1、专题训练(五)与二次函数有关的综合题型类型之一二次函数与一次函数的综合题1.如图5-ZT-1,已知抛物线y1=-2x2+2,直线y2=2x+2,当x任取一值时,x对应的函数值分别为y1,y2.若y1y2,取y1,y2中的较小值记为M;若y1=y2,记M=y1=y2.例如:当x=1时,y1=0,y2=4,y1y2,此时M=0.那么使得M=1的x的值为.图5-ZT-12.一次函数y=-43x的图像如图5-ZT-2所示,它与关于x的二次函数y=ax2+2ax+c的图像交于A,B两点(其中点A在点B的左侧),与这个二次函数图像的对称轴交于点C.(1)求点C的坐标;(2)设二次函数图像的顶点为D.若点D
2、与点C关于x轴对称,且ACD的面积等于163,求此二次函数的表达式.图5-ZT-23.如图5-ZT-3,已知直线y=-2x+m与抛物线y=ax2+bx+c相交于A,B两点,且A(1,4)为抛物线的顶点,点B在x轴上.(1)求m的值;(2)求抛物线的函数表达式;(3)若P是抛物线的对称轴上一点,当ABP为直角三角形时直接写出点P的坐标.图5-ZT-34.如图5-ZT-4,抛物线y=-x2+bx+c经过点B(0,3)和点A(3,0).(1)求抛物线的函数表达式和直线AB的函数表达式;(2)若点P在第一象限的抛物线上,连接PA,PB,求PAB的面积S的最大值及此时点P的坐标.图5-ZT-4类型之二二
3、次函数与反比例函数的综合题5.函数y1=ax2+b,y2=abx(ab0)的图像在下列四个示意图中,可能正确的是()图5-ZT-56.已知反比例函数y=kx的图像与二次函数y=ax2+x-1的图像相交于点A(2,2).(1)求反比例函数与二次函数的表达式;(2)若反比例函数图像上有一点P,点P的横坐标为1,求AOP的面积.7.2019房山区模拟 如图5-ZT-6,二次函数与反比例函数的图像有公共点A(-2,5),ABCD的顶点B(-5,p)在双曲线上,C,D两点在抛物线上(点C在y轴负半轴上,点D在x轴正半轴上).(1)求直线AB的函数表达式及C,D两点的坐标.(2)第四象限的抛物线上是否存在
4、点E,使得四边形ACED的面积最大?若存在,求出点E的坐标和面积的最大值;若不存在,说明理由.图5-ZT-6类型之三二次函数与几何图形的综合题8.如图5-ZT-7,四边形OABC是边长为1的正方形,OC与x轴正半轴的夹角为15,点B在抛物线y=ax2(a0)的图像上,则a的值为()图5-ZT-7A.-23 B.-23C.-2 D.-129.如图5-ZT-8,抛物线y=-x2+bx+c经过点A(4,0)和点B(0,2),且抛物线的对称轴为直线l,顶点为C,直线l交x轴于点D.(1)求抛物线的函数表达式;(2)连接AC,BC,BD,求四边形ADBC的面积.图5-ZT-810.2019铁西区一模 如
5、图5-ZT-9,在平面直角坐标系中,抛物线y=-920x2+bx+c过点A(0,6)和点B(5,0),C是抛物线上在对称轴右侧且在第一象限的一个动点,连接AB,AC,BC.(1)求抛物线的函数表达式;(2)当SABC=92时,求点C的坐标;(3)在(2)的条件下,连接OC,作CEy轴于点E,点P在线段CE上且不与点C重合,点Q在线段OC上,CP=OQ,连接AP,AQ,当AP+AQ最小时,请直接写出点P和点Q的坐标.图5-ZT-911.2019赤峰 如图5-ZT-10,直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于B,C两点,抛物线y=-x2+bx+c经过点B,C,与x轴的另一个交点为A.顶点为D.(1)
6、求抛物线的函数表达式.(2)在x轴上求一点E,使EC+ED的值最小,并求EC+ED的最小值.(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得APB=OCB?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 图5-ZT-10教师详解详析1.-12或22解析 抛物线的函数表达式为y1=-2x2+2,抛物线与坐标轴的交点是(-1,0),(1,0),(0,2).直线y2=2x+2,该直线与坐标轴的交点是(-1,0),(0,2).即如图A(-1,0),B(1,0),C(0,2).根据图示知,当-1xy2,使得M=1时,y2=2x+2=1,解得x=-12;当x0时,y2y1,使得M=1时,即y1=-2x2+2=
7、1,解得x1=22,x2=-22(舍去),使得M=1的x的值是-12或22.2.解:(1)抛物线的对称轴为直线x=-2a2a=-1.将x=-1代入y=-43x,得y=43,点C的坐标为-1,43.(2)点D与点C关于x轴对称,点D的坐标为-1,-43,CD=83.设ACD的CD边上的高为h,则1283h=163,解得h=4.点A的横坐标为-1-4=-5,则点A的纵坐标为-43(-5)=203,即A-5,203.则抛物线的函数表达式可写为y=a(x+1)2-43,即y=12x2+x-56.将A(-5,203)代入,得203=a(-5+1)2-43.解得a=12,抛物线的表达式为y=12(x+1)
8、2-43.3.解:(1)将A(1,4)代入y=-2x+m,得4=-2+m,解得m=6.(2)对于直线y=-2x+6,令y=0,则x=3,故点B(3,0).由已知得二次函数的表达式为y=a(x-1)2+4.将点B的坐标代入上式,得0=(3-1)a2+4,解得a=-1,故抛物线的函数表达式为y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3.(3)由(2)可知抛物线的对称轴为直线x=1.如图,当APB=90.点B在x轴上,且直线APx轴.点P在x轴,P(1,0).若ABP=90,则易得ABPBPPAPBP=BPPP,由题意,得AP=4,BP=3-1=242=2PP,PP=1,P(1,-1)故点P的坐标为(1
9、,0)或(1,-1).4.解:(1)抛物线y=-x2+bx+c经过点B(0,3)和点A(3,0),c=3,-9+3b+c=0,解得b=2,c=3,抛物线的函数表达式是y=-x2+2x+3.设直线AB的函数表达式为y=kx+m.根据题意,得m=3,3k+m=0,解得k=-1,m=3,直线AB的函数表达式是y=-x+3.(2)如图,过点P作PNOA于点N,交直线AB于点M.设点P的横坐标为a,则点P的坐标为(a,-a2+2a+3),点M的坐标是(a,-a+3).又点P,M在第一象限,PM=-a2+2a+3-(-a+3)=-a2+3a,SPAB=SPAM+SPBM=12PMOA=12(-a2+3a)
10、3=-32a-322+278(0a3),当a=32时,S有最大值,最大值为278,此时点P的坐标为32,154.5.C6.解:(1)把A(2,2)代入y=kx,得k=22=4,所以反比例函数的表达式为y=4x.把A(2,2)代入y=ax2+x-1,得4a+2-1=2,解得a=14,所以二次函数的表达式为y=14x2+x-1.(2)当x=1时,y=4x=4,则P(1,4),所以AOP的面积=24-1222-1214-1212=3.7.解:(1)设反比例函数的表达式为y=kx.反比例函数的图像经过点A(-2,5)和点B(-5,p),5=k-2,k=-10,反比例函数的表达式为y=-10x,P=-1
11、0-5=2,点B的坐标为(-5,2).设直线AB的函数表达式为y=mx+n,则-2m+n=5,-5m+n=2,m=1,n=7,直线AB的函数表达式为y=x+7.在ABCD中,ABCD,设CD的函数表达式为y=x+c,C(0,c),D(-c,0).CD=AB,CD2=AB2,c2+c2=(-5+2)2+(2-5)2,c=-3或c=3(舍去),点C,D的坐标分别是(0,-3),(3,0).(2)存在.设二次函数的表达式为y=ax2+bx-3,4a-2b-3=5,9a+3b-3=0,a=1,b=-2,二次函数的表达式为y=x2-2x-3.假设第四象限的抛物线上存在点E,使得CDE的面积最大.过点E作
12、x轴的垂线交CD于点F.设E(k,k2-2k-3),则F(k,k-3),则SCDE=SEFC+SEFD=12EFOD=32(k-3)-(k2-2k-3)=-32(k2-3k)=-32k-322+278,当k=32时,CDE的面积最大,为278(0k3),此时点E的坐标为32,-154.A(-2,5),C(0,-3),D(3,0),ACD的面积为定值.由已知可得直线AD的函数表达式为y=-x+3,直线AD交y轴于点K(0,3),SACD=SACK+SCKD=123-(-3)2+123-(-3)3=15,当点E的坐标为32,154时,四边形ACED的面积最大,最大为15+278=1478.8.B解
13、析 如图,连接OB,过点B作BDx轴于点D,则BOC=45,BOD=30.已知正方形OABC的边长为1,则OB=2.在RtOBD中,OB=2,BOD=30,则BD=12OB=22,OD=32OB=62;故B62,-22,代入抛物线的函数表达式中,得622a=-22,解得a=-23.9.解:(1)抛物线y=-x2+bx+c经过点A(4,0),B(0,2),-16+4b+c=0,c=2,解得b=72,c=2,抛物线的函数表达式为y=-x2+72x+2.(2)C是抛物线的顶点,抛物线的表达式为y=-x2+72x+2=-x-74)2+8116,点C的坐标为74,8116,S四边形ADBC=SBDC+S
14、ADC=12811674+1281164-74=818.故四边形ADBC的面积为818.10.解:(1)抛物线y=-920x2+bx+c过点A(0,6)和点B(5,0),c=6,-454+5b+c=0,解得b=2120,c=6,抛物线的函数表达式为y=-920x2+2120x+6.(2)A(0,6),B(5,0),OA=6,OB=5.设Cx,-920x2+2120x+6,则SABC=S四边形AOBC-SAOB=SAOC+SBOC-SAOB=92,即126x+125-920x2+2120x+6-1256=92,整理,得x2-5x+4=0,解得x=4或x=1,抛物线的对称轴为直线=21202x76
15、x=1(不舍得题意舍去。)x=4,-920x2+2120x+6=3,点C的坐标为(4,3).(3)连接BQ,如图所示.由题意,得CEOB,CE=4,OE=3,由勾股定理,得OC=5,OCE=BOQ,AE=OA-OE=3,AE=OE,AC=32+42=5,AC=OC=OB,ACP=OCE,ACP=BOQ,在ACP和BOQ中,AC=BO,ACP=BOQ,CP=OQ,ACPBOQ(SAS),AP=BQ,AP+AQ=BQ+AQ.当点A,Q,B共线时,BQ+AQ=AB时最小,即AB与OC的交点是点Q,易求直线AB的表达式为y=-65x+6,直线OC的表达式为y=34x,联立y=-65x+6,y=34x,
16、解得x=4013,y=3013,Q4013,3013,可得OQ=5013,则CP=OQ=5013,EP=4-5013=213,P213,3.11.解:(1)直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于B,C两点,则点B,C的坐标分别为(3,0),(0,3).将点B,C的坐标代入二次函数的表达式,得-9+3b+c=0,c=3,解得b=2,c=3,故抛物线的函数表达式为y=-x2+2x+3.(2)如图,作点C关于x轴的对称点C,则点C的坐标为(0,-3),连接CD交x轴于点E,则此时EC+ED最小.由抛物线y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,得点O的坐标为(1,4).设直线CD的表达式为y=kx+m
17、,将CD的坐标代入y=kx+m,得k+m=4,m=-3,解得k=7,m=-3,直线CD的表达式为y=7x-3,当y=0时,x=37,当故点E37,0.(3)存在.由(1)易此时EC+ED=CD=(0-1)2+(-3,4)=52.得A(-1,0).抛物线的对称轴为直线x=1,AB=4,且PA=PB.当点P在x轴上方时,如图.由(1)知OB=OC=3,则OCB=45=APB,过点B作BHAP于点H.PHB=90,PBH=APB=45.设PH=BH=m,则PB=PA=2m,在RtABH中,由勾股定理,得AB2=AH2+BH2,16=m2+(2m-m)2,解得m2=8+42,则PB2=2m2=16+82,则yP=PB2-22=2+22.当点P在x轴下方时,则yP=-(2+22).故点P的坐标为(1,2+22)或(1,-2-22).
