1、27.2.2 相似三角形的性质,人教版 数学 九年级 下册,27.2 相似三角形,相似三角形的判定方法有哪几种？,1.对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似.,2.平行于三角形一边，与另外两边相交所构成的三 角形与原三角形相似.,3. 三边对应成比例的两三角形相似.,4. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.,5. 两角分别相等的两个三角形相似.,6. 两边对应成比例的两直角三角形相似.,三角形除了三个角,三条边外,还有哪些要素?,【思考】如果两个三角形相似，那么它们的这些要素有一些怎样的性质呢?,高线,角平分线,中线,面积,周长,1. 在理解相似三角形特征的基础上，掌握相似三角形对应高、
2、对应中线、对应角平分线、周长、面积的比等性质，并运用其进行计算与推理.,2.通过实践体会相似三角形的性质，会用性质与判定解决相关的问题.,素养目标,三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几何量？,高、角平分线、中线的长度，周长、面积等,相似三角形对应线段的比,如图，ABC ABC，相似比为 ，它们对应高线、对应中线、对应角平分线的比各是多少？,（2）,ABC ABC,相似比为,对应高的比,D,D,（1）,ABC ABC,相似比为,对应中线的比,D,D,A,B,（3）,ABC ABC,相似比为,对应角平分线的比,D,D,A,B,如图， ABC ABC ，若相似比为k ，它们对应高、对应中线、对应角
3、平分线的比又各是多少？,相似三角形对应高的比等于相似比,证明：, ABCABC，, B= B,又 ADB =ADB =90,ABDABD,从而,如图，ABC ABC，相似比为k，分别作BC，BC上的高AD，AD 求证：,证明：ABCDEF.,相似三角形对应中线的比等于相似比.,又AM、DN分别是ABC和DEF的中线.,ABMDEN.,求证：,已知：,ABCDEF. AM、DN分别为中线,BC=2BM,EF=2EN,B =E,证明：ABCDEF. B =E, BAC=EDF. 又AM、DN分别是BAC和EDF的角平分线.,相似三角形对应角平分线的比等于相似比.,求证：,已知：,ABCDEF. A
4、M、DN分别为角平分线,BAM=EDN.,AMBDNE., ， ，,相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比.,相似三角形对应高的比等于相似比.,一般地，我们有： 相似三角形对应线段的比等于相似比.,归纳总结,解： ABC DEF，,例1 已知 ABCDEF，BG、EH 分别是 ABC和 DEF 的角平分线，BC = 6 cm，EF = 4cm，BG = 4.8 cm. 求 EH 的长., ，解得 EH = 3.2.,故 EH 的长为 3.2 cm.,利用相似三角形对应线段的比求线段的长度,1.相似三角形对应边的比为23,那么相似比为_,对应角的角平分线的比为 .,2 3,2 3,2.两个
5、相似三角形对应边上的高的比为14 , 若一个三角形的最长边是为12，则另一个三角形的最长边是_.,3或48,相似三角形的周长比也等于相似比吗？为什么？,【想一想】,相似三角形周长的比等于相似比.,已知：,求证：,证明1：,(等比性质),ABC ABC,ABC ABC,证明2：,AB=kAB，BC=kBC，AC=kAC,相似三角形的周长比等于相似比,ABC ABC，,相似比为k,3.相似三角形对应边的比为25,那么周长比为_.,25,4.两个相似三角形周长的比为17 , 则它们的相似比为_,对应边上角平分线的比为_.,17,17,如图，ABC ABC，相似比为k，它们的面积比是多少？,相似三角形
6、面积的比,由前面的结论，我们有,A,B,C,A,B,C,D,D,几何表述:,相似三角形性质定理:,相似三角形面积的比等于相似比的平方.,ABC ABC，相似比为k ，,归纳:,5. 已知两个三角形相似，请完成下列表格：,2,4,100,100,k,k2,解：在 ABC 和 DEF 中， AB=2DE，AC=2DF，,又 D=A，, DEF ABC ，相似比为 1 : 2.,例2 如图，在 ABC 和 DEF 中，AB = 2 DE ， AC = 2 DF，A = D. 若 ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，求 DEF 的边 EF 上的高和面积.,利用相似三角形面积的比求面积或线段,面
7、积为,DEF 的边 EF 上的高为 ，,ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，,6. 如果两个相似三角形的面积之比为 4 : 9，较大三角形一边上的高为 18，则较小三角形对应边上的高为_.,12,例3 如图，D，E 分别是 AC，AB 上的点，已知ABC 的面积为100 cm2，且 ，求四边形 BCDE 的面积., ADE ABC., 它们的相似比为 3 : 5， 面积比为 9 : 25.,解： BAC = DAE，且,利用相似三角形面积的比求多边形的面积(比）,又 ABC 的面积为 100 cm2，, ADE 的面积为 36 cm2 ., 四边形 BCDE 的面积为10036 = 6
8、4 (cm2).,7. 如图，这是圆桌正上方的灯泡 （点A ） 发出的光线照射桌面形成阴影的示意图，已知桌面的直径为 1.2米，桌面距离地面为 1 米，若灯泡距离地面 3 米，则地面上阴影部分的面积约为多少 (结果保留两位小数)？,解： FH = 1 米，AH = 3 米，桌面的直径为 1.2 米， AF = AHFH = 2 (米)，DF = 1.22 = 0.6(米). DFCH，ADF ACH，, 即,解得 CH = 0.9米.,(平方米).,答：地面上阴影部分的面积为 2.54 平方米., 阴影部分的面积为：,1.（2018玉林）两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（ ） A B2
9、：3 C4：9 D8：27,C,2.（2018铜仁市）已知ABCDEF，相似比为2，且ABC的面积为16，则DEF的面积为（ ） A32 B8 C4 D16,C,2.（2018吉林）如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，B=C=90，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河宽AB=_m,1.（2018广东）在ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则ADE与ABC的面积之比为（ ） A B C D,C,100,3. 把一个三角形变成和它相似的三角形， (1) 如果边长扩大为原来的 5 倍，那么面积扩大为 原来的_倍； (2) 如果面积扩大为原来的 100 倍，那么边长
10、扩大 为原来的_倍.,25,10,4. 两个相似三角形的一对对应边分别是 35 cm、14 cm， (1) 它们的周长差 60 cm，这两个三角形的周长分别是_； (2) 它们的面积之和是 58 cm2，这两个三角形的面积分别是_.,100 cm、40 cm,50 cm2、8 cm2,如图，ABC 中，点 D、E、F 分别在 AB、AC、BC 上，且 DEBC，EFAB. 当 D 点为 AB 中点时，求 S四边形BFED : SABC 的值.,解： DEBC，D 为 AB 中点， ADE ABC ， 相似比为 1 : 2， 因此面积比为 1 : 4.,又 EFAB， EFC ABC ，相似比为
11、 1 : 2， 面积比为 1 : 4. 设 SABC= 4，则 SADE = 1，SEFC = 1， S四边形BFED = SABCSADESEFC = 411 = 2， S四边形BFED : SABC = 2 :4 =,如图，ABC 中，DEBC，DE 分别交 AB、AC 于点 D、E，SADE2 SDCE，求 SADE SABC,解：过点 D 作 AC 的垂线，交点为 F，则,又 DEBC， ADE ABC.,F,即 SADE : SABC 4 : 9.,F,相似三角形的性质,相似三角形对应线段的比等于相似比,相似三角形面积的比等于相似比的平方,相似三角形性质的运用,课后作业,作业 内容,教材作业,从课后习题中选取,自主安排,配套练习册练习,
