1、第 2 课时 利用导数研究函数的最值学习目标 1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值知识点 函数的最值如图为 yf(x) ，x a，b的图象思考 1 观察a，b上函数 y f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值答案 极大值为 f(x1)，f(x 3)，极小值为 f(x2)，f(x 4)思考 2 结合图象判断，函数 yf (x)在区间a，b 上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？答案 存在，f(x )minf(a)，f(x) maxf(x 3)梳理 (1)函数 f(x)在闭区间 a，b上的最值函数 f(x)在闭区间a，b上的图象是一条连续不断
2、的曲线，则该函数在a，b 上一定能够取得最大值与最小值，若函数在(a，b) 上是可导的，函数的最值必在 区间端点处或极值点处取得(2)求可导函数 yf(x )在a，b 上的最值的步骤求函数 yf(x )在( a，b)内的极值；将函数 yf(x )的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是 最大值，最小的一个是最小值(3)函数在开区间(a，b)上的最值在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值与最小值；若函数 f(x)在开区间 I 上只有一个极值，且是极大( 小)值，则这个极大( 小)值就是函数 f(x)在区间 I 上的最大(小) 值(4)极值与最值的意义最值是在区间a
3、，b上的所有函数值中相比较最大(小) 的值；极值是在区间(a，b)上的某一个 x0 附近相比较最大(小)的函数值(1)函数在给定区间上的极大值就是最大值( )(2)函数在闭区间上一定有最值，在开区间上不一定存在最值( )(3)函数在闭区间上的最值不一定是极值，但在开区间上的最值一定是极值( )类型一 求函数的最值命题角度 1 不含参数的函数最值问题例 1 求下列函数的最值：(1)f(x)2x 312x，x 2,3；(2)f(x) xsin x ，x0,212解 (1)f(x) 2x 312x，所以 f(x) 6x 2126( x )(x )，2 2令 f(x )0，解得 x 或 x .2 2因
4、为 f(2) 8 ，f(3)18，f( )8 ，2 2f( ) 8 ，2 2所以当 x 时， f(x)取得最小值8 ；2 2当 x3 时，f(x)取得最大值 18.(2)f(x) cos x ，x0,2，令 f( x)0，12解得 x 或 x .23 43因为 f(0)0，f(2) ，f ，(23) 3 32f ，(43) 23 32所以当 x0 时，f( x)有最小值 f(0)0；当 x2 时，f(x) 有最大值 f(2).反思与感悟 求可导函数最值的四个步骤(1)求函数的定义域(2)求 f(x) ，解方程 f( x) 0.(3)列出关于 x，f(x )，f(x )的变化表(4)求极值、端点
5、值，确定最值跟踪训练 1 求函数 f(x)e x(3x 2)，x 2,5的最值考点 利用导数求函数的最值题点 不含参数的函数求最值解 f(x) 3e xe xx2，f(x )3e x(e xx22e xx)e x(x22x3)e x(x3)(x 1) 在区间2,5上，f ( x)e x(x3)(x1)0，即 0，x 变化时，f(x )，f(x)的变化情况如下表：x 1 (1,0) 0 (0,2) 2f(x ) 0 f(x) 7ab b 16ab由表可知，当 x0 时，f( x)取得极大值 b，也是函数 f(x)在1,2上的最大值，f (0)b3.又 f(1)7 a3，f(2)16a3f(1)
6、，f(2)16a293，解得 a2.综上可得，a2，b3 或 a2，b29.反思与感悟 已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围) 是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题其中注意分类讨论思想的应用跟踪训练 3 已知函数 f(x)2x 36x 2a 在2,2上有最小值37，求 a 的值及 f(x)在2,2上的最大值考点 含参数的函数的最值问题题点 已知最值求参数解 f(x) 6x 212x 6x (x 2)，令 f(x )0，得 x0 或 x 2，则当 x(2,0)时，f(x)0，f (x)单调递增，当 x(0,2
7、)时，f(x )0，f(x)单调递减，又 f(2)40 a，f(2)8a，所以当 x2 时，f( x)min40a37，得 a3.当 x0 时，f(x)的最大值为 3.类型三 与最值有关的恒成立问题例 4 设 f(x)ln x ，g( x)f(x)f ( x)(1)求 g(x)的单调区间和最小值；(2)求 a 的取值范围，使得 g(a)g(x)0 成立1a考点 函数最值的应用题点 恒成立中参数的取值范围解 (1)由题设知 f(x)的定义域为(0 ，)，f(x) ，所以 g(x)ln x ，1x 1x所以 g(x) .x 1x2令 g(x) 0，得 x1，当 x(0,1)时，g(x)0，故(1，
8、) 是 g(x)的单调递增区间因此 x1 是 g(x)在(0 ，)上的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为 g(1)1.(2)因为 g(a)g(x)0 成立，1a即 ln a0 成立由(1)知，g(x) 的最小值为 1，所以 ln a0 ，2，则函数 yxsin x 在区间 上为增函数，2，所以 yxsin x 的最大值为 ymaxsin ，故选 C.3函数 f(x)x 33ax a 在(0,1)内有最小值，则 a 的取值范围是( )A0,1) B(0,1)C(1,1) D.(0，12)考点 函数最值的应用题点 最值存在性问题答案 B解析 f(x)3x 23a，令 f( x)
9、0，可得 ax 2，a0，又函数在(0,1)上有最小值，00，即 f(x)在1,2上是增函数，f(x)在1,2 上的最大值为 f(2)22 3c20，c4.5已知函数 f(x)2ln x (a0)，若当 x(0 ，)时， f(x)2 恒成立，则实数 a 的取值ax2范围是_考点 函数最值的应用题点 恒成立中参数的取值范围答案 e ，)解析 由 f(x)2，得 a2x 22x 2ln x.令 g(x)2x 2 2x2ln x，则 g(x) 2x(12ln x)，由 g(x) 0，得 x 或 x0(舍去) ，12e当 00，g( x)单调递增，12e当 x 时，g(x)0)ln x x ln xx
10、x2 1 ln xx2解得 xe.当 xe 时，y0，所以 y 极大值 yError! ，且在定义域(0，)内只有一个极值，1e所以 ymax .1e2函数 yf(x)在a，b上( )A极大值一定比极小值大B极大值一定是最大值C最大值一定是极大值D最大值一定大于极小值考点 最值与极值的关系题点 最值与极值的关系答案 D解析 由函数的最值与极值的概念可知，yf (x)在a，b 上的最大值一定大于极小值3已知函数 f(x)，g(x)均为a，b上的可导函数，在a，b上连续且 f(x)0 时，y 0；当 x32 32Cm Dm 0 时，x ，f(x) 0，0，2从而 f(x)在 上单调递增，0，2又函
11、数在图象上是连续不断的，故函数 f(x)在 上的最大值为 f a ，0，2 (2) 2 32 32解得 a1，故选 B.7若函数 f(x)x 36bx 3b 在(0,1)内有最小值，则实数 b 的取值范围为( )A(0,1) B(，1)C(0，) D.(0，12)考点 函数最值的应用题点 最值存在性问题答案 D解析 由题意得函数 f(x)x 36bx3b 的导数 f(x) 3x 26b 在(0,1) 内有零点，且 f(0)0 即6b0 ，00)y2t .1t 2t2 1t 2(t 22)(t 22)t当 0 时，y0，可知 y 在 内单调递增22 ( 22， )故当 t 时，y 取极小值也为最
12、小值，22即|MN |有最小值二、填空题9函数 f(x)x 33x 29x a，x2,2的最小值为 2，则 f(x)的最大值为_考点 含参数的函数的最值问题题点 含参数的函数求最值答案 25解析 求导函数可得f(x)3x 26x 93(x1)(x3)，令 f(x )3x 26x 90，解得 x1 或 3.当 x2，1)时，f(x)0 ，函数单调递增，函数在 x1 处取得极小值也为最小值，在 x2 或 x2 处取得最大值f(1)5 a2，a 3，f(2) 2a5，f(2)22a25，函数的最大值为 25.10已知 a0，若函数 f(x) 在1,1上的最大值为 2，则实数 a 的值为_x 12x2
13、 a考点 含参数的函数的最值问题题点 已知最值求参数答案 1解析 求导得 f(x ) ，2x 1a xx2 a2令 f(x )0，可得 x1 或 xa，又 f(1)0， f(a)1 ，f(1) ，1a 41 a若 1 2，则有 a1；若 2，则也有 a1，1a 41 a因此 a1.11已知 f(x)xe x，g(x) (x1) 2a，若x 1，x 2R ，使得 f(x2)g(x 1)成立，则实数 a 的取值范围是_考点 函数最值的应用题点 恒成立中参数的取值范围答案 1e， )解析 f(x) e xxe xe x(1 x)，当 x1 时，f(x )0，函数 f(x)单调递增；当 x0，即当 x
14、3 时，f( x)取极小值 f(3)9.又 f(1)1，f(5) 15，f(x)在1,5上的最小值是 f(3)9，最大值是 f(5)15.13已知函数 f(x)xln x.(1)求 f(x)的最小值；(2)若对所有的 x1 都有 f(x)ax1，求实数 a 的取值范围考点 函数最值的应用题点 恒成立中参数的取值范围解 (1)f(x) 的定义域为 (0，)，f(x)1ln x，令 f(x )0，解得 x ；1e令 f(x )1 时，g(x)0，故 g(x)在(1，)上是增函数，所以 g(x)的最小值是 g(1)1.因此 ag(x) ming(1)1，故 a 的取值范围为(，1四、探究与拓展14设
15、 f(x)Error!若 f(0)是 f(x)的最小值，则 a 的取值范围是_考点 题点 答案 (，2解析 由题意知，当 x0 时，f (x)的极小值为 f(1)2，当 x0 时，f(x)f(0)a，f(0) 是 f(x)的最小值，则 a2.15已知函数 f(x)x 3ax 2 bxc(a，b，cR )(1)若函数 f(x)在 x1 和 x3 处取得极值，试求 a，b 的值；(2)在(1)的条件下，当 x2,6时，f(x)2|c|恒成立，求 c 的取值范围考点 题点 解 (1)f(x) 3x22axb.函数 f(x)在 x1 和 x3 处取得极值，1,3 是方程 3x22ax b0 的两根Error!Error!(2)由(1)知 f(x)x 33x 29xc，f (x) 3x 26x9，令 f(x )0，得 x1 或 x3.当 x2,6时，f(x )，f(x )随 x 的变化如下表：x 2 (2，1) 1 ( 1,3) 3 (3,6) 6f(x) 0 0 f(x) c2 极大值c5 极小值c 27 c54当 x2,6时，f(x )的最大值为 c54，要使 f(x)2|c|恒成立，只要 c542|c |即可，当 c0 时，c542c ，c54；当 c0 时，c542c ， c18.c( ，18)(54，)
