1、第 84 讲 绝对值不等式的解法及其应用1(2018全国卷)设函数 f(x)5|xa|x2|.(1)当 a1 时，求不等式 f(x)0 的解集；(2)若 f(x)1，求 a 的取值范围(1)当 a1 时，f(x) .2,61,-4x可得 f(x)0 的解集为 x|2x3(2)f(x)1 等价于|xa|x2| 4.而|x a|x2|a2|，且当 x2 时等号成立故 f(x) 1 等价于 |a2|4.由|a 2|4 可得 a6 或 a2.所以 a 的取值范围是( ，6 2，)2(2018广州一模)已知函数 f(x)2|xa|3xb|.(1)当 a1，b0 时，求不等式 f(x)3|x|1 的解集；
2、(2)若 a0，b0，且函数 f(x)的最小值为 2，求 3ab 的值(1)当 a1，b0 时，不等式 f(x)3|x|1，即为 2|x1| 3|x|3|x|1，即|x 1| ，12所以 x1 或 x1 .12 12所以 x 或 x .32 12所以所求不等式的解集为x|x 或 x 32 12(2)因为 a0，b0，所以 a.b3所以 f(x)2|x a|3x b| ,325,bxax可知 f(x)在( ， 单调递减，在 ，)单调递增，b3 b3所以 f(x)minf( ) 2.b3 6a 2b3所以 3ab3.3(2017广东肇庆第三次统测) 已知函数 f(x)| x1|，g(x)2|x|a
3、.(1)若 a0，解不等式 f(x)g( x)；(2)若存在 xR，使得 f(x)g(x)成立，求实数 a 的取值范围(1)当 a0 时，由 f(x)g( x)，得|x 1|2|x |，两边平方，并整理得(3x1)(1x) 0，所以所求不等式的解集为x| x113(2)由 f(x)g(x)，得|x 1|2|x |a，即|x 1|2|x|a，令 F(x)| x1|2|x|，依题意，可得 F(x)maxa.F(x)|x1| 2|x|Error!易知 F(x)在( ，0) 上单调递增，在(0 ，)上单调递减，所以当 x0 时，F (x)取得最大值，最大值为 1.所以 a 的取值范围为(， 14(20
4、17湖北黄冈三月调研) 已知函数 f(x)|2 xa|2 x1|(aR )(1)当 a1 时，求 f(x)2 的解集；(2)若 f(x)|2x 1|的解集包含集合 ，1，求实数 a 的取值范围12(1)当 a1 时，f (x)|2x1| |2x1|，(方法 1)f(x)2 |2x1|2 x1|2.原不等式等价于：Error!或Error!或Error!即Error!或Error!或Error!所以原不等式的解集为x| 1x 12(方法 2)f(x)2 |x | x |1.12 12上述不等式的几何意义为数轴上的点 x 到两点 ， 距离之和小于或等于 1，12 12则 x ，12 12所以原不等
5、式的解集为 ， 12 12(2)因为 f(x)|2x 1| 的解集包含 ，1，12所以当 x ，1时，不等式 f(x)|2 x1|恒成立，12所以当 x ，1时，|2xa|2x 12x1 恒成立，12所以 2x2a2x 2 在 x ，1上恒成立12所以(2x 2) maxa(2x 2) min(x ，1)12所以 0a3.5(2018全国卷)设函数 f(x)|2x1|x 1|.(1)画出 yf(x)的图象；(2)当 x0 ， )时，f(x) axb，求 ab 的最小值(1)f(x) .1,3,2-,1,xxyf(x)的图象如图所示(2)由(1)知，yf(x)的图象与 y 轴交点的纵坐标为 2，
6、且各部分所在直线斜率的最大值为 3，故当且仅当 a3 且 b2 时，f(x) axb 在0 ，) 成立，因此 ab 的最小值为 5.6(2017全国卷)已知函数 f(x)|x1| |x2|.(1)求不等式 f(x)1 的解集；(2)若不等式 f(x)x 2xm 的解集非空，求 m 的取值范围(1)f(x)Error!当 x1 时，f( x)1 无解；当1x2 时，由 f(x)1，得 2x11，解得 1x 2；当 x2 时，由 f(x)1 解得 x2.所以 f(x)1 的解集为x |x1(2)(方法一 )f(x)x 2x m，即 m| x1| x2|x 2x 有解令 g(x)|x1| x2| x 2 x.下面只要求 g(x)的最大值g(x)Error!当 x1 时，g( x)maxg(1)5.1x2 时，x (1,2) ，32g(x)max 1 .94 92 54当 x2 时，g(x) maxg(2) 451.综上，g(x) max .54所以 m 的取值范围为(， 54(方法二) 由 f(x)x 2x m 得m|x1| |x2|x 2x.而|x 1|x2|x 2x|x |1|x|2x 2|x |(| x| )2 ，32 54 54且当 x 时，|x1| |x 2|x 2x .32 54故 m 的取值范围为(， 54
