1、回扣回扣 6 概率与统计概率与统计 1.分类加法计数原理 完成一件事， 可以有n类办法， 在第一类办法中有m1种方法， 在第二类办法中有m2种方法， ， 在第 n 类办法中有 mn种方法，那么完成这件事共有 Nm1m2mn种方法(也称加法原 理). 2.分步乘法计数原理 完成一件事需要经过 n 个步骤， 缺一不可， 做第一步有 m1种方法， 做第二步有 m2种方法， ， 做第 n 步有 mn种方法，那么完成这件事共有 Nm1m2mn种方法(也称乘法原理). 3.排列 (1)排列的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的
2、一个排列. (2)排列数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同排列的个数叫做从 n 个 不同元素中取出 m 个元素的排列数，用 Am n表示. (3)排列数公式：Am nn(n1)(n2)(nm1). (4)全排列： n 个不同元素全部取出的一个排列， 叫做 n 个元素的一个全排列， Annn (n1) (n 2) 2 1n！.排列数公式写成阶乘的形式为 Am n n！ nm！，这里规定 0！1. 4.组合 (1)组合的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素合成一组，叫做从 n 个不同元素中取 出 m 个元素的一个组合. (2)组合数的定义：从 n 个不同元素中
3、取出 m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用 Cm n表示. (3)组合数的计算公式：Cm nA m n Am m n！ m！nm！ nn1n2nm1 m！ ，由于 0！1， 所以 C0n1. (4)组合数的性质：Cm nC nm n ；Cm n1C m nC m1 n . 5.二项式定理 (ab)nC0nanC1nan 1b1Ck na nkbkCn nb n(nN*). 这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式，其中的系数 Ckn (k0,1,2，n)叫做二项式系数.式中的 Cknan kbk 叫做二项展开式的通项，
4、用 Tk1表示， 即展开式的第 k1 项：Tk1Cknan kbk. 6.二项展开式形式上的特点 (1)项数为 n1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a 与 b 的指数的和为 n. (3)字母 a 按降幂排列，从第一项开始，次数由 n 逐项减 1 直到零；字母 b 按升幂排列，从第 一项起，次数由零逐项增 1 直到 n. (4)二项式的系数从 C0n，C1n，一直到 Cn 1 n ，Cnn. 7.二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 Cm nC nm n . (2)增减性与最大值：二项式系数 Ckn，当 kn1 2 时，二 项式系数是递减
5、的. 当 n 是偶数时，那么其展开式中间一项 +1 2 n T的二项式系数最大. 当 n 是奇数时，那么其展开式中间两项 1+1 2 n T 和 1+1 2 n T 的二项式系数相等且最大. (3)各二项式系数的和 (ab)n的展开式的各个二项式系数的和等于 2n， 即 C0nC1nC2nCknCnn2n. 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即 C1nC3nC5n C0nC2nC4n2n 1. 8.概率的计算公式 (1)古典概型的概率计算公式 P(A)事件A包含的基本事件数m 基本事件总数n . (2)互斥事件的概率计算公式 P(AB)P(A)P(B). (3)对
6、立事件的概率计算公式 P( A )1P(A). (4)几何概型的概率计算公式 P(A) 构成事件A的区域长度面积或体积 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积. (5)条件概率公式 P(B|A)PAB PA . 9.抽样方法 简单随机抽样、分层抽样、系统抽样. (1)从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本，则每个个体被抽到的概率都为n N. (2)分层抽样实际上就是按比例抽样， 即按各层个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量. 10.统计中四个数据特征 (1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据. (2)中位数：在样本数据中，将数据按从大到小(或从小到大)排列，位于最中间的数据
7、.如果数 据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数. (3)平均数：样本数据的算术平均数， 即 x 1 n(x1x2xn). (4)方差与标准差 方差：s21 n(x1 x ) 2(x 2 x ) 2(x n x ) 2. 标准差： s 1 nx1 x 2x 2 x 2x n x 2. 11.离散型随机变量 (1)离散型随机变量的分布列的两个性质 pi0(i1,2，n)；p1p2pn1. (2)期望公式 E(X)x1p1x2p2xnpn. (3)期望的性质 E(aXb)aE(X)b； 若 XB(n，p)，则 E(X)np； 若 X 服从两点分布，则 E(X)p. (4)方差公式 D(
8、X)x1E(X)2 p1x2E(X)2 p2xnE(X)2 pn，标准差为 DX. (5)方差的性质 D(aXb)a2D(X)； 若 XB(n，p)，则 D(X)np(1p)； 若 X 服从两点分布，则 D(X)p(1p). (6)独立事件同时发生的概率计算公式 P(AB)P(A)P(B). (7)独立重复试验的概率计算公式 P(Xk)Cknpk(1p)n k，k0,1,2，n. 12.线性回归 (1)线性回归方程y b xa 一定过样本点的中心( x ， y )， 其中 b i1 n xi x yi y i1 n xi x 2 ， a y b x . (2)相关系数 r 具有如下性质： |r
9、|1； |r|越接近于 1，x，y 的线性相关程度越高； |r|越接近于 0，x，y 的线性相关程度越弱. 13.独立性检验 利用随机变量 K2 nadbc2 abcdacbd来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立 性检验.如果 K2的观测值 k 越大，说明“两个分类变量有关系”的可能性越大. 14.正态分布 如果随机变量 X 服从正态分布，则记为 XN(，2). 满足正态分布的三个基本概率的值是 P(X)0.682 7； P(2X2)0.954 5； P(3X3)0.997 3. 1.关于两个计数原理应用的注意事项 (1)分类加法计数原理和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种
10、数的问题，区 别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方 法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个 步骤都完成了才算完成这件事. (2)混合问题一般是先分类再分步. (3)分类时标准要明确，做到不重复不遗漏. (4)要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律. 2.对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑： (1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素. (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置. (3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减
11、去不合要求的排列数或组合数. 3.排列、组合问题的求解方法与技巧 (1)特殊元素优先安排.(2)合理分类与准确分步.(3)排列、 组合混合问题先选后排.(4)相邻问题捆 绑处理.(5)不相邻问题插空处理.(6)定序问题排除法处理.(7)分排问题直排处理.(8)“小集团” 排列问题先整体后局部.(9)构造模型.(10)正难则反，等价条件. 4.二项式定理应用时的注意点 (1)区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细. 项的系数与 a，b 有关，可正可负，二项式系数只与 n 有关，恒为正. (2)运用通项求展开式的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出 k，再求所需的某项；有时 需先求 n，计
12、算时要注意 n 和 k 的取值范围及它们之间的大小关系. (3)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为 0， 1. (4)在化简求值时，注意二项式定理的逆用，要用整体思想看待 a，b. 5.应用互斥事件的概率加法公式时，一定要注意首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各 事件分别发生的概率，再求和. 6.正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互 斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件. 7.混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率， 导致样本数据的频率求错. 8.要注意概率 P(A|B)与 P(AB)的区别 (1)在 P(A|B)中，事件 A，B 发生有时间上的差异，B 先 A 后；在 P(AB)中，事件 A，B 同时发 生. (2)样本空间不同，在 P(A|B)中，事件 B 成为样本空间；在 P(AB)中，样本空间仍为 ，因而 有 P(A|B)P(AB). 9.易忘判定随机变量是否服从二项分布，盲目使用二项分布的期望和方差公式计算致误. 10.涉及求分布列时，要注意区分是二项分布还是超几何分布.
