1、 70 分分 解答题标准练解答题标准练(一一) 1.(2019 广州模拟)已知an是等差数列，且 lg a10，lg a41. (1)求数列an的通项公式； (2)若 a1，ak，a6是等比数列bn的前 3 项，求 k 的值及数列anbn的前 n 项和. 解 (1)数列an是等差数列，设公差为 d， 且 lg a10，lg a41. 则 a11， a13d10， 解得 d3， 所以 an13(n1)3n2. (2)若 a1，ak，a6是等比数列bn的前 3 项， 则 a2ka1 a6， 根据等差数列的通项公式得到 ak3k2， 代入上式解得 k2；a1，a2，a6是等比数列bn的前 3 项，a
2、11，a24， 所以等比数列bn的公比为 q4. 由等比数列的通项公式得到 bn4n 1. 则 anbn3n24n 1， 故 Sn(11)(441)(3n24n 1) n3n1 2 4 n1 41 3 2n 21 2n 1 3(4 n1). 2.(2019 马鞍山质检)如图，半圆柱 OO 中，平面 ABBA过上、下底面的圆心 O，O， 点 C，D 分别在半圆弧 AB，AB上，且.ACBD (1)求证：CD平面 ABBA； (2)若 2ACABAA，求二面角 CADB 的余弦值. (1)证明 如图，取AB的中点 M， OO平面 ABC， OA，OM，OO两两垂直， 以 O 为坐标原点，OA，OM
3、，OO所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间 直角坐标系 Oxyz，连接 OC， 设 OA1，AAt，AOC(00， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， y1y28tm 4t29，y1y2 4m236 4t29 . |AB| 1t2|y1y2| 1t2 y1y224y1y2 1t2 12 5 4t29 12 5 4 1t2 5 1t2 12 5 4 5 3， 当且仅当 4 1t2 5 1t2， 即 t21 4时等号成立. 此时|m| 5，|AB|max3， 又SAOB1 22|AB|AB|3， 当|m| 5，|t|1 2时，AOB 的面积最大，最大值为 3. 4.(2019 山东师范大
4、学附属中学模拟)某读书协会共有 1 200 人，现收集了该协会 20 名成员每 周 的 课 外 阅 读 时 间 ( 分 钟 ) ， 其 中 某 一 周 的 数 据 记 录 如 下 ： 75,60,35,100,90,50,85,170,65,70,125,75,70,85,155,110,75,130,80,100.对这 20 个数据按组距 30 进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计图表：阅读时间分组统计表(设阅读时间 为 x 分钟). 组别 时间分组 频数 男性人数 女性人数 A 30x0， f(x)0.故 f(x)在区间(0，)上单调递增， 无单调递减区间. (2)f(x)ln
5、x1 x1ag(x)1a， 由(1)可知 g(x)在区间1，)上单调递增， 则 g(x)g(1)1， 即 f(x)在区间1，)上单调递增，且 f(1)2a， 当 a2 时，f(x)0， f(x)在区间1，)上单调递增， f(x)f(1)0 满足条件； 当 a2 时，设 h(x)ln x1 x1a(x1)， 则 h(x)1 x 1 x2 x1 x2 0(x1)， h(x)在区间1，)上单调递增， 且 h(1)2a0， x01，ea，使得 h(x0)0， 当 x1，x0)时，h(x)1 时，f(x)(x1)ln x2(x1)0， 即1 2ln x x1 x1， 当 0 1 x1 1 x1 ln x
6、 2 tan 4 . 综上，当 0， 4 时，1 2ln(tan )tan 4 . 6.在极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 6sin ，点 P 的极坐标为 2， 4 ，以极点为坐 标原点，极轴为 x 轴正半轴，建立平面直角坐标系. (1)求曲线 C 的直角坐标方程和点 P 的直角坐标； (2)过点 P 的直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，若|PA|2|PB|，求|AB|的值. 解 (1)由 6sin ，得 26sin ， 又 xcos ，ysin ， x2y26y， 即曲线 C 的直角坐标方程为 x2(y3)29， 点 P 的直角坐标为(1,1). (2)设过点 P 的直线 l
7、的参数方程是 x1tcos ， y1tsin (t 为参数)， 将其代入 x2y26y， 得 t22(cos 2sin )t40， 设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t2， t1t24， |PA|2|PB|，t12t2， t12 2，t2 2或 t12 2，t2 2， |AB|t1t2|3 2. 7.已知函数 f(x)|x1|x2|. (1)解不等式：f(x)x3； (2)若不等式|m| f(x)|m2|3m2|对任意 mR 恒成立，求 x 的取值范围. 解 (1)由 x2， 2x3x3， 得 2x6； 由 1x2， x12xx3， 得 1x2； 由 x1， 32xx3， 得 0x1. 由可得 x0,6. (2)当 m0 时，00，xR； 当 m0 时， 即 f(x) 2 m1 2 m3 对mR，m0 恒成立， 2 m1 2 m3 2 m1 2 m3 4， f(x)|x1|x2|4， 当 x2 时，2x34，解得 x7 2； 当 1x2 时，x12x4，解得 x； 当 x1 时，32x4，解得 x1 2， 综上，x 的取值范围为 ，1 2 7 2， .
