， 解得 p2，抛物线的方程为 x24y. (2)由已知可判断直线 l 的斜率存在，设斜率为 k， 因为 F(0,1)，则 l：ykx1. 设 A x1，x 2 1 4 ，B x2
9、，x 2 2 4 ，由 ykx1， x24y 消去 y，得 x24kx40， x1x24k，x1x24. 由于抛物线 C 也是函数 y1 4x 2的图象，且 y1 2x， 则 PA：yx 2 1 4 1 2x1(xx1). 令 y0，解得 x1 2x1， P 1 2x1，0 ，从而|AP| 1 4 x214x21. 同理可得，|BQ|1 4 x224x22， |AP| |BQ| 1 16 x1x224x214x22) 1 16 x1x22164x21x22x1x22 2 1k2. k20， |AP| |BQ|的取值范围为2，). 热点三 证明问题 圆锥曲线的证明问题，常表现为证明相等、定值、过
10、定点、点在曲线上等，一般是以直线与 圆锥曲线为载体，综合使用圆锥曲线的性质及位置关系进行论证. 例 3 (2019 南开模拟)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 1 2，以原点为圆心，以椭圆 的短半轴长为半径的圆与直线 xy 60 相切. (1)求椭圆 C 的方程； (2)过椭圆的右焦点 F 的直线 l1与椭圆交于 A，B，过 F 与 l1垂直的直线 l2与椭圆交于 C，D， 与 l3：x4 交于 P，求证：直线 PA，PF，PB 的斜率 kPA，kPF，kPB成等差数列. (1)解 由题意知 ec a 1 2， 所以a 2b2 a2 1 4， 即 a24 3b 2
11、又因为以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆 x2y2b2与直线 xy 60 相切， 所以圆心到直线的距离 d 6 2b 3， 所以 a24，b23， 故椭圆 C 的方程为x 2 4 y2 31. (2)证明 由题意，知当直线 l1的斜率存在且不为 0 时， 设直线 l1的方程为 yk(x1). 由 ykx1， x2 4 y2 31， 得(4k23)x28k2x4k2120. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 利用根与系数的关系，得 x1x2 8k2 4k23，x1x2 4k212 4k23 ， 由题意知直线 l2的斜率为1 k， 则直线 l2的方程为 y1 k(x1)， 令 x4，
12、得 P 点的坐标为 4，3 k ， kPAkPB y13 k x14 y23 k x24 kx11 x14 kx21 x24 3 k 1 x14 1 x24 k2x1x25x1x28 x1x24x1x216 3 k x1x28 x1x24x1x216 k 24k 212 4k23 5 8k2 4k238 4k212 4k23 4 8k2 4k2316 3 k 8k2 4k238 4k212 4k23 4 8k2 4k2316 k 0 361k2 3 k 24k224 361k2 2 k2kPF， 即 kPAkPB2kPF， 当直线 l1的斜率不存在时，kPAkPB0，kPF0，满足题意， 所以
13、 kPA，kPF，kPB成等差数列. 跟踪演练 3 (2019 深圳调研)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心在坐标原点 O，其右 焦点为 F(1,0)，且点 1，3 2 在椭圆 C 上. (1)求椭圆 C 的方程； (2)设椭圆的左、右顶点分别为 A，B，M 是椭圆上异于 A，B 的任意一点，直线 MF 交椭圆 C 于另一点 N，直线 MB 交直线 x4 于 Q 点，求证：A，N，Q 三点在同一条直线上. (1)解 方法一 设椭圆 C 的方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)， 一个焦点坐标为 F(1,0)， 另一个焦点坐标为(1,0)， 由椭圆定义可知， 2a112 3 20
14、 2 112 3 20 24， a2，b2a2c23， 椭圆 C 的方程为x 2 4 y2 31. 方法二 不妨设椭圆 C 的方程为x 2 m y2 n1(mn0). 一个焦点坐标为 F(1,0)，mn1， 又点 P 1，3 2 在椭圆 C 上， 1 m 9 4n1， 联立方程，解得 m4，n3， 椭圆 C 的方程为x 2 4 y2 31. (2)证明 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 可设直线 MN 的方程为 xmy1， 由方程组 xmy1， x2 4 y2 31 消去 x， 并整理，得(3m24)y26my90， (6m)236(3m24)0， y1y2 6m 3m24，y1y2
15、9 3m24， 直线 BM 的方程可表示为 y y1 x12(x2)， 将此方程与直线 x4 联立， 可求得点 Q 的坐标为 4， 2y1 x12 ， AN (x 22，y2)，AQ 6， 2y1 x12 6y2(x22)2y1 x12 6y2x122y1x22 x12 6y2my1122y1my212 my112 4my1y26y1y2 my11 4m 9 3m24 6 6m 3m24 my11 0， AN AQ ， 又向量AN 和AQ 有公共点 A， 故 A，N，Q 三点在同一条直线上. 真题体验 (2019 全国，理，21)已知点 A(2,0)，B(2,0)，动点 M(x，y)满足直线
16、AM 与 BM 的斜率之 积为1 2.记 M 的轨迹为曲线 C. (1)求 C 的方程，并说明 C 是什么曲线； (2)过坐标原点的直线交 C 于 P，Q 两点，点 P 在第一象限，PEx 轴，垂足为 E，连接 QE 并延长交 C 于点 G. 证明：PQG 是直角三角形； 求PQG 面积的最大值. (1)解 由题设得 y x2 y x2 1 2，化简得 x2 4 y2 21(|x|2)，所以 C 为中心在坐标原点，焦点 在 x 轴上的椭圆，不含左右顶点. (2)证明 设直线 PQ 的斜率为 k，则其方程为 ykx(k0). 由 ykx， x2 4 y2 21， 得 x 2 12k2 . 记 u
17、 2 12k2，则 P(u，uk)，Q(u，uk)，E(u,0). 于是直线 QG 的斜率为k 2，方程为 y k 2(xu). 由 yk 2xu， x2 4 y2 21， 得(2k2)x22uk2xk2u280. 设 G(xG，yG)，则u 和 xG是方程的解， 故 xGu3k 22 2k2 ，由此得 yG uk3 2k2. 从而直线 PG 的斜率为 uk3 2k2uk u3k22 2k2 u 1 k， 因为 kPQ kPG1. 所以 PQPG，即PQG 是直角三角形. 解 由得|PQ|2u1k2，|PG|2uk k 21 2k2 ，所以PQG 的面积 S1 2|PQ|PG| 8k1k2 1
18、2k22k2 8 1 kk 12 1 kk 2. 设 tk1 k，则由 k0 得 t2，当且仅当 k1 时取等号. 因为 S 8t 12t2在2， )上单调递减， 所以当 t2， 即 k1 时， S 取得最大值， 最大值为 16 9 . 因此，PQG 面积的最大值为16 9 . 押题预测 已知椭圆 W：x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 2 2 ，点 P( 2a， 3)，F1，F2分别是椭圆 W 的左、 右焦点，PF1F2为等腰三角形. (1)求椭圆 W 的方程； (2)过左焦点 F1作直线 l1交椭圆于 A， B 两点， 其中 A(0,1)， 另一条过 F1的直线 l2交椭圆于
19、C， D 两点(不与 A，B 重合)，且 D 点不与点(0，1)重合.过 F1作 x 轴的垂线分别交直线 AD，BC 于 E，G. 求 B 点坐标； 求证：|EF1|F1G|. 解 (1)由已知 ec a 2 2 ，a2b2c2，得 bc，a 2c， PF1F2为等腰三角形， |F1F2|F2P|， 则(2c)2( 2ac)2( 3)2， 代入 a 2c，解得 c1， a22，b21，椭圆 W 的方程为x 2 2y 21. (2)由题意可得直线 l1的方程为 yx1. 与椭圆方程联立，由 yx1， x2 2y 21， 可求 B 4 3， 1 3 . 当 l2与 x 轴垂直时，D，C 两点与 E
20、，G 两点重合， 由椭圆的对称性，|EF1|F1G|. 当 l2不与 x 轴垂直时， 设 C(x1，y1)，D(x2，y2)，l2的方程为 yk(x1)(k1). 由 ykx1， x2 2y 21 消去 y， 整理得(2k21)x24k2x2k220， 则 x1x2 4k2 2k21，x1x2 2k22 2k21. 由已知，x20， 则直线 AD 的方程为 y1y21 x2 x， 令 x1，得点 E 的纵坐标 yEx2y21 x2 . 把 y2k(x21)代入，得 yEx211k x2 . 由已知，x14 3， 则直线 BC 的方程为 y1 3 y11 3 x14 3 x4 3 ， 令 x1，
21、得点 G 的纵坐标 yGy1x11 3 x14 3 . 把 y1k(x11)代入，得 yGx11k1 3x14 . yEyGx211k x2 x11k1 3x14 1kx213x14x2x11 x2 3x14 1k2x1x23x1x24 x2 3x14 ， 把 x1x2 4k2 2k21， x1x22k 22 2k21代入到 2x1x23(x1x2)4 中， 2x1x23(x1x2)422k 22 2k213 4k2 2k21 4 0. 即 yEyG0，即|EF1|F1G|. A 组 专题通关 1.(2019 吉林调研)已知 A，B 为椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)的上、下顶点
22、，|AB|2，且离心率 为 3 2 . (1)求椭圆 E 的方程； (2)若点 P(x0， y0)(x00)为直线 y2 上任意一点， PA， PB 交椭圆于 C， D 两点， 求四边形 ACBD 面积的最大值. 解 (1)依题意|AB|2b2，则 b1， 又由 ec a 3 2 ， a2c21， 解得 a2， 故椭圆 E 的方程为x 2 4y 21. (2)设 C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(t,2)(不妨设 t0)， 则直线 PA 的方程为 y1 tx1， 代入椭圆方程化简得t 24 t2 x28 tx0， 解得 xA0，x1 8t t24， 同理 xB0，x2 24t t236，
23、 S四边形ACBDSACBSADB1 2|AB| |x2x1| 32t312t t440t2144 32 t12 t t2144 t2 40 32 t12 t t12 t 216， 令 ut12 t 4 3， 当且仅当 t2 3时，取等号， 则四边形 ACBD 面积为 g(u)32 u u216 32 u16 u ， 又 g(u)在4 3，)上单调递减， (SABCD)maxg(4 3)2 3. 2.已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的短轴长为 2，离心率为 3 2 . (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)若过点(3,0)的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M，N，O 为
24、坐标原点，求OM ON 的取值 范围. 解 (1)因为椭圆 C 的短轴长为 2， 所以 2b2，所以 b1， 又椭圆 C 的离心率为 3 2 ， 所以c a a2b2 a a21 a 3 2 ，解得 a2， 所以椭圆 C 的标准方程为x 2 4y 21. (2)由题意直线 l 的斜率存在，可设其方程为 yk(x3)，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 将 yk(x3)代入x 2 4y 21， 消去 y 可得(14k2)x224k2x36k240， 所以 (24k2)24(14k2)(36k24)0， 即 k20)的准线为直线 L：x1， 所以p 21，解得 p2. 所以抛物线 C 的方程为
25、y24x. (2)证明 易知点 K 的坐标为(1,0)， 据题意可设直线 l 的方程为 xmy1，A(x1，y1)，B(x2，y2). 联立 xmy1， y24x 整理得 y24my40， 所以 16m2160，得 m21， 故 y1y24m， y1y24. 因为点 A(x1，y1)关于 x 轴的对称点为 D， 所以 D(x1，y1). 则直线 BD 的方程为 yy2y2y1 x2x1(xx2)， 得 yy2 y2y1 my21my11(xx2)， 得 yy2 y2y1 my2y1(xx2)， 即 yy2 4 y2y1 xy 2 2 4 . 令 y0，得 0y2 4 y2y1 xy 2 2 4
26、 ， 得 xy 2 2 4y2 y2y1 4 y 2 2y 2 2y1y2 4 y1y2 4 4 41. 所以直线 BD 恒过定点(1,0). 所以点 F(1,0)在直线 BD 上， 所以不妨令DF tDB (t(0,1). 因为KF KD DF ， 所以KF KD tDB ， 所以KF KD t(KB KD )， 所以KF (1t)KD tKB . 所以存在实数 t(0,1)， 使得KF tKB(1t)KD ，命题得证. B 组 能力提高 4.(2019 泰安质检)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率 e 2 2 ，且经过点 2 2 ， 3 2 . (1)求椭圆 C 的
27、方程； (2)过点 P(2,0)且不与 x 轴重合的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，过 右焦点 F 的直线 AF，BF 分别交椭圆 C 于点 M，N，设AF FM ，BF FN，R，求 的取值范围. 解 (1)由题意可得 c a 2 2 ， 1 2a2 3 4b21， a2b2c2， 解得 a22，b21， 则椭圆方程为x 2 2y 21. (2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，设 M(x3，y3)， 则AF (1x 1，y1)，FM (x31，y3)， 由AF FM ，可得y1y3， 则 y1 y3， 当 AM 与 x 轴不垂直时，直线 AM 的
28、方程为 y y1 x11(x1)，即 x x11yy1 y1 ， 代入曲线 C 的方程x 2 2y 21， 整理可得(32x1)y22y1(x11)yy210， y1y3 y21 32x1， y1 y332x1， 当 AM 与 x 轴垂直时，A 点横坐标为 x11，1，显然 32x1也成立， 32x1，同理可得 32x2， 由题意可知，直线 l 的斜率存在且不为 0， 设直线 l 的方程为 yk(x2)，k0， 联立 ykx2， x2 2y 21， 消去 y 整理得(2k21)x28k2x8k220， 由 (8k2)24(2k21)(8k22)0， 解得 00)，其中长轴长是短轴长的 2倍，过
29、焦点且垂直 于 x 轴的直线被椭圆截得的弦长为 2 3. (1)求椭圆 E 的方程； (2)点 P 是椭圆 E 上动点，且横坐标大于 2，点 B，C 在 y 轴上，(x1)2y21 内切于PBC， 试判断点 P 的横坐标为何值时PBC 的面积 S 最小. 解 (1)由已知 a 2b，b 2 a 3， 解得 a2 3，b 6， 故所求椭圆方程为x 2 12 y2 61. (2)设 P(x0，y0)(2n， 则直线 PB 的方程为 lPB：ymy0m x0 x， 即(y0m)xx0yx0m0， 又圆心(1,0)到直线 PB 的距离为 1， 即 |y0mx0m| y0m2x201， 化简得(x02)
30、m22y0mx00， 同理(x02)n22y0nx00， 所以 m，n 是方程(x02)x22y0xx00 的两个根， 所以 mn2y0 x02，mn x0 x02， 则(mn)24x 2 04y 2 08x0 x022 ， 因为 P(x0，y0)是椭圆上的点， 所以 y206 1x 2 0 12 ， 则(mn)22x 2 08x024 x022 ， 所以 S21 4 2x208x024 x022 x20 x 2 04x012 2x022 x20 x02 28 2x022 x20， 令 x02t(02( 31)， 可知当 t(0,2( 31)时，f(t)0， 所以函数 f(t)在(0,2( 31)上单调递减， 当 t2( 31)即点 P 的横坐标为 x02 3时，PBC 的面积 S 最小.
