1、第2课时利用二次函数求实际问题中的最值知识点 1面积的最值1.已知一个直角三角形的两直角边长之和为20 cm,设一条直角边长为x cm,则另一条直角边长为 cm,则这个直角三角形的面积S=cm2,当x= cm时,这个直角三角形的面积最大,为 cm2.2.如图30-4-11,在ABC中,C=90,AB=10 cm,BC=8 cm,点P从点A沿AC向点C以1 cm/s的速度运动,同时点Q从点C沿CB向点B以2 cm/s的速度运动(点Q运动到点B时,两点同时停止运动),在运动过程中,四边形PABQ的面积的最小值为()图30-4-11A.19 cm2 B.16 cm2C.12 cm2 D.15 cm2
2、3.教材习题A组第1题变式 某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃,其中一边靠墙,另外三边用长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米(如图30-4-12所示),设这个苗圃垂直于墙的一边的长为x米.(1)若苗圃的面积为72平方米,求x的值.(2)若平行于墙的一边长不小于8米,这个苗圃的面积有最大值和最小值吗?如果有,求出最大值和最小值;如果没有,请说明理由.(3)当这个苗圃的面积不小于100平方米时,直接写出x的取值范围.图30-4-12知识点 2商品利润的最值4.将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件售出时每天能卖出20件,若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元,其日销售量就增
3、加1件.为了获得最大利润决定降价x元,则单件的利润为元,每日的销售量为件,每日的利润y=,所以每件降价元时,每日获得的利润最大,最大利润为元.5.教材习题B组第2题变式 将进货单价为80元/个的商品按90元/个售出时,能卖出400个.已知这种商品每涨价1元,其销售量就要减少20个,为了获得最大利润,每个售价应定为()A.95元 B.100元 C.105元 D.110元6.2019鄂州 “互联网+”时代,网上购物备受消费者青睐.某网店专售一款休闲裤,其成本为每条40元,当售价为每条80元时,每月可销售100条.为了吸引更多顾客,该网店采取降价措施.据市场调查反映:销售单价每降1元,则每月可多销售
4、5条.设每条裤子的售价为x元(x为正整数),每月的销售量为y条.(1)直接写出y与x的函数表达式(不用体现x的取值范围);(2)设该网店每月获得的利润为w元,当销售单价降低多少元时,每月获得的利润最大,最大利润是多少?(3)该网店店主热心公益事业,决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生.为了保证捐款后每月利润不低于4220元,且让消费者得到最大的实惠,该如何确定休闲裤的销售单价?知识点 3其他实际问题的最值问题7.体育测试时,九年级一名学生推铅球时铅球所经过的路线为y=-112x2+x+2的一部分,如图30-4-13,则铅球在运行过程中离地面的最大高度是米.图30-4-138. 某商店销售某
5、种商品所获得的利润y(元)与所卖的件数x之间的关系满足y=-x2+1000x-200000,则当0x450时的最大利润为()A.2500元 B.47500元C.50000元 D.250000元9.在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图30-4-14所示的直角墙角(两边足够长),用28 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边),设AB=m m.若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15 m和6 m,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),则花园面积最大为()图30-4-14A.193 m2 B.194 m2 C.195 m2 D.196 m210.如图30-4-
6、15,在矩形ABCD中,AB=16 cm,AD=4 cm,点P,Q分别从点A,B同时出发,点P在边AB上沿AB方向以2 cm/s的速度匀速运动,点Q在边BC上沿BC方向以1 cm/s的速度匀速运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动.设运动时间为x s,PBQ的面积为y(cm2).(1)求y关于x的函数表达式,并写出x的取值范围;(2)求PBQ的面积的最大值,并指出此时x的值.图30-4-1511.2019嘉兴 某农作物的生长率p与温度t()有如下关系:如图30-4-16,当10t25时可近似用函数p=150t-15刻画;当25t37时可近似用函数p=-1160(t-h)2+0.4刻画
7、.(1)求h的值.(2)按照经验,该农作物提前上市的天数m(天)与生长率p满足函数关系,部分数据如下:生长率p0.20.250.30.35提前上市的天数m(天)051015请运用已学的知识,求m关于p的函数表达式(不用体现p的取值范围);请用含t的代数式表示m.(3)天气寒冷,大棚加温可改变农作物的生长速度.在(2)的条件下,原计划大棚恒温20时,每天的成本为200元,该农作物30天后上市时,根据市场调查:每提前一天上市售出(一次售完),销售额可增加600元.因此给大棚继续加温,加温后每天成本W(元)与大棚温度t()之间的关系如图所示,则提前上市多少天时增加的利润最大?并求增加的最大利润(农作
8、物上市售出后大棚暂停使用). 图30-4-16教师详解详析【备课资源】教材的地位和作用二次函数知识在实际生活中的应用非常广泛,本课时主要学习二次函数在确定图形最大面积与几何方面的应用.在此之前学生已经学习了二次函数的概念、图像与性质,已经初步具备解决简单的二次函数的实际应用问题的能力教学目标知识与技能学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系,并能运用二次函数的知识解决实际问题中的最大值、最小值过程与方法1.通过分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系,培养学生的分析判断能力.2.通过运用二次函数知识解决实际问题,培养学生的数学应用能力情感、态度与价值观进一步体会
9、数学与人类生活的密切联系,了解数学的应用价值,增进对数学的理解和增加好奇心,具有初步的创新精神和实践能力教学重点难点重点分析和表示实际问题中的变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识解决实际问题难点把实际问题中的数量关系转化为变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识解决最值问题易错点学生求实际问题的最值问题时,易忽视自变量的取值范围而导致错误教学导入设计活动一忆一忆1.抛物线y=-(x+1)2+3的开口方向向下,当x=-1时,函数y有最大(填“大”或“小”)值,最值是3.2.已知函数y=x2+2x+5,该函数有( B )A.最小值5B.最小值4C.最小值2D.最大值5活动二想一想如图,
10、在ABC中,B=90,AB=6 mm,BC=12 mm,动点P从点A开始沿边AB向点B以2 mm/s的速度移动(不与点B重合),动点Q从点B开始沿边BC向点C以2 mm/s的速度移动(不与点C重合).如果点P,Q分别从点A,B同时出发,那么经过32 s,BPQ的面积最大,此时四边形APQC的面积最小【详解详析】1.(20-x)-12x2+10x1050解析 设一条直角边长为x cm,则另一条直角边长为(20-x)cm,三角形的面积S=12x(20-x)=-12(x-10)2+50=-12x2+10xcm2.-120,当x=10时,S最大=121010=50(cm2).2.D解析 在RtABC中
11、,C=90,AB=10 cm,BC=8 cm,AC=AB2-BC2=6(cm).设运动时间为t(0t4)s,则PC=(6-t)cm,CQ=2t cm,S四边形PABQ=SABC-SCPQ=12ACBC-12PCCQ=1268-12(6-t)2t=t2-6t+24=(t-3)2+15cm2,当t=3时,四边形PABQ的面积取得最小值,最小值为15 cm2.3.解:(1)根据题意,得(30-2x)x=72,解得x1=3,x2=12.30-2x18,x6,x=12.(2)根据题意,得30-2x8,30-2x18,解得6x11.S=x(30-2x)=-2x2+30x=-2x-1522+2252.当x=
12、11时,S有最小值,为88;当x=152时,S有最大值,为2252.故这个苗圃的面积有最大值和最小值,最大值为2252平方米,最小值为88平方米.(3)6x10.4.(30-x)(20+x)-x2+10x+60056255.A解析 设售价在90元的基础上涨了x元,总利润为y元,则y=(10+x)(400-20x)=-20x2+200x+4000,所以当x=5时,y有最大值,此时售价为95元.6.解:(1)由题意,得y=100+5(80-x),整理,得 y=-5x+500.(2)由题意,得w=(x-40)(-5x+500)=-5x2+700x-20000=-5(x-70)2+4500.a=-50
13、w有最大值,即当x=70时,w最大=4500,应降价80-70=10(元).答:当销售单价降价10元时,每月获得的利润最大,为4500元.(3)由题意,得-5(x-70)2+4500=4220+200,解得x1=66,x2=74.抛物线w=-5(x-70)2+4500.的开口向下,对称轴为直线x=70,当66x74时,符合该网店的要求.而为了让顾客得到最大实惠,故x=66.当销售单价定为66元/条时,既符合网店要求,又能让顾客得到最大实惠.7.5解析 y=-112x2+x+2=-112(x2-12x+36-36)+2=-112(x-6)2+5.因为-1120,所以y有最大值,最大值为5.8.B
14、解析 因为抛物线的对称轴为直线x=500,在对称轴左侧,y随x的增大而增大,因此在0x450的范围内,当x=450时,函数有最大值,最大值为47500.9.C解析 AB=m,BC=28-m.则S=ABBC=m(28-m)=-m2+28m.即S=-m2+28m(0m28).由题意可知,m6,28-m15,解得6m13.在6m13内,S随m的增大而增大,当m=13时,S最大=195,即花园面积的最大值为195 m2.10.解:(1)四边形ABCD是矩形,BC=AD=4 cm.根据题意,得AP=2x cm,BQ=x cm,则PB=AB-AP=(16-2x) cm.SPBQ=12BQBP,y=12x(
15、16-2x)=-x2+8x.点P的速度是2 cm/s,点Q的速度是1 cm/s,点P到达终点的时间是162=8(秒),点Q到达终点的时间是41=4(秒).一点到达终点时,另一点也随之停止运动,自变量x的取值范围为025,h=29.(2)由表格可知,m是p的一次函数,可得m=100p-20.当10t25时,p=150t-15,m=100150t-15-20=2t-40;当25t37时,p=-1160(t-h)2+0.4,m=100-1160(t-h)2+0.4-20=-58(t-29)2+20.(3)()当20t25时,由(20,200),(25,300),得W关于t的表达式为W=20t-200,提前m天上市可增加利润为600m+20030-W(30-m)=(40t2-600t-4000)元,当t=25时,增加的利润最大,最大值为6000元.()当25t37时,w=300,提前m天上市可增加的利润为600m+20030-W(30-m)=600-58(t-29)2+20+6000-300030+58(t-29)2-20=900-58(t-29)2+15000=-11252(t-29)2+15000.当t=29时,增加的利润最大,最大值为15000元.综上所述,当t=29时,提前上市20天,增加的利润最大为15000元.
