1、专题训练(三)巧用抛物线的对称性解题类型之一利用对称性求交点1.如图3-ZT-1,抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴是直线x=1,且经过点P(3,0),则a-b+c的值为()A.0 B.-1 C.1 D.22.2019三明一模 二次函数y=x2-6x+m满足以下条件:当-2x-1时,它的图像位于x轴的下方;当8x9时,它的图像位于x轴的上方,则m的值为()A.27 B.9 C.-7 D.-16 图3-ZT-1 图3-ZT-23.如图3-ZT-2,在平面直角坐标系中,点A在第二象限,以A为顶点的抛物线经过原点,与x轴的负半轴交于点B,对称轴为直线x=-2.点C在抛物线上,且位于点A,B之
2、间(点C不与点A,B重合).若ABC的周长为a,则四边形AOBC的周长为(用含a的式子表示).4.已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(-1,4),抛物线与x轴的两个交点之间的距离为6,求此抛物线的表达式.类型之二利用对称性求对称轴5.2019河南 已知抛物线y=-x2+bx+4经过(-2,n)和(4,n)两点,则n的值为()A.-2 B.-4 C.2 D.46.如图3-ZT-3,已知二次函数y=x2+bx+c的图像经过点(-1,0),(2,0),当y随x的增大而增大时,x的取值范围是.图3-ZT-37.已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表:x
3、-3-2-10123y-52-4-92-4-52072(1)求该抛物线的表达式;(2)已知E(4,y1)是该抛物线上的点,点E关于抛物线对称轴对称的点为点F,求点E和点F的坐标.类型之三利用对称性判断函数值的大小8.已知在二次函数y=ax2+bx+c中,其函数值y与自变量x之间的部分对应值如下表所示:x01234y41014点A(x1,y1),B(x2,y2)在该函数的图像上,则当1x12,3x24时,y1与y2的大小关系正确的是()A.y2y1 B.y1y2 C.y2y1 D.y1y29.已知抛物线y=ax2+bx+c(ay2 B.y1=y2C.y1|x2-2|,则y1,y2的大小关系是()
4、A.y1y2C.y1=y2 D.无法确定11.如图3-ZT-4,二次函数y=ax2+bx+c的图像过原点O与点A(3,0).(1)判断b的符号,并求出c的值和该二次函数图像的顶点的横坐标;(2)若M(m,y1),N(m+n,y2)(n0)是该二次函数图像上的两点,当y1=y2时,求m,n之间的数量关系.图3-ZT-4类型之四利用对称性求面积12.如图3-ZT-5,在平面直角坐标系中,抛物线y=12x2经过平移得到抛物线y=12x2-2x,其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为()A.2 B.4 C.8 D.16 图3-ZT-5 图3-ZT-613.二次函数y=3x2的图像如图3-ZT-6
5、所示,O为坐标原点,点A在y轴的正半轴上,点B,C在二次函数y=3x2的图像上,四边形OBAC为菱形,且OBA=120,则菱形OBAC的面积为.类型之五利用对称性解决线段和最小问题14.如图3-ZT-7,二次函数的图像经过点D0,79 3,且顶点C的横坐标为4,该图像在x轴上截得的线段AB的长为6.(1)求该二次函数的表达式;(2)在该抛物线的对称轴上找一点P,使PA+PD最小,求出点P的坐标.图3-ZT-715.2018安丘 如图3-ZT-8,在平面直角坐标系中,二次函数的图像经过A(-2,0),B(2,2),C(0,2)三个点.(1)求该二次函数的表达式.(2)若在该函数图像的对称轴上有一
6、动点D,求当点D的坐标为多少时,ACD的周长最小.(3)在直线y=x上是否存在一点E,使得ACE为直角三角形?若存在,请求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.图3-ZT-8教师详解详析【详解详析】1.A解析 因为该抛物线的对称轴为直线x=1,且经过点(3,0),所以由其对称性可知该抛物线也经过点(-1,0),所以当x=-1时,a-b+c=0.2.D解析 抛物线的对称轴为直线x=-621=3,x=-2和x=8时的函数值相等.当-2x-1时,它的图像位于x轴的下方;当8x12解析 由抛物线经过点(-1,0),(2,0),可知抛物线的对称轴为直线x=12,当y随x的增大而增大时,x的取值范围是x12
7、.7.解:(1)x=-2时,y=-4;x=0时,y=-4,该抛物线的对称轴为直线x=-1,则抛物线的顶点坐标为-1,-92,设抛物线的表达式为y=a(x+1)2-92.把(0,-4)代入,得a(0+1)2-92=-4,解得a=12,抛物线的表达式为y=12(x+1)2-92.(2)当x=4时,y=12(4+1)2-92=8,则点E的坐标为(4,8).抛物线的对称轴为直线x=-1,点E关于抛物线的对称轴对称的点F的坐标为(-6,8).8.B解析 由表格中的数据可以看出,当x=1时,y=1,当x=3时,y=1,所以抛物线的对称轴是直线x=2.当x=2时,y=0,故抛物线的顶点坐标是(2,0).当x
8、=0时,y=4,所以c=4,由此可判断抛物线的开口向上,因此当1x12,3x24时,y1y2.9.A解析 抛物线过A(-2,0),O(0,0)两点,抛物线的对称轴为直线x=-1.ay2.故选A.10.A解析 y=-(x-2)2+c,二次函数的图像开口向下,对称轴为直线x=2.|x1-2|x2-2|,y1y2.故选A.11.解:(1)根据图像过原点O与点A(3,0),可知c=0,对称轴为直线x=32,即-b2a=32.图像开口向下,a0.对称轴为直线x=32,顶点的横坐标为32.所以b0,c=0,该二次函数图像的顶点的横坐标为32.(2)M(m,y1),N(m+n,y2)(n0)是该二次函数图像
9、上的两点,且y1=y2,点M,N关于对称轴对称,即m+m+n2=32,2m+n=3.12.B13.23解析 本题考查二次函数、菱形的相关知识.连接CB交OA于点D.因为四边形OBAC是菱形,所以CD=BD,AD=OD,OABC.因为OBA=120,所以OBD=60,BOD=30.设B(x,y),因为点B在抛物线y=3x2上,所以B(x,3x2),即BD=x,OD=3x2,tanBOD=BDOD=x3x2,即33=13x,所以x=1,所以BD=1,OD=3,所以OA=23,BC=2,所以菱形OBAC的面积为12AOBC=23.14.解:(1)设二次函数的表达式为y=a(x-h)2+k.顶点C的横
10、坐标为4,且过点0,79 3,y=a(x-4)2+k,79 3=16a+k.又对称轴为直线x=4,图像在x轴上截得的线段长为6,A(1,0),B(7,0),把点A(1,0)代入,得0=9a+k.由解得a=39,k=-3,二次函数的表达式为y=39(x-4)2-3.(2)点A,B关于直线x=4对称,PA=PB,PA+PD=PB+PDDB,当点P在线段DB上时,PA+PD取得最小值,直线DB与对称轴的交点即为所求的点P.设直线x=4与x轴交于点M.PMOD,BPM=BDO.又PBM=DBO,BPMBDO,PMDO=BMBO,PM=79337=33,点P的坐标为4,33.15.解:(1)设二次函数的
11、表达式为y=ax2+bx+c(a0).将A(-2,0),B(2,2),C(0,2)代入,得4a-2b+c=0,4a+2b+c=2,c=2,解得a=-14,b=12,c=2,该二次函数的表达式为y=-14x2+12x+2.(2)如图,连接AB与二次函数的对称轴交于点D,此时点D的坐标即为所求.设直线AB的表达式为y=kx+b.将A(-2,0),B(2,2)代入,得-2k+b=0,2k+b=2,解得k=12,b=1,直线AB的表达式为y=12x+1.由题可知二次函数的对称轴为直线x=1.当x=1时,y=32.点D的坐标为1,32时,ACD的周长最小.(3)存在.如图,设D(2,0).由题意,得四边形OCBD为正方形,AOC为等腰直角三角形,ACO=CAO=BOD=45,OB与CD互相垂直平行.当C为直角顶点时,作ACCE1交OB于点E1,ACE1=90,OCE1=45.由题意知E1为OB的中点.E1(1,1);当A为直角顶点时,作ACAE2交BO于点E2,CAE2=90,OAE2=45.直线OB的表达式为y=x,AOE2=45,AE2O=90,E2(-1,-1);当E为直角顶点时,由题意可知E3(0,0)综上可得直线y=x上存在点E,使得ACE为直角三角形,点E的坐标为(1,1)或(-1,-1)或(0,0).
