1、(五五)解析几何解析几何 1.(2019 成都诊断)已知 aR 且为常数，圆 C：x22xy22ay0，过圆 C 内一点(1,2)的直 线 l 与圆 C 相交于 A， B 两点， 当弦 AB 最短时， 直线 l 的方程为 2xy0， 则 a 的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案 B 解析 圆 C：x22xy22ay0， 化简为(x1)2(ya)2a21， 圆心坐标为 C(1，a)，半径为 a21. 如图， 由题意可得，当弦 AB 最短时，过圆心与点(1,2)的直线与直线 2xy0 垂直. 则 a2 11 1 2，即 a3. 2.(2019 毛坦厂中学联考)已知 F1，F2两点是中
2、心为原点的双曲线 C 的焦点，F1(0,5)，P 是该 双曲线上一点，|PF1|PF2|6，则该双曲线的渐近线为( ) A.3x 5y0 B.5x 3y0 C.4x 3y0 D.3x 4y0 答案 D 解析 由题意知，该双曲线焦点在 y 轴上， c5,2a6，即 a3， b c2a24， 则双曲线 C 的渐近线方程为 y 3 4x，即 3x 4y0. 3.(2019 抚顺模拟)已知斜率为1 的直线过抛物线 y22px(p0)的焦点， 且与该抛物线交于 A， B 两点，若线段 AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( ) A.x2 B.x1 C.x2 D.x1 答案 D 解析 由题意，
3、直线 AB：yxp 2并代入 y 22px， 并整理得：y22pyp20， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 y1y22p，y1y2 2 p2，解得 p2. 所以该抛物线的准线方程为 xp 21. 4.(2019 南昌适应性测试)若椭圆 ：x 2 a2 y2 b21 (ab0)的离心率为 1 3，A，F 分别为椭圆的左、 右焦点， B 为右顶点， 过右焦点 F 作垂直于 x 轴的直线交椭圆于点 C， 则 cosACB 等于( ) A.3 5 B. 5 7 C. 3 2 7 D. 7 25 答案 D 解析 因为椭圆的离心率为1 3，所以 a3c，b2 2c， 因为过右焦点 F 作垂直
4、于 x 轴的直线交椭圆于点 C， 所以得点 C c， b2 a ，即 C c， 8 3c ， 从而 A(c,0)，B(3c,0)， 在ABC 中，|AC|10 3 c，|BC|10 3 c，|AB|4c， cosACB 100 9 c2216c2 100 9 c22 7 25. 5.设抛物线 y24x 的焦点为 F，过点 M( 5，0)的直线与抛物线相交于 A，B 两点，与抛物线 的准线相交于 C 点，|BF|3，则BCF 与ACF 的面积之比S BCF SACF等于( ) A.3 4 B. 4 5 C. 5 6 D. 6 7 答案 D 解析 设点 A 在第一象限，点 B 在第四象限，A(x1
5、，y1)，B(x2，y2)， 直线 AB 的方程为 xmy 5. 由 y24x 得 p2， 因为|BF|3x2p 2x21， 所以 x22，则 y224x2428， 所以 y22 2， 由 y24x， xmy 5， 得 y24my4 50， 由根与系数的关系，得 y1y24 5， 所以 y1 10， 由 y214x1，得 x15 2. 过点 A 作 AA垂直于准线 x1，垂足为 A(图略)， 过点 B 作 BB垂直于准线 x1，垂足为 B， 易知CBBCAA， 所以S BCF SACF |BC| |AC| |BB| |AA|. 又|BB|BF|3，|AA|x1p 2 5 21 7 2， 所以S
6、 BCF SACF 3 7 2 6 7. 6.(2019 凯里模拟)已知 F 是椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点，A 是椭圆短轴的一个端点，若 F 为过 AF 的椭圆的弦的三等分点，则椭圆的离心率为( ) A.1 3 B. 3 3 C.1 2 D. 3 2 答案 B 解析 延长 AF 交椭圆于点 B， 设椭圆左焦点为 F，连接 AF，BF. 根据题意|AF| b2c2a，|AF|2|FB|， 所以|FB|a 2， 根据椭圆定义|BF|BF|2a，所以|BF|3a 2 . 在AFF中，由余弦定理得 cosFAF|FA| 2|FA|2|FF|2 2|FA| |FA| 2a 24c2
7、 2a2 ， 在AFB 中，由余弦定理得 cosFAB|FA| 2|AB|2|BF|2 2|FA| |AB| 1 3， 所以2a 24c2 2a2 1 3，解得 a 3c， 所以椭圆离心率为 ec a 3 3 . 7.(2019 凯里模拟)已知 A 为双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的右顶点，P 为双曲线右支上一点， 若点 P 关于双曲线中心 O 的对称点 Q 满足 kAP kAQ1 4，则双曲线的离心率为( ) A. 51 B. 5 2 C. 5 D. 51 答案 B 解析 设 P(x，y)，Q(x，y)，A(a,0)， 因为 kAP kAQ1 4， 所以y0 xa y0 xa
8、 y0 xa y0 xa y2 x2a2 1 4， 因为x 2 a2 y2 b21， 所以 y2b 2 a2(x 2a2)， 所以 b2 a2x 2a2 x2a2 1 4， 所以 a2b，所以 a24b24(c2a2)， 所以 5a24c2，所以 e 5 2 . 8.(2019 汉中质检)已知抛物线 y28x 的焦点为 F，过点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，交 准线于点 C，若|BC| 2|BF|，则|AB|等于( ) A.12 B.14 C.16 D.28 答案 C 解析 抛物线 y28x，p4，分别过 A，B 作准线的垂线，垂足为 M，N，如图： 由抛物线的定义可知：|AM|AF|
9、，|BN|BF|， BNx 轴，|BN| p |BC| |CF|， |BC| 2|BF|， 有|BF| p 2|BF| 2|BF|BF|， 解得|BF|84 2. |CF|CB|BF|4 2. AMx 轴，所以 p |AM| |CF| |CA|， p |AF| 4 2 4 2|AF|， |AF|84 2，所以|AB|16. 9.已知点 P 在抛物线 y2x 上，点 Q 在圆 x1 2 2(y4)21 上，则|PQ|的最小值为( ) A.3 5 2 1 B.3 3 2 1 C.2 31 D. 101 答案 A 解析 设抛物线上点的坐标为 P(m2，m). 圆心 1 2，4 与抛物线上的点的距离的
10、平方 d2 m21 2 2(m4)2m42m28m65 4 . 令 f(m)m42m28m65 4 ， 则 f(m)4(m1)(m2m2)， 由导函数与原函数的关系可得函数 f(m)在区间(，1)上单调递减，在区间(1，)上单调 递增，函数 f(m)的最小值为 f(1)45 4 ，由几何关系可得|PQ|的最小值为 45 4 13 5 2 1. 10.(2019 东北三省三校模拟)已知直线 y2xm 与椭圆 C：x 2 5y 21 相交于 A，B 两点，O 为坐标原点.当AOB 的面积取得最大值时，|AB|等于( ) A.5 42 21 B. 210 21 C.2 42 7 D.3 42 7 答
11、案 A 解析 由 y2xm， x2 5y 21， 得 21x220mx5m250. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1x220m 21 ，x1x25m 25 21 ， |AB| 122x1x224x1x2 5 2021m2 21 10 21m 2 21 . 又 O 到直线 AB 的距离 d|m| 5， 则AOB 的面积 S1 2d |AB| 5 m221m2 21 5m 221m2 2 21 5 2 ， 当且仅当 m221m2，即 m221 2 时， AOB 的面积取得最大值. 此时|AB|10 21m 2 21 5 42 21 . 11.(2017 全国)设 A，B 是椭圆
12、C：x 2 3 y2 m1 长轴的两个端点.若 C 上存在点 M 满足AMB 120 ，则 m 的取值范围是( ) A.(0,19，) B.(0， 39，) C.(0,14，) D.(0， 34，) 答案 A 解析 方法一 设椭圆焦点在 x 轴上， 则 00，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，P 为双曲线右支上一点(异 于右顶点)，PF1F2的内切圆与 x 轴切于点(2,0).过 F2作直线 l 与双曲线交于 A，B 两点，若 使|AB|b2的直线 l 恰有三条，则双曲线离心率的取值范围是( ) A.(1， 2) B.(1,2) C.( 2，) D.(2，) 答案 C 解析 |F1F2|2
13、c(c2a2b2)， 设PF1F2的内切圆分别与 PF1，F1F2，PF2切于点 G，H，I， 则|PG|PI|，|F1G|F1H|，|F2H|F2I|. 由双曲线的定义知 2a|PF1|PF2|F1G|F2I|F1H|F2H|， 又|F1H|F2H|F1F2|2c， 故|F1H|ca，|F2H|ca， 所以 H(a,0)，即 a2. 注意到这样的事实： 若直线 l 与双曲线的右支交于 A，B 两点， 则当 lx 轴时，|AB|有最小值2b 2 a b2； 若直线 l 与双曲线的两支各交于一点(A，B 两点)， 则当 ly 轴时，|AB|有最小值 2a，于是， 由题意得 b22a4，b2，c
14、a2b22 2， 所以双曲线的离心率 ec a 2. 13.(2019 靖远模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C：y 2 a2 x2 b21(a0，b0)的一条渐近线 与圆(x2)2(y1)21 相切，则b a_. 答案 3 4 解析 双曲线 C 的渐近线方程为 by ax0， 画出图象(图略)可知， 与圆相切的只可能是 byax0， 由 |b2a| a2b21， 得 3a4b，故b a 3 4. 14.(2019 上海市交大附中模拟)过直线 l：xy2 上任一点 P 向圆 C：x2y21 作两条切线， 切点分别为 A，B，线段 AB 的中点为 Q，则点 Q 到直线 l 的距离的取值
15、范围为_. 答案 2 2 ， 2 解析 设点P(x0,2x0)， 则直线AB的方程为x0x(2x0)y1(注： 由圆x2y2r2外一点E(x0， y0)向该圆引两条切线，切点分别为 F，G，则直线 FG 的方程是 x0xy0yr2)，注意到直线 AB： x0x(2x0)y1， 即 x0(xy)(2y1)0， 直线 xy0 与 2y10 的交点为 N 1 2， 1 2 . 又OQ QN 0，因此点 Q 的轨迹是以 ON 为直径的圆(除去原点)，其中该圆的圆心坐标是 1 4， 1 4 ， 半径是1 2|ON| 2 4 .又线段 ON 的中点 1 4， 1 4 到直线 xy20 的距离等于 1 4
16、1 42 2 3 2 4 ，因此点 Q 到直线 l 的距离的取值范围是 3 2 4 2 4 ，3 2 4 2 4 2 2 ， 2 . 15.(2019 沈阳郊联体模拟)已知椭圆x 2 4 y2 31 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1的直线 l1 与 过 F2的直线 l2交于点 M， 设 M 的坐标为(x0， y0)， 若 l1l2， 则下列结论序号正确的有_. x 2 0 4 y20 31； x0 4 y0 31. 答案 解析 F1(1,0)，F2(1,0)， 因为 l1l2，MF1 MF2 0， 所以(1x0)(1x0)(y0)(y0)0， 即 x20y201， M 在圆 x2y21
17、 上，它在椭圆的内部， 故x 2 0 4 y20 31， O 在直线x 4 y 31 的下方， 故圆 x2y21 在其下方，即x0 4 y0 3x20y201，故成立. 16.(2019 成都诊断)已知 F 为抛物线 C：x24y 的焦点，过点 F 的直线 l 与抛物线 C 相交于不 同的两点 A，B，抛物线 C 在 A，B 两点处的切线分别是 l1，l2，且 l1，l2相交于点 P，则|PF| 32 |AB|的最小值是_. 答案 6 解析 设直线 l 的方程为： ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2). 联立 ykx1， x24y， 化为 x24kx40， 可得 x1x24k，x1x2
18、4， |AB|y1y2pk(x1x2)44k24. 对 x24y 两边求导可得：y1 2x， 可得切线 PA 的方程为 yy1x1 2(xx1)， 切线 PB 的方程为 yy2x2 2(xx2)， 联立解得 x1 2(x1x2)2k，y 1 4x1x21. P(2k，1). |PF|4k24. |PF| 32 |AB| 4k 24 32 4k24， 令 4k24t2. 则|PF| 32 |AB|t 32 t2 f(t)， f(t)164 t3 t4t 24t16 t3 ， 当 t4，f(t)0；2t4，f(t)0， 可得 t4 时，函数 f(t)取得极小值即最小值 f(4)6. 当且仅当 k 3时取等号.
