1、北师大版数学九年级上期中测试卷一选择题（共15小题，满分30分，每小题2分）1方程x22x=0的解是（）A0B2C0或2D0或2【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可【解答】解：x22x=0，x（x2）=0，x=0，x2=0，x1=0，x2=2，故选：D【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键2关于x的一元二次方程 kx2+2x1=0有两个不相等实数根，则k 的取值范围是（）Ak1Bk1Ck0Dk1且k0【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k0且=224k（1）0，然后解两个不等式求出它们的公共部分即可【解答】解：根
2、据题意得k0且=224k（1）0，所以k1且k0故选：D【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与=b24ac有如下关系：当0时，方程有两个不相等的两个实数根；当=0时，方程有两个相等的两个实数根；当0时，方程无实数根3下列说法正确的是（）A邻边相等的平行四边形是矩形B一组邻边相等的矩形是正方形C一组邻边互相垂直的四边形是菱形D一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形【分析】A、由邻边相等的平行四边形是菱形，可得出结论A不正确；B、由一组邻边相等的矩形是正方形，可得出结论B正确；C、由选项C的论述结合菱形的判定定理，可得出结论C不正确；D、由一组对边平
3、行且相等的四边形是平行四边形，可得出结论D不正确此题得解【解答】解：A、邻边相等的平行四边形是菱形，结论A不正确；B、一组邻边相等的矩形是正方形，结论B正确；C、由一组邻边互相垂直，无法证出该四边形为菱形，结论C不正确；D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，结论D不正确故选：B【点评】本题考查了菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定以及平行四边形的判定，牢记平行四边形、菱形、矩形及正方形的各判定定理是解题的关键4在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同小张通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数很可能
4、是（）A6B16C18D24【分析】先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数频率=频数计算白球的个数，即可求出答案【解答】解：摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，摸到白球的频率为115%45%=40%，故口袋中白色球的个数可能是4040%=16个故选：B【点评】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比5如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CEBD，DEAC，若AC=4，则四边形OCED的周长为（）A4B8C10D12【分析】由四边形ABCD为矩形，得到对角线互相平分且相等，得到OD=OC，再利用两对边平
5、行的四边形为平行四边形得到四边形DECO为平行四边形，利用邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形DECO为菱形，根据AC的长求出OC的长，即可确定出其周长【解答】解：四边形ABCD为矩形，OA=OC，OB=OD，且AC=BD，OA=OB=OC=OD=2，CEBD，DEAC，四边形DECO为平行四边形，OD=OC，四边形DECO为菱形，OD=DE=EC=OC=2，则四边形OCED的周长为2+2+2+2=8，故选：B【点评】此题考查了矩形的性质，以及菱形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键6已知a是一元二次方程x23x5=0的较小的根，则下面对a的估计正确的是（）A2a1B2a3C3a4D
6、4a5【分析】利用公式法表示出方程的根，估算即可【解答】解：一元二次方程x23x5=0，a=1，b=3，c=5，=9+20=29，x=，则较小的根a=，即2a1，故选：A【点评】此题考查了解一元二次方程公式法，以及估算，熟练掌握运算法则是解本题的关键7方程（x+1）（x3）=0的根是（）Ax=1Bx=3Cx1=1，x2=3Dx1=1，x2=3【分析】根据已知得出两个一元一次方程，求出方程的解即可【解答】解：（x+1）（x3）=0，x+1=0，x3=0，x1=1，x2=3，故选：D【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键8在一次酒会上，每两人都
7、只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（）A9人B10人C11人D12人【分析】设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯55次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论【解答】解：设参加酒会的人数为x人，根据题意得： x（x1）=55，整理，得：x2x110=0，解得：x1=11，x2=10（不合题意，舍去）答：参加酒会的人数为11人故选：C【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键9如图，在ABCD中，AEBC于点E，AFCD于点F，若AE=20，CE=15，CF=7，AF=24，则BE的长为（）A10BC1
8、5D【分析】先证明AEBAFD，根据相似三角形的性质可得=，设BE=5x，得到DF=6x，AB=7+6x，在RtABE中，根据勾股定理即可求解【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，B=D，AEBC，AFCD，AEB=AFD=90，AEBAFD，=，设BE=5x，则DF=6x，AB=7+6x，在ABE中，（7+6x）2=（5x）2+202，11x2+84x351=0，解得x1=3，x2=（舍去），BE=5x=15故选：C【点评】考查了平行四边形的性质，勾股定理，关键是得到BC：CD=6：5，设出未知数列出方程求解即可10用配方法方程x2+6x5=0时，变形正确的方程为（）A（x+3）2=14B
9、（x3）2=14C（x+6）2=4D（x6）2=4【分析】方程常数项移到右边，两边加上9，利用完全平方公式化简得到结果，即可作出判断【解答】解：方程移项得：x2+6x=5，配方得：x2+6x+9=14，即（x+3）2=14，故选：A【点评】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键11某种童鞋原价为100元，由于店面转让要清仓，经过连续两次降价处理，现以64元销售，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（）A19%B20%C21%D22%【分析】此题可设每次降价的百分率为x，第一次降价后价格变为100（1x），第二次在第一次降价后的基础上再降，变为100（x1）
10、（x1），即100（x1）2元，从而列出方程，求出答案【解答】解：设每次降价的百分率为x，第二次降价后价格变为100（x1）2元，根据题意，得100（x1）2=64即（x1）2=0.64解之，得x1=1.8，x2=0.2因x=1.8不合题意，故舍去，所以x=0.2即每次降价的百分率为0.2，即20%故选：B【点评】此题的关键在于分析降价后的价格，要注意降价的基础，另外还要注意解的取舍12如图，点A（1，1），B（3，1），C（3，1），D（1，1）构成正方形ABCD，以AB为边做等边ABE，则ADE和点E的坐标分别为（）A15和（2，1+）B75和（2，1）C15和（2，1+）或75和（2，1
11、）D15和（2，1+）或75和（2，1）【分析】分为两种情况：当ABE在正方形ABCD外时，过E作EMAB于M，根据等边三角形性质求出AM、AE，根据勾股定理求出EM，即可得出E的坐标，求出EAD，根据三角形的内角和定理和等腰三角形性质即可求出ADE；当等边ABE在正方形ABCD内时，同法求出此时E的坐标，求出DAE，根据三角形的内角和定理和等腰三角形性质即可求出ADE【解答】解：分为两种情况：ABE在正方形ABCD外时，如图，过E作EMAB于M，等边三角形ABE，AE=AB=31=2，AM=1，由勾股定理得：AE2=AM2+EM2，22=12+EM2，EM=，A（1，1），E的坐标是（2，1
12、+），等边ABE和正方形ABCD，DAB=90，EAB=60，AD=AE，ADE=AED=（1809060）=15；同理当ABE在正方形ABCD内时，同法求出E的坐标是（2，+1），DAE=9060=30，AD=AE，ADE=AED=（18030）=75；ADE和点E的坐标分别为15，（2，1+）或75，D（2，+1），故选：D【点评】本题考查了等边三角形性质、勾股定理、等腰三角形性质、正方形性质、坐标与图形性质、三角形的内角和定理等知识点的运用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，本题综合性比较强，有一定的难度，但题型较好，注意要分类讨论啊13一个不透明的袋子中有1个红球、2个黄球
13、，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球后放回，再随机摸出1个球，两次摸出的球都是黄球的概率（）ABCD【分析】先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次摸出的球都是黄球的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两次摸出的球都是黄球的结果数为4，所以两次摸出的球都是黄球的概率为故选：D【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率14如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AEBD，垂足为E，AE=3，ED=3BE，则AB的值为（）A6B5C2D
14、3【分析】由在矩形ABCD中，AEBD于E，BE：ED=1：3，易证得OAB是等边三角形，继而求得BAE的度数，由OAB是等边三角形，求出ADE的度数，又由AE=3，即可求得AB的长【解答】解：四边形ABCD是矩形，OB=OD，OA=OC，AC=BD，OA=OB，BE：ED=1：3，BE：OB=1：2，AEBD，AB=OA，OA=AB=OB，即OAB是等边三角形，ABD=60，AEBD，AE=3，AB=2，故选：C【点评】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及含30角的直角三角形的性质，结合已知条件和等边三角形的判定方法证明OAB是等边三角形是解题关键15如图，在菱形ABCD中，AB
15、=BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE=DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H给出如下几个结论：ADE=DBF；DAEBDG；若AF=2DF，则BG=6GF；CG与BD一定不垂直；BGE=60其中正确的结论个数为（）A5B4C3D2【分析】先证明ABD为等边三角形，根据“SAS”证明AEDDFB，利用全等三角形的性质解答即可；先证明ABD为等边三角形，根据“SAS”证明AEDDFB；过点F作FPAE于P点，根据题意有FP：AE=DF：DA=1：3，则FP：BE=1：6=FG：BG，即BG=6GF；因为点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合
16、），且AE=DF，当点E，F分别是AB，AD中点时，CGBD；BGE=BDG+DBF=BDG+GDF=60【解答】解：ABCD为菱形，AB=AD，AB=BD，ABD为等边三角形，A=BDF=60，又AE=DF，AD=BD，AEDDFB，ADE=DBF，故本选项正确；ABCD为菱形，AB=AD，AB=BD，ABD为等边三角形，A=BDF=60，又AE=DF，AD=BD，AEDDFB，故本选项错误；过点F作FPAE交DE于P点（如图2），AF=2FD，FP：AE=DF：DA=1：3，AE=DF，AB=AD，BE=2AE，FP：BE=FP：2AE=1：6，FPAE，PFBE，FG：BG=FP：BE=
17、1：6，即BG=6GF，故本选项正确；当点E，F分别是AB，AD中点时（如图3），由（1）知，ABD，BDC为等边三角形，点E，F分别是AB，AD中点，BDE=DBG=30，DG=BG，在GDC与BGC中，GDCBGC，DCG=BCG，CHBD，即CGBD，故本选项错误；BGE=BDG+DBF=BDG+GDF=60，为定值，故本选项正确；综上所述，正确的结论有，共3个，故选：C【点评】此题综合考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形，把不规则图形的面转化为两个全等三角形的面积是解题的关键二填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）16（3分）
18、如图，在菱形ABCD中，DAB=60，AB=2，则菱形ABCD的面积为2【分析】由菱形ABCD，得到邻边相等，且对角线互相平分，再由一个角为60的等腰三角形为等边三角形得到三角形ABD为等边三角形，求出BD的长，再由菱形的对角线垂直求出AC的长，即可求出菱形的面积【解答】解：菱形ABCD，AD=AB，OD=OB，OA=OC，DAB=60，ABD为等边三角形，BD=AB=2，OD=1，在RtAOD中，根据勾股定理得：AO=，AC=2，则S菱形ABCD=ACBD=2，故答案为：2【点评】此题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解本题的关键17（3分）在一个不透明
19、的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则黄球的个数为4【分析】根据白球个数除以小球总数进而得出得到白球的概率，进而得出答案【解答】解：在一个不透明的盒子中装有8个白球，从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，设黄球有x个，根据题意得出：=，解得：x=4故答案为：4【点评】此题主要考查了概率公式的应用，熟练利用概率公式是解题关键18（3分）若，是方程x22x1=0的两根，则（+1）（+1）的值为2【分析】首先根据根与系数的关系求得+=2，=1；再进一步利用整式的乘法把（+1）（+1）展开，代入求得数值即可【解答】解：，是方程x22x1
20、=0的两根，+=2，=1，则原式=+1=21+1=2，故答案为：2【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=，x1x2=19（3分）一个两位数，它的数值等于它的个位上的数字的平方的3倍，它的十位数字比个位数字大2若设个位数字为x，列出求该两位数的方程式为10（x+2）+x=3x2【分析】设个位数字为x，则这个数为3x2，十位数字为x+2，根据题意表示出这个两位数，列出方程【解答】解：设个位数字为x，则这个数为3x2，十位数字为x+2，由题意得，10（x+2）+x=3x2故答案为：10（x+2）+x=3x2【点评】本题考查了
21、由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程20（3分）根据如下表格对应值：10.500.511.52ax2+bx+c212判断关于x的方程ax2+bx+c=1.5（a0）的解x的范围是0x0.5或1.5x2【分析】利用表中数据得到x=1.5和x=2时，代数式ax2+bx+c的值一个小于1.5，一个大于1.5，从而可判断当0x0.5或1.5x2时，代数式ax2+bx+c1.5的值为0【解答】解：当x=0.5和1.5时，ax2+bx+c=，当x=0和2时，ax2+bx+c=2，所以方程的解的范围为0x0.5或1.5x2故答案为：0x0.5或1.
22、5x2【点评】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根21（3分）一个不透明的布袋中有分别标着数字1，2，3，4的四个乒乓球，先从袋中随机摸出两个乒乓球，则这两个乒乓球上的数字之和大于5的概率为【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两个乒乓球上数字之和大于5的情况数，即可求出所求的概率【解答】解：列表得： 12341（2，1）（3，1）（4，1）2（1，2）（3，2）（4，2）3（1，3）（2，3）（4，3）4（1，4）（2，4）（3，4）所有等可能的情况数有12种
23、，其中两个乒乓球上数字之和大于5的情况有4种，则P=故答案为：【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比22（3分）如图大矩形的长10cm，宽8cm，阴影部分的宽2cm，则空白部分的面积是48cm2【分析】根据平移的性质，把两条小路都平移到矩形的边上，然后求出空白部分的长和宽，再根据矩形的面积公式计算即可得解【解答】解：把小路平移到矩形的边上，则空白部分的长为102=8cm，宽为82=6cm，所以，空白部分的面积是：86=48cm2故答案为：48【点评】本题考查了平移的性质，构想出把四个空白部分平移为一个空白矩形求解更简便23（3分）如图，在正方形ABC
24、D中，E是DC边上的点，连接BE，将BCE绕点C顺时针方向旋转90得到DCF，连接EF若EFD=15，则CDF的度数为30【分析】由旋转前后的对应边和对应角相等可知，一个特殊三角形ECF为等腰直角三角形，可知EFC=45，进而求出CFD=60，因为三角形DCF是直角三角形，所以可以求出CDF的度数为30【解答】解：BCE绕点C顺时针方向旋转90得到DCF，CE=CF，四边形ABCD是正方形，DCB=90，DCF=90，CEF=CFE=45，EFD=15，CFD=60，CDF=9060=30故答案为：30【点评】本题考查旋转的性质和正方形的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小
25、、形状都不改变要注意旋转的三要素：定点旋转中心；旋转方向；旋转角度三解答题（共7小题，满分66分）24（12分）解下列方程（1）4x21=0（2）x24x+3=0（配方法）（3）2x2+x1=0（公式法）【分析】（1）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解；（2）方程整理后，利用配方法求出解即可；（3）方程利用公式法求出解即可【解答】解：（1）方程整理得：x2=，开方得：x=；（2）方程整理得：x24x=3，配方得：x24x+4=1，即（x2）2=1，开方得：x2=1或x2=1，解得：x1=3，x2=1；（3）这里a=2，b=1，c=1，=1+8=9，x=，解得：x1=，x2=1【点评】此题
26、考查了解一元二次方程公式法，直接开平方法，以及配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键25（8分）某商场将原来每件进价80元的某种商品按每件100元出售，一天可出售100件，后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低2元，其销量可增加20件（1）求商场经营该商品原来一天可获利多少元？（2）若商场经营该商品一天要获得利润2160元，则每件商品应降价多少元？【分析】（1）原来1天的获利情况=1件的利润卖出的件数；（2）关系式为：实际1件的利润卖出的件数=2160，把相关数值代入计算即可【解答】解：（1）商场经营该商品原来一天可获利（10080）100=2000元；（2）设每件商品应降价x元（20x）（
27、100+10x）=2160，（x2）（x8）=0，解得x1=2，x2=8答：每件商品应降价2元或8元【点评】考查一元二次方程的应用；得到降价后可卖出商品的数量是解决本题的易错点26（8分）已知：如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，ABAC，AB=1，BC=（1）求平行四边形ABCD的面积SABCD；（2）求对角线BD的长【分析】（1）先求出AC，根据平行四边形的面积=底高，进行计算即可（2）在RtABO中求出BO，继而可得BD的长【解答】解：（1）在RtABC中，AC=2，则SABCD=ABAC=2（2）四边形ABCD是平行四边形，AO=OC，BO=OD，AO=1，在RtABO中，B
28、O=，BD=2【点评】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分的性质27（8分）已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BEAC于E，CFBD于F，请你判断BE与CF的大小关系，并说明你的理由【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得OB=OC，然后利用“角角边”证明OBE和OCF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证【解答】解：BE=CF理由如下：在矩形ABCD中，OB=OC，BEAC于E，CFBD于F，BEO=CFO=90，在OBE和OCF中，OBEOCF（AAS），BE=CF【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，证明两边
29、相等，通常利用证明这两边所在的三角形全等，这是常用的方法也是基本方法28（8分）某电视台的一档娱乐性节目中，在游戏PK环节，为了随机分选游戏双方的组员，主持人设计了以下游戏：用不透明的白布包住三根颜色长短相同的细绳AA1、BB1、CC1，只露出它们的头和尾（如图所示），由甲、乙两位嘉宾分别从白布两端各选一根细绳，并拉出，若两人选中同一根细绳，则两人同队，否则互为反方队员（1）若甲嘉宾从中任意选择一根细绳拉出，求他恰好抽出细绳AA1的概率；（2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位嘉宾能分为同队的概率【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数和甲、乙两位嘉
30、宾能分为同队的结果数，再根据概率公式即可得出答案【解答】解：（1）共有三根细绳，且抽出每根细绳的可能性相同，甲嘉宾从中任意选择一根细绳拉出，恰好抽出细绳AA1的概率是=；（2）画树状图：共有9种等可能的结果数，其中甲、乙两位嘉宾能分为同队的结果数为3种情况，则甲、乙两位嘉宾能分为同队的概率是=【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率注意首先分别求得左右两端的情况，再画出树状图是关键用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比29（10分）如图，ABC和CDE都是等边三角形，且B，C，D三点共线，连接AD，BE相交于点P，求证：BE=AD【分析】根据等边三角形的性质得CA=CB，CD=CE，A
31、CB=60，DCE=60，则ACE=60，利用“SAS”可判断ACDBCE，则AD=BE【解答】证明：ABC和CDE都是等边三角形，CA=CB，CD=CE，ACB=60，DCE=60，ACE=60，ACD=BCE=120，在ACD和BCE中，ACDBCE（SAS），AD=BE【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键30（12分）如图，ABBC，射线CMBC，且BC=5，AB=1，点P是线段BC （不与点B、C重合）上的动点，过点P作DPAP交射线CM于点D，连结AD（1）如图1，若BP=4，求ABP的周长（
32、2）如图2，若DP平分ADC，试猜测PB和PC的数量关系，并说明理由（3）若PDC是等腰三角形，作点B关于AP的对称点B，连结BD，则BD=5（请直接写出答案）【分析】（1）先在RtABP中，利用勾股定理求得AP的长，再计算APB的周长；（2）先延长线段AP、DC交于点E，运用ASA判定DPADPE，再运用AAS判定APBEPC，即可得出结论；（3）先连接B'P，过点B'作B'FCD于F，根据轴对称的性质，得出ABP为等腰直角三角形，并判定四边形B'PCF是矩形，求得B'F=4，DF=3，最后在RtB'FD中，根据勾股定理求得B'D的长度
33、【解答】解：（1）如图1，ABBC，ABP=90，AP2=AB2+BP2，AP=，AP+AB+BP=+1+4=+5APB的周长为+5；（2）PB=PC，理由：如图2，延长线段AP、DC交于点E，DP平分ADC，ADP=EDPDPAP，DPA=DPE=Rt在DPA和DPE中，DPADPE（ASA），PA=PEABBP，CMCP，ABP=ECP=Rt在APB和EPC中，APBEPC（AAS），PB=PC；（3）如图，连接B'P，过点B'作B'FCD于F，则B'FC=C=90，PDC是等腰三角形，PCD为等腰直角三角形，即DPC=45，又DPAP，APB=45，点B关于AP的对称点为点B，BPB'=90，APB=45，BP=B'P，ABP为等腰直角三角形，四边形B'PCF是矩形，BP=AB=1=B'P，PC=5=1=4=B'F，CF=B'P=1，B'F=4，DF=41=3，RtB'FD中，B'D=5，故答案为：5【点评】本题以动点问题为背景，主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，以及矩形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，以及灵活运用勾股定理计算线段的长度
