1、5.3.2 第1课时 函数的极值 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解极大值、 极小值的概念 (难点) 2了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(重点、易混点) 3会用导数求函数的极大值、极小值(重点) 1.通过极值点与极值概念的学习，体现了数学抽象的核心素养 2借助函数极值的求法，提升学生的逻辑推理、数学运算的核心素养. 1极值点与极值 (1)极小值点与极小值 若函数yf (x)在点xa的函数值f (a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f (a)_，而且在点 xa 附近的左侧_， 右侧_， 就把点 a 叫做函数 yf (x)的极小值点，_叫做函数 yf (x)的极小值 0 f (
2、x)0 f (x)0 f (a) 【新知初探】 (2)极大值点与极大值 若函数yf (x)在点xb的函数值f (b)比它在点xb附近其他点的函数值都大， f (b)_， 而且在点 xb 附近的左侧_，右侧_，就把点 b 叫做函数 yf (x)的极大值点，_叫做函数 yf (x)的极大值 (3)极大值点、极小值点统称为_；极大值、极小值统称为_ 0 f (x)0 f (x)0 f (b) 极值点 极值 思考：导数为 0 的点一定是极值点吗？ 提示 不一定，如 f (x)x3，f (0)0， 但 x0 不是 f (x)x3的极值点所以，当 f (x0)0 时，要判断 xx0是否为 f (x)的极值
3、点，还要看 f (x)在 x0两侧的符号是否相反 2求可导函数 yf (x)的极值的方法 解方程 f (x)0，当 f (x0)0 时： (1)如果在 x0附近的左侧 f (x)0，右侧 f (x)0，那么 f (x0)是_； (2)如果在 x0附近的左侧 f (x)0，右侧 f (x)0，那么 f (x0)是_ 极大值 极小值 1判断正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)极大值一定比极小值大( ) (2)每一个函数都至少有一个极大值或极小值( ) (3)若 f (x0)0，则 x0一定是极值点( ) (4)单调函数不存在极值( ) 【初试身手】 提示 (1)极大值不一定比极小值大，(1)
4、错误； (2)有的函数可能没有极值(2)错； (3)若 f (x0)0，只有导函数的变号零点，x0才是极值点，故(3)错误； (4)正确 答案 (1) (2) (3) (4) 2函数 f (x)的定义域为 R，导函数 f (x)的图象如图所示， 则函数 f (x)( ) A无极大值点，有四个极小值点 B有三个极大值点，两个极小值点 C有两个极大值点，两个极小值点 D有四个极大值点，无极小值点 C 设 yf (x)的图象与 x 轴的交点从左到右横坐标依次为 x1，x2，x3，x4，则 f (x)在 xx1，xx3处取得极大值，在 xx2，xx4处取得极小值 3(多选题)下列四个函数中，在 x0
5、处取得极值的函数是( ) Ayx3 Byx21 Cy|x| Dy2x BC 对于 A，y3x20，yx3单调递增，无极值；对于 B，y2x，x0 时 y0，x0 时 y0，x0 为极值点；对于C，根据图象，在(0，)上单调递增，在(，0)上单调递减，C 符合；对于 D，y2x单调递增，无极值故选 BC. 4函数 f (x)x2cos x 在0，2上的极大值点为( ) A0 B6 C3 D2 B f (x)12sin x令 f (x)0，x0，2， x6，x6，2时 f (x)0，x0，6时，f (x)0. x6是 f (x)在0，2上的极大值点 类型一 不含参数的函数求极值 【例 1】 求下列
6、函数的极值： (1)yx33x29x5； (2)yx3(x5)2. 【合作探究】 解 (1)y3x26x9， 令 y0，即 3x26x90，解得 x11，x23. 当 x 变化时，y，y 的变化情况如下表： x (，1) 1 (1，3) 3 (3，) y 0 0 y 极大值 极小值 当 x1 时，函数 yf (x)有极大值，且 f (1)10； 当 x3 时，函数 yf (x)有极小值，且 f (3)22. (2)y3x2(x5)22x3(x5)5x2(x3)(x5) 令 y0，即 5x2(x3)(x5)0，解得 x10，x23，x35. 当 x 变化时，y与 y 的变化情况如下表： x (，
7、0) 0 (0，3) 3 (3，5) 5 (5，) y 0 0 0 y 无极值 极大值 108 极小值 0 x0 不是 y 的极值点； x3 是 y 的极大值点，y极大值f (3)108； x5 是 y 的极小值点，y极小值f (5)0. 【规律方法】 一般地，求函数 yfx的极值的步骤 1求出函数的定义域及导数 fx； 2解方程 fx0，得方程的根 x0可能不止一个； 3用方程 fx0 的根， 顺次将函数的定义域分成若干个开区间，可将 x，fx，fx在每个区间内的变化情况列在同一个表格中； 4由 fx在各个开区间内的符号，判断 fx在 fx0 的各个根处的极值情况： 如果左正右负，那么函数
8、fx在这个根处取得极大值； 如果左负右正，那么函数 fx在这个根处取得极小值； 如果导数值在这个根左右两侧同号，那么这个根不是极值点. 跟进训练 1求函数 f (x)3x33x1 的极值 解 f (x)9x23，令 f (x)0，得 x133，x233. 当 x 变化时，f (x)，f (x)的变化情况如下表： x ，33 33 33，33 33 33， f (x) 0 0 f (x) 极大值 极小值 根据上表可知 x133为函数 f (x)3x33x1 的极大值点， 极大值为 f 3312 33； x233为函数 f (x)3x33x1 的极小值点， 极小值为 f 3312 33. 类型二
9、含参数的函数求极值 【例2】 已知函数f (x)16x320ax28a2xa3， 其中a0，求 f (x)的极值 解 f (x)16x320ax28a2xa3，其中 a0， f (x)48x240ax8a28(6x25axa2)8(2xa)(3xa)， 令 f (x)0，得 x1a2，x2a3. x ，a3 a3 a3，a2 a2 a2， f (x) 0 0 f (x) 极大值 极小值 当 xa3时，函数 f (x)取得极大值，为 f a3a327； 当 xa2时，函数 f (x)取得极小值，为 f a20. 当 a0 时，a3a2，则随着 x 的变化，f (x)，f (x)的变化情况如下表：
10、 当 a0 时，a2a3，则随着 x 的变化，f (x)，f (x)的变化情况如下表： x ，a2 a2 a2，a3 a3 a3， f (x) 0 0 f (x) 极大值 极小值 当 xa2时，函数 f (x)取得极大值，为 f a20； 当 xa3时，函数 f (x)取得极小值，为 f a3a327. 综上，当 a0 时，函数 f (x)在 xa3处取得极大值a327， 在 xa2处取得极小值 0； 当 a0 时，函数 f (x)在 xa2处取得极大值 0， 在 xa3处取得极小值a327. 【规律方法】 函数极值的注意点 1求函数的极值需严格按照求函数极值的步骤进行， 重点考虑两个问题：一
11、是函数的定义域，注意判断使导数值为 0 的点是否在定义域内，如果不在定义域内，需要舍去；二是检查导数值为 0 的点的左右两侧的导数值是否异号，若异号，则该点是极值点，否则不是极值点. 2求解析式中含有参数的函数极值时，有时需要用分类讨论的思想才能解决问题.讨论的依据有两种：一是看参数是否对 fx的零点有影响，若有影响，则需要分类讨论；二是看 fx在其零点附近的符号的确定是否与参数有关， 若有关， 则需要分类讨论. 跟进训练 2若函数 f (x)xaln x(aR)，求函数 f (x)的极值 解 函数 f (x)的定义域为(0，)，f (x)1axxax. (1)当 a0 时，f (x)0，函数
12、 f (x)在(0，)上单调递增，函数 f (x)无极值 (2)当 a0 时，令 f (x)0，解得 xa. 当 0 xa 时，f (x)0；当 xa 时，f (x)0. f (x)在 xa 处取得极小值，且 f (a)aaln a，无极大值 综上可知，当 a0 时，函数 f (x)无极值； 当 a0 时，函数 f (x)在 xa 处取得极小值 aaln a，无极大值 类型三 由极值求参数的值或取值范围 【例 3】 (1)已知函数 f (x)x3ax2bxa2在 x1 处取极值 10，则 a( ) A4 或3 B4 或11 C4 D3 (2)若函数 f (x)12x2(a1)xaln x 没有
13、极值，则( ) Aa1 Ba0 Ca1 D1a0 (1)C (2)A (1)f (x)x3ax2bxa2，f (x)3x22axb. 由题意得 f132ab0，f11aba210，即 2ab3，aba29， 解得 a3b3，或 a4，b11， 当 a3b3，时，f (x)3x26x33(x1)20， 故函数 f (x)单调递增，无极值，不符合题意a4.故选 C. (2)f (x)(x1)ax1 ，x0，当 a0 时，ax10， 令 f (x)0，得 0 x1；令 f (x)0，得 x1. f (x)在 x1 处取极小值 当 a0 时，方程ax10 必有一个正数解 xa， 若 a1， 此正数解为
14、 x1， 此时 f (x)x12x0，f (x)在(0，)上单调递增，无极值 若 a1，此正数解为 x1，f (x)0 必有 2 个不同的正数解，f (x)存在 2 个极值综上，a1.故选 A. 【规律方法】 已知函数极值求参数的方法 对于已知可导函数的极值求参数的问题， 解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为 0，极值点两侧的导数值异号. 1已知可导函数的极值求参数问题的解题步骤： 求函数的导数 fx； 由极值点的导数值为 0，列出方程组，求解参数. 注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件. 2对于函数无极值的问题，往往转化为 fx0 或 fx0 在某区间内恒成立的问题，此
15、时需注意不等式中的等号是否成立. 跟进训练 3若 x2 是函数 f (x)x(xm)2的极大值点，求函数 f (x)的极大值 解 f (x)(xm)(3xm)，且 f (2)0， (m2)(m6)0，即 m2 或 m6. (1)当 m2 时，f (x)(x2)(3x2)， 由 f (x)0 得 x23或 x2；由 f (x)0 得23x2. x2 是 f (x)的极小值点，不合题意，故 m2 舍去 (2)当 m6 时，f (x)(x6)(3x6)， 由 f (x)0 得 x2 或 x6； 由 f (x)0 得 2x6. x2 是 f (x)的极大值，f (2)2(26)232. 即函数 f (
16、x)的极大值为 32. 类型四 极值问题的综合应用 探究问题 1如何画出函数 f (x)2x33x236x16 的大致图象 提示 f (x)6x26x366(x2x6)6(x3)(x2) 由 f (x)0 得 x2 或 x3， 函数 f (x)的递增区间是(，2)和(3，) 由 f (x)0 得2x3，函数 f (x)的递减区间是(2，3) 由已知得 f (2)60，f (3)65，f (0)16. 结合函数单调性及以上关键点画出函数 f (x)大致图象如图所示 2当 a 变化时，方程 2x33x236x 16a 有几解？ 提示 方程 2x33x236x16a 解的个数问题可转化为函数 ya与
17、y2x33x236x16的图象有几个交点的问题， 结合探究点1可知： (1)当 a60 或 a65 时， 方程 2x33x236x16a 有且只有一解； (2)当 a60 或 a65 时，方程 2x33x236x16a 有两解； (3)当65a60 时，方程 2x33x236x16a 有三解 【例 4】 已知函数 f (x)x33xa(a 为实数)，若方程 f (x)0 有三个不同实根，求实数 a 的取值范围 解 令 f (x)3x233(x1)(x1)0， 解得 x11，x21.当 x0； 当1x1 时，f (x)1 时，f (x)0. 所以当 x1 时，f (x)有极大值 f (1)2a；
18、 当 x1 时，f (x)有极小值 f (1)2a. 因为方程 f (x)0 有三个不同实根， 所以 yf (x)的图象与 x 轴有三个交点，如图 由已知应有 2a0，2a0，解得2a2， 故实数 a 的取值范围是(2，2) 母题探究 1(改变条件)本例中，若方程 f (x)0 恰有两个根，则实数 a 的值如何求解？ 解 由例题知，函数的极大值 f (1)2a， 极小值 f (1)2a， 若 f (x)0 恰有两个根，则有 2a0，或2a0， 所以 a2 或 a2. 2(改变条件)本例中，若方程 f (x)0 有且只有一个实根，求实数 a 的范围 解 由例题可知，要使方程 f (x)0 有且只
19、有一个实根， 只需 2a0 或2a0，即 a2 或 a2. 3(变条件、变结论)讨论方程ln xxa 的根的情况 解 令 f (x)ln xx，则定义域为(0，)，f (x)1ln xx2. 令 f (x)0， 得 xe， 当 x 变化时， f (x)与 f (x)的变化情况如下表： x (0，e) e (e，) f (x) 0 f (x) 1e 因此， xe 是函数 f (x)的极大值点， 极大值为 f (e)1e， 函数 f (x)没有极小值点其图象如图 当 0a1e时，ln xxa 有两个不同的根； 当 a1e或 a0 时，ln xxa 只有一个根； 当 a1e时，ln xxa 没有实数
20、根 【规律方法】 利用导数求函数零点的个数 1利用导数可以判断函数的单调性； 2研究函数的极值情况； 3在上述研究的基础上突出函数的大致图象； 4直观上判断函数的图象与 x 轴的交点或两个图象的交点的个数若含有参数，则需要讨论极值的正负. 1若函数 yf (x)在区间(a，b)内有极值，那么 yf (x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值 2已知函数的极值情况，逆向应用确定函数的解析式，研究函数性质时，需注意两点：(1)常根据极值点处导数为 0 和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解(2)因为函数在一点的导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解
21、后必须验证极值点的合理性 【课堂小结】 3 已知函数零点(方程根)的个数， 求参数取值范围的三种常用的方法： (1)直接法， 直接根据题设条件构建关于参数的不等式， 再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象， 然后数形结合求解 一是转化为两个函数 yg(x)， yh(x)的图象的交点个数问题， 画出两个函数的图象其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为 ya，yg(x)的图象的交点个数问题 1函数 f (x)的定义域为 R，它的导函数 yf (x)的部分图象如图所示，
22、则下面结论错误的是( ) A在(1，2)上函数 f (x)为增函数 B在(3，4)上函数 f (x)为减函数 C在(1，3)上函数 f (x)有极大值 Dx3 是函数 f (x)在区间1，5上的极小值点 【学以致用】 D 由题图可知，当 1x2 时，f (x)0， 当 2x4 时，f (x)0，当 4x5 时，f (x)0， x2 是函数 f (x)的极大值点， x4 是函数 f (x)的极小值点， 故 A，B，C 正确，D 错误 2设函数 f (x)xex，则( ) Ax1 为 f (x)的极大值点 Bx1 为 f (x)的极小值点 Cx1 为 f (x)的极大值点 Dx1 为 f (x)的
23、极小值点 D 令 f (x)exx ex(1x)ex0，得 x1. 当 x1 时，f (x)0；当 x1 时，f (x)0. 故当 x1 时，f (x)取得极小值 3 已知函数 f (x)x33ax23(a2)x1 既有极大值又有极小值，则实数 a 的取值范围是_ (，1)(2，) f (x)3x26ax3(a2)， 函数 f (x)既有极大值又有极小值， 方程 f (x)0 有两个不相等的实根， 36a236(a2)0， 即 a2a20，解得 a2 或 a1. 4已知函数 f (x)2ef (e)ln xxe，则函数 f (x)的极大值为_ 2ln 2 f (x)2efex1e，故 f (e)2efee1e， 解得 f (e)1e，所以 f (x)2ln xxe，f (x)2x1e. 由 f (x)0 得 0 x2e，f (x)0 得 x2e. 所以函数 f (x)在(0，2e)单调递增，在(2e，)单调递减， 故 f (x)的极大值为 f (2e)2ln 2e22ln 2.
