1、第六章 反比例函数,初中数学（北师大版）九年级 上册,知识点一 反比例函数图象的画法 反比例函数图象的画法(描点法) (1)列表:自变量的取值应以0为中心,在0的两边取三对(或三对以上)互 为相反数的数,并计算出相应的函数值. (2)描点:以表中各组对应值为坐标,描出各点. (3)连线:按照从左到右的顺序用平滑的曲线连接各点并延伸.注意自变 量x0,反比例函数的图象是断开的,延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋 势,但永远不与坐标轴相交.,注意 (1)自变量的取值范围是x0的一切实数; (2)必须用平滑的曲线连接各点,而不能用折线; (3)为了更好地反映图象的全貌,要尽可能多地取一些数,多描一些点.
2、知识拓展 反比例函数的图象是双曲线,双曲线具有对称性. (1)双曲线是轴对称图形,对称轴有两条,分别是直线y=x和直线y=-x; (2)双曲线是中心对称图形,对称中心是原点O.如果一个点P(a,b)在双曲 线的一支上,那么点P关于原点O中心对称的点必在双曲线的另一支上, 这个点的坐标为(-a,-b).,例1 画出反比例函数y= 与y=- 的图象.,解析 用描点法画出反比例函数的图象. (1)列表.,(2)描点. (3)连线.如图6-2-1,图6-2-2.图6-2-1,图6-2-2 点拨 用描点法画反比例函数的图象,列表时自变量应选取绝对值相等 而符号相反的数,并尽量多取一些数,连线时要连成平滑
3、的曲线,并注意 双曲线不过原点且与两坐标轴永不相交,但无限靠近坐标轴.,知识点二 反比例函数的图象和性质反比例函数y= (k0)的图象是双曲线,它有两个分支,这两个分支 分别位于第一、三象限或第二、四象限,它们关于原点对称.由于反比 例函数中的自变量x0,函数值y0,所以它的图象与x轴、y轴都没有交 点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远不与坐标轴相交.关于反比例函数的图象与性质归纳如下:,注意 (1)因为x0,y0,所以反比例函数的图象与y轴、x轴不可能有 交点.(2)反比例函数图象的位置和函数的增减性都是由比例系数k的符 号决定的;反过来,由双曲线所在位置或函数的增减性可以推出k的符
4、号. 如已知双曲线y= (k0)在第二、四象限,可知k0时,y随x的增大而增大 D.x0,所以 反比例函数y= 的图象的两个分支分别在第一、三象限内,且在每一象 限内,y的值随x值的增大而减小,故B,C项均错误,D项正确.,答案 D,点拨 本题还可以画函数图象的草图,利用数形结合思想求解.,注意 (1)掌握反比例函数解析式中比例系数k的几何意义过双曲 线上任一点向坐标轴作垂线,所围成矩形的面积为|k|.(2)若已知过双曲 线上某点向坐标轴作垂线所围矩形的面积,求反比例函数解析式时,还 应考虑双曲线所在象限,从而确定k的符号.,例3 如图6-2-4,已知矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的
5、正半轴 上,反比例函数y= (x0)的图象过边BC的中点E且与边AB交于点D,EM 垂直于x轴.若四边形OEBD的面积为2,求k的值.图6-2-4,解析 由k的几何意义可知SOEC=SOAD= , 因为点E在反比例函数y= (x0)的图象上, 所以S矩形OMEC=|k|,因为矩形OABC的边CB的中点是E, 所以矩形OABC的面积为2|k|. 所以 |k|+2+ |k|=2|k|,所以|k|=2. 由题图知k0,故k=2.,题型一 比较函数值的大小,例1 (2017河南中考)已知点A(1,m),B(2,n)在反比例函数y=- 的图象上, 则m与n的大小关系为 .,解析 解法一:把点A(1,m)
6、,B(2,n)分别代入y=- ,可得m=-2,n=-1,所以mn. 解法二:k=-20,双曲线位于第二、四象限,在每个象限内,y随x的增大而增大,012,mn.,答案 mn,点拨 比较函数值的大小常用的方法一般有三种:求值法,性质法,图象 法.求值法适用于系数k已知,自变量x已知,且计算简单的问题;性质法适 用于所给点在图象的同一个分支上,直接利用增减性比较;图象法比较 直观,只是画图象较为麻烦.,题型二 比例系数k的几何意义的运算,例2 如图6-2-5,点A是反比例函数y=- (x0)的图象上的一点,过点A作 ABCD,使点B,C在x轴上,点D在y轴上,则ABCD的面积为 ( )图6-2-5
7、 A.1 B.3 C.6 D.12,解析 过点A作AEOB于点E,如图6-2-6.图6-2-6 矩形ADOE的面积等于ADAE,ABCD的面积等于ADAE,ABCD 的面积等于矩形ADOE的面积. 矩形ADOE的面积为6,ABCD的面积为6,故选C.,答案 C,点拨 本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义,根据题意得出 ABCD的面积等于矩形ADOE的面积是解答本题的关键.,易错点 研究函数的增减性时不分象限,例 已知在反比例函数y= (a为常数)的图象上有A(-3,y1),B(-1,y2), C(2,y3)三点,则函数值y1,y2,y3的大小关系是 ( ) A.y2y3y1 B.y3y2
8、y1 C.y1y2y3 D.y3y12 B.k2 C.k2 D.k0,故k2.,3.(2018湖南怀化中考)函数y=kx-3与y= (k0)在同一坐标系内的图象 可能是 ( ),答案 B 直线y=kx-3与y轴交于点(0,-3),可排除A、D选项;由k的取值 符号是否一致(k0时,直线与双曲线都经过第一、三象限;k0时,直线与 双曲线都经过第二、四象限),可以排除C.故选B.,4.(2018江苏扬州中考)已知点A(x1,3),B(x2,6)都在反比例函数y=- 的图象 上,则下列关系式一定正确的是 ( ) A.x1x20 B.x10x2 C.x2x10 D.x20x1,答案 A 解法一:点A(
9、x1,3),B(x2,6)都在反比例函数y=- 的图象上, x1=-1,x2=- ,即有x1x20. 解法二:k=-30,图象位于第二象限或第四象限,在每一象限内,y随x 的增大而增大, 36,x1x20时,y随x的增大而减小 D.当x1时,y3,答案 D A.当x=3时,y=1,函数图象过点(3,1),故本选项正确; B.k=30,函数图象位于第一、三象限,故本选项正确; C.k=30,当x0时,y随x的增大而减小,故本选项正确; D.当x=1时,y=3,当x1时,0y3,故本选项错误. 故选D.,知识点三 反比例函数y= (k0)中比例系数k的几何意义,6.(2017贵州黔南州中考)反比例
10、函数y=- (x0)的图象如图6-2-1所示,则 矩形OAPB的面积是 ( )图6-2-1 A.3 B.-3 C. D.-,答案 A 点P在反比例函数y=- (x0)的图象上, 设P ,OA=-x,PA=- , S矩形OAPB=OAPA=-x =3,故选A.,7.(2019北京顺义期末)如图6-2-2,在平面直角坐标系xOy中,点A在反比例函数y=- 位于第二象限的图象上,过点A作ABx轴于点B,则SAOB= .图6-2-2,答案 2,解析 设点A的坐标为 ,ABx轴,OB=-a,AB=- , SAOB= =2.,8.如图6-2-3,点A是反比例函数y= 图象上一点,过点A作ABy轴于点B,
11、点C、D在x轴上,且BCAD,四边形ABCD的面积为3,则k= .图6-2-3,答案 -3,解析 设点A的坐标为(m,n), ABy轴,CDy轴,ABCD, 又BCAD,四边形ABCD为平行四边形. S平行四边形ABCD=ABOB=-mn=3,k=mn=-3.,1.已知反比例函数y= ,当-3x-1时,y的取值范围是 ( ) A.y0 B.-3y-1 C.-6y-2 D.2y0,在每个象限内y随x的增大而减小,又当x=-3时, y=-2,当x=-1时,y=-6,当-3x-1时,-6y-2.故选C.,2.(2015贵州黔东南州中考)若ab0)的图象上, 过点C的直线与x轴,y轴分别交于点A、B,
12、且AB=BC,AOB的面积为1. 则k的值为 ( )图6-2-4 A.1 B.2 C.3 D.4,答案 D 如图,过点C作CDx轴于点D,连接OC.由CDOB得ABO ACD, = ,AB=BC,AO=OD,故SABO=SBOC=1,SAOC=SCOD= 2,又因为SCOD= ,所以 =2,即k=4,故选D.,2.已知反比例函数y= (k0),当自变量x满足 x2时,对应的函数值y 满足 y1,则k的值为 ( ) A. B. C.2 D.4,答案 A 当自变量x满足 x2时,对应的函数值y满足 y1, 若当x= 时,y= ,则k= ,反比例函数的解析式为y= ,把x=2代入,得y= 1, 不合
13、题意;若当x= 时,y=1,则k= ,反比例函数的解析式为y= ,把x=2代入, 得y= ,符合题意.故选A.,答案 C 正比例函数y=kx与反比例函数y=- 的图象的交点关于原 点对称,设A点坐标为 , 则B点坐标为 ,C ,SABC= (-2x-x) = (-3x)=6.故选C.,4.如图6-2-6,在平面直角坐标系中,过点M(-3,2)分别作x轴、y轴的垂线, 与反比例函数y= 的图象交于A、B两点,则四边形MAOB的面积为 .图6-2-6,解析 如图,设MA与x轴交于点C,MB与y轴交于点D.由题意可知点A的 坐标为 ,点B的坐标为(2,2),则点C的坐标为(-3,0),点D的坐标为
14、(0,2), S四边形MAOB=S矩形MCOD+SACO+SBDO =32+ 3 + 22 =6+2+2=10.,答案 10,5.如图6-2-7,已知反比例函数y= (k10),y= (k20)的图象与矩形OABC的边AB,BC分别 交于点E,F且AE=BE,求OEF的面积.图6-2-8,答案 B AC=m-1,CQ=n,则S四边形ACQE=ACCQ=(m-1)n=mn-n. P(1,4)、Q(m,n)在函数y= (x0)的图象上, mn=k=4(常数). S四边形ACQE=4-n, 当m1时,n随m的增大而减小, S四边形ACQE=4-n随m的增大而增大.故选B.,2.(2016甘肃兰州中考
15、)如图,A、B两点在反比例函数y= 的图象上,C、 D两点在反比例函数y= 的图象上,ACx轴于点E,BDx轴于点F,AC= 2,BD=3,EF= ,则k2-k1= ( )A.4 B. C. D.6,答案 A 解法一:连接AO、CO、DO、BO.由反比例函数图象所在象限可知,k10. SAOC=SAOE+SEOC, + = ACOE, AC=2, = 2OE,OE= . SBOD= SDOF+SBOF, + = BDOF,BD=3, = 3OF, OF= .OE+OF=EF= , + = ,解得k2-k1=4.故选A.,解法二:设A ,B ,则C ,D , 根据题意得 解得k2-k1=4.故选
16、A.,3.(2016广西南宁中考)如图所示,反比例函数y= (k0,x0)的图象经过 矩形OABC的对角线AC的中点D.若矩形OABC的面积为8,则k的值为 .,答案 2,解析 过D作DEOA于E,设D ,OE=m,DE= .点D是矩形 OABC的对角线AC的中点,OA=2m,OC= ,矩形OABC的面积为8, OAOC=2m =8,k=2.,4.(2016湖北荆门中考)如图,已知点A(1,2)是反比例函数y= 图象上的一点,连接AO并延长交双曲线的另一支于点B,点P是x轴上一动点,若PAB是等腰三角形,则点P的坐标是 .,答案 (-3,0)或(5,0)或(3,0)或(-5,0),解析 反比例
17、函数y= 的图象关于原点对称,A、B两点关于O对称, O为AB的中点,且B(-1,-2). 当PAB为等腰三角形时,有PA=AB或PB=AB,设P点坐标为(x,0), A(1,2),B(-1,-2), AB= =2 ,PA= ,PB=,当PA=AB时, =2 ,解得x=-3或5, 此时P点坐标为(-3,0)或(5,0);当PB=AB时, =2 ,解 得x=3或-5,此时P点坐标为(3,0)或(-5,0).综上可知,P点的坐标为(-3,0)或 (5,0)或(3,0)或(-5,0).,一、选择题 1.(2019北京平谷期末,4,)已知A(-2,y1),B(-1,y2)是反比例函数y= 图象上的两个
18、点,则y1与y2的大小关系是 ( ) A.y1y2 D.y1y2,答案 C 反比例函数y= ,k=20,图象在第一、三象限,且在每个 象限内,y随x的增大而减小, A(-2,y1),B(-1,y2)是反比例函数y= 图象上的两个点,且-2y2,故 选C.,2.(2019天津南开期末,6,)若点(x1,y1),(x2,y2)都是反比例函数y=- 图象上的点,并且y1x2 B.x10,则一次函数图象经过第一、二、三象限,所 以C选项正确; D.由反比例函数图象得m0)的图象与AB相交于点D,与BC相交于点E,若BD=3AD,且ODE的面积是12,则k= ( )A.6 B.9 C. D.,答案 D
19、四边形OCBA是矩形, AB=OC,OA=BC, 设B点的坐标为(a,b), BD=3AD,D , D、E在反比例函数的图象上, =k, 设E的坐标为(a,y),ay=k,E , SODE=S矩形OCBA-SAOD-SOCE-SBDE=ab- k- k- =12, 4k-k- + =12,k= ,故选D.,答案 C A、B是反比例函数y= 图象上的点, SOBD=SOAC= . P是y= 的图象上一动点, S矩形PDOC=4, S四边形PAOB=S矩形PDOC-SODB-SOAC=4- - =3. 如图,连接OP,则 = = =4, AC= PC,PA= PC, =3,AC= AP.,同理,P
20、B= DP,故当P的横、纵坐标相等时,PA=PB. 综上所述,正确的结论有.故选C.,4.(2017陕西西安模拟,13,)如图,双曲线y= (x0)经过OAB的顶 点A和OB的中点C,ABx轴,点A的坐标为(2,3),则OAC的面积是 .,C为OB的中点, = , = = , A,C都在双曲线y= 上, SOCN=SAOM=3, 由 = ,得SAOB=9, 则AOC的面积= SAOB= .,5.(2019内蒙古巴彦淖尔临河期末,13,)如图,函数y=-x与函数y=- 的图象相交于A,B两点,过A,B两点分别作y轴的垂线,垂足分别为点C,D, 则四边形ACBD的面积为 .,一、选择题 1.(20
21、18黑龙江哈尔滨中考,9,)已知反比例函数y= 的图象经 过点(1,1),则k的值为 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2,答案 D 将点(1,1)代入反比例函数解析式,得2k-3=1,解得k=2.,2.(2018山东威海中考,3,)若点(-2,y1),(-1,y2),(3,y3)在双曲线y= (k0)上,则y1,y2,y3的大小关系是 ( ) A.y1y2y3 B.y3y2y1 C.y2y1y3 D.y3y1y2,答案 D 如图,反比例函数y= (k0)的图象位于第二、四象限,在每个 象限内,y随x的增大而增大,而-2-103,y3y1-1时, y8.其中错误的结论有 个. ( ) A.
22、3 B.2 C.1 D.0,答案 B 把(-2,4)代入y=- ,成立,故正确;k=-88,而当x0时,y0,则m7. (2)设线段AB与x轴的交点为C,点A的坐标为(x0,y0). 点B与点A关于x轴对称,OAB的面积为6, SAOC=SOBC= SOAB=3, SAOC= x0y0=3,x0y0=6, 点A在反比例函数y= 的图象上, y0= ,x0y0=m-7,m-7=6, m=13.,解析 (1)A(1,4),B(4,m)是函数y= (x0)图象上的两点, 4= ,k1=4,y= (x0),m= =1. 函数y= (x0)的图象与函数y= (x0)的图象关于y轴对称, 点A(1,4)关
23、于y轴的对称点A1(-1,4)在函数y= (x0)的图象上, 4= ,k2=-4,y=- (x0). 点C(-2,n)是函数y=- (x0)绕原 点O逆时针旋转45得到的图形,P是曲线C2上任意一点,点A在直线l:y=x 上,且PA=PO,则POA的面积等于 ( )A. B.6 C.3 D.12,答案 B 如图,根据题意,将曲线C2连同POA以原点O为中心顺时针 旋转45,则点P位于C1上,点A位于x轴上,对应点分别为P,A,且POA POA.过点P作PDOA,垂足为D,由等腰三角形的性质可知POD PAD,再由反比例函数的几何意义可知SPOD=3, SPOA=SPOA=2SPOD=6.,4.
24、(2016吉林中考,22,)如图,在平面直角坐标系中,反比例函数y= (x0)的图象上有一点A(m,4),过点A作ABx轴于点B,将点B向右平移2 个单位长度得到点C,过点C作y轴的平行线交反比例函数的图象于点D, CD= .(7分) (1)点D的横坐标为 (用含m的式子表示); (2)求反比例函数的解析式.,解析 (1)m+2. (2)CD= ,点D的坐标为 . 点A(m,4),点D 均在函数y= 的图象上, 4m= (m+2). m=1. k=4m=41=4. 反比例函数的解析式为y= .,5.(2014广东茂名中考,22,)如图,矩形OABC的边OA、OC分别在x 轴、y轴的正半轴上,且
25、OA=3,OC=2,将矩形OABC向上平移4个单位得到 矩形O1A1B1C1. (1)若反比例函数y= 和y= 的图象分别经过点B、B1,求k1和k2的值; (2)将矩形O1A1B1C1向左平移得到矩形O2A2B2C2,当点O2、B2在反比例函 数y= 的图象上时,求平移的距离和k3的值.,1.(2018湖北黄石模拟)如图6-2-13,在反比例函数y= (x0)的图象上有 点P1,P2,P3,P4,它们的横坐标依次为2,4,6,8,分别过这些点作x轴与y 轴的垂线,图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为S1,S2,S3, Sn,则S1+S2+S3+Sn= (用含n的代数式表示).图6-2-
26、13,2.如图6-2-14,反比例函数y= 的图象与直线y=x+m在第一象限交于点P (6,2),A,B为直线上的两点,点A的横坐标为2,点B的横坐标为3.D,C为反比 例函数图象上的两点,且AD、BC都平行于y轴. (1)直接写出k,m的值; (2)求梯形ABCD的面积.图6-2-14,解析 (1)k=12,m=-4. (2)把x=2代入y= ,得y=6.D(2,6). 把x=2代入y=x-4,得y=-2.A(2,-2). DA=6-(-2)=8. 把x=3代入y= ,得y=4.C(3,4). 把x=3代入y=x-4,得y=-1.B(3,-1). BC=4-(-1)=5. S梯形ABCD= 1= .,1.学习了一次函数、二次函数、反比例函数后,爱钻研的小敏尝试用同 样的方法研究函数y= ,从而得出以下命题: (1)当x0时,y的值随着x的增大而减小; (2)y的值有可能等于3; (3)当x0时,y的值随着x的增大越来越接近3; (4)当y0时,x0或x0时,y的值随着x的增大而减小; (2)3x+13x,y的值不可能为3;(3)y= =3+ ,当x0时,y的值随 着x的增大越来越接近3;(4)当y0时,可得 或 解得x0 或xy2时,试比较x1与x2的大小.,
