1、5.3.2 第2课时 函数的最大(小)值（一） 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解函数的最值的概念(难点) 2 了解函数的最值与极值的区别与联系(易混点) 3 会用导数求在给定区间上函数的最值(重点) 1.通过函数最大(小)值存在性的学习，体现直观想象核心素养 2借助函数最值的求解问题，提升数学运算的核心素养. 1函数的最大(小)值的存在性 一般地， 如果在区间a， b上函数 yf (x)的图象是一条_的曲线，那么它必有最大值与最小值 连续不断 【新知初探】 思考：函数的极值与最值的区别是什么？ 提示 函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值； 最
2、小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值 函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值 当连续函数 f (x)在开区间(a，b)内只有一个导数为零的点时，若在这一点处 f (x)有极大值(或极小值)，则可以判定 f (x)在该点处取得最大值(或最小值)，这里(a，b)也可以是无穷区间 2求函数 f (x)在闭区间a，b上的最值的步骤 (1)求函数 yf (x)在区间(a，b)
3、上的_； (2)将函数 yf (x)的_与_处的函数值 f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是_，最小的一个是_ 极值 各极值 端点 最大值 最小值 1判断正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)函数 f (x)在区间a，b上的最大值和最小值，一定在区间端点处取得( ) (2)开区间上的单调连续函数无最值( ) (3)在定义域内，若函数有最值与极值，则极大(小)值就是最大(小)值( ) (4)若函数 yf (x)在区间a，b上连续，则一定有最值；若可导，则最值点为极值点或区间端点( ) 【初试身手】 提示 (1)函数在闭区间a，b上的最值可能在端点处取得，也可能在极值点处取得 (2)若
4、单调函数有最值，则一定在区间端点处取得，但开区间上的单调连续函数在端点处无函数值，所以无最值，故正确 (3)因为 y最大值y极值，y最小值y极值，故错误 (4)正确 答案 (1) (2) (3) (4) 2函数 f (x)xex在区间2，4上的最小值为( ) A0 B1e C4e4 D2e2 C f (x)exxexex21xex，当 x2，4时，f (x)0， 即函数 f (x)在区间2，4上是单调递减函数， 故当 x4 时，函数 f (x)有最小值4e4. 3如图所示，函数 f (x)导函数的图象是一条直线，则( ) A函数 f (x)没有最大值也没有最小值 B函数 f (x)有最大值，没
5、有最小值 C函数 f (x)没有最大值，有最小值 D函数 f (x)有最大值也有最小值 C 由函数图象可知，函数只有一个极小值点，且函数在此处取得最小值，没有最大值故选 C. 4函数 y3x4x3在区间0，2上的最大值是( ) A1 B2 C0 D1 A 设 f (x)3x4x3，f (x)12x233(2x1)(12x) x0，2，当 x12时，f (x)0. 又 f (0)0，f 121，f (2)26， 函数 y3x4x3在区间0，2上的最大值是 1. 5当 x0 时，11x_ln x(填“”“”“”“”) 设 S(x)1x1ln x，则 S(x)x1x2. 令 S(x)0 得 x1，当
6、 x(0，1)时，S(x)0， 当 x(1，)时，S(x)0，x1 时 S(x)取的极小值也是最小值 S(x)S(1)0，即1x1ln x0 解得 x0 时，11xln x 类型一 求函数的最值 角度 1 不含参数的函数最值 【例 1】 求下列各函数的最值 (1)f (x)3x39x5，x2，2； (2)f (x)sin 2xx，x2，2. 【合作探究】 解 (1)f (x)9x299(x1)(x1)， 令 f (x)0 得 x1 或 x1. 当 x 变化时，f (x)，f (x)变化状态如下表： x 2 (2，1) 1 (1，1) 1 (1，2) 2 f (x) 0 0 f (x) 1 11
7、 1 11 从表中可以看出，当 x2 时或 x1 时，函数 f (x)取得最小值1. 当 x1 或 x2 时，函数 f (x)取得最大值 11. (2)f (x)2cos 2x1，令 f (x)0，得 cos 2x12， 又x2，2，2x，2x3，x6. 函数 f (x)在2，2上的两个极值分别为 f 6326，f 6326. 又 f 22，f 22. 比较以上函数值可得 f (x)max2，f (x)min2. 角度 2 含参数的函数最值 【例 2】 设函数 f (x)1(1a)xx2x3，其中 a0. (1)讨论 f (x)在其定义域上的单调性； (2)当 x0，1时，求 f (x)取得最
8、大值和最小值时的 x 的值 解 (1)f (x)的定义域为 R，f (x)1a2x3x2. 令 f (x)0，得 x11 43a3，x21 43a3，x1x2， 所以 f (x)3(xx1)(xx2) 当 xx1或 xx2时，f (x)0；当 x1xx2时，f (x)0. 故 f (x)在(，x1)和(x2，)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增 (2)因为 a0，所以 x10，x20. 当 a4 时，x21.由(1)知，f (x)在0，1上单调递增， 所以 f (x)在 x0 和 x1 处分别取得最小值和最大值 当 0a4 时，x21.由(1)知，f (x)在0，x2上单调递增， 在x2，
9、1上单调递减，因此 f (x)在 xx21 43a3处取得最大值 又 f (0)1，f (1)a，所以当 0a1 时，f (x)在 x1 处取得最小值； 当 a1 时，f (x)在 x0 和 x1 处同时取得最小值； 当 1a4 时，f (x)在 x0 处取得最小值 【规律方法】 求函数最值的着眼点 1从极值点和端点处找最值,求函数的最值需先确定函数的极值，如果只是求最值，那么就不需要讨论各极值是极大值还是极小值，只需将各极值和端点的函数值进行比较即可求出最大值和最小值. 2单调区间取端点,当图象连续不断的函数 fx在a，b上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得. 跟进训练 1已知函数
10、 f (x)excos xx. (1)求曲线 yf (x)在点(0，f (0)处的切线方程； (2)求函数 f (x)在区间0，2上的最大值和最小值 解 (1)因为 f (x)excos xx， 所以 f (x)ex(cos xsin x)1，f (0)0， 又因为 f (0)1，所以曲线 yf (x)在点(0，f (0)处的切线方程为 y1. (2)设 h(x)ex(cos xsin x)1，则 h(x)ex(cos xsin xsin xcos x)2exsin x. 当 x0，2时，h(x)0，所以 h(x)在区间0，2上单调递减 所以对任意 x0，2有 h(x)h(0)0，即 f (x
11、)0. 所以函数 f (x)在区间0，2上单调递减 因此 f (x)在区间0，2上的最大值为 f (0)1，最小值为 f 22. 类型二 用导数证明不等式 【例 3】 当 x0 时，证明：不等式 ln(x1)x12x2. 证明 设 f (x)ln(x1)x12x2，则 f (x)11x1xx21x. 当 x(1，)时，f (x)0，f (x)在(1，)上是增函数 于是当 x0 时，f (x)f (0)0， 当 x0 时，不等式 ln(x1)x12x2成立 【规律方法】 证明不等式 fxgx，xa，b的步骤 1将要证明的不等式 fxgx移项可以转化为证明 fxgx0； 2构造函数 Fxfxgx，
12、研究 Fx的单调性； 3若fxgx0， 说明函数 Fxfxgx在a， b上是增函数.只需保证 Fa0； 4若fxgx0， 说明函数 Fxfxgx在a， b上是减函数.只需保证 Fb0. 跟进训练 2证明不等式 xsin xtan xx，x0，2. 证明 令 f (x)tan x2xsin x，x0，2， 则 f (x)sin xcos x(2x)(sin x)cos2xsin2xcos2x2cos x 1cos3x2cos2xcos2x1cos2xcos3xcos2xcos2x 1cos x1cos xcos2xcos2x1cos xcos xsin2xcos2x. x0，2，1cos x0，
13、cos xsin2x0， f (x)0，f (x)在0，2上单调递增， f (x)f (0)0，即 tan x2xsin x0， 即 xsin xtan xx. 类型三 已知函数最值求参数 探究问题 1函数 yf (x)在区间a，b上是连续不断的，那么它的最值一定在端点取得的吗？ 提示 不一定最值一般是在区间的端点和区间内的极值点处取得 2对于函数 yf (x)，xa，b，若 f (x)c 或 f (x)c 恒成立如何处理这种问题？ 提示 转化为函数在a，b上的最值问题，即 cf (x)min或 cf (x)max. 3对于函数 yf (x)，xa，b，若存在 x0a，b，使得 f (x)c或
14、 f (x)c 成立，则 c 满足的条件是什么？ 提示 cf (x)max或 cf (x)min. 【例 4】 已知函数 f (x)ax36ax2b(a0)，x1，2的最大值是 3，最小值为29.求 a，b 的值 解 求导得 f (x)3ax212ax3ax(x4)， 令 f (x)0，得 x10，x24(舍去) a0，x 变化时，f (x)，f (x)的变化情况如下表： x 1 (1，0) 0 (0，2) 2 f (x) 0 f (x) 7ab b 16ab 由表可知，当 x0 时，f (x)取得极大值 b， 也就是函数在1，2上的最大值，f (0)b3. 又 f (1)7a3，f (2)1
15、6a3f (1)， f (2)16a329，解得 a2. 故 a2，b3. 母题探究 1(变条件)本例中“a0”改为“a0”，求 a，b 的值 解 由例题解析知，当 af (1)， f (2)16a293，解得 a2. 故 a2，b29. 2(变条件，变结论)设函数 f (x)tx22t2xt1 的最小值为 h(t)，且 h(t)2tm 对 t(0，2)恒成立，求实数 m 的取值范围 解 f (x)t(xt)2t3t1(xR，t0)， 当 xt 时，f (x)取最小值 f (t)t3t1，即 h(t)t3t1. 令 g(t)h(t)(2tm)t33t1m， 由 g(t)3t230，得 t1 或
16、 t1(不合题意，舍去) 当 t 变化时，g(t)，g(t)的变化情况如下表： t (0，1) 1 (1，2) g(t) 0 g(t) 极大值 1m g(t)在(0，2)内有最大值 g(1)1m. h(t)2tm 在(0， 2)内恒成立等价于 g(t)0 在(0， 2)内恒成立， 即等价于 1m0.m 的取值范围为(1，) 【规律方法】 由函数的最值来确定参数的值或取值范围是利用导数求函数最值问题的逆向运用，这类问题的解题步骤是： 1求导数 fx，并求极值； 2利用单调性，将极值与端点处的函数值进行比较，确定函数的最值，若参数的变化影响着函数的单调性，要对参数进行分类讨论； 3利用最值列关于参
17、数的方程组，解方程组即可. 1求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可； 若函数在一个开区间内只有一个极值， 这个极值就是最值 2 解析式中含参数的最值问题应分析参数对函数单调性的影响，然后分类讨论确定函数的最值 3不等式恒成立问题常见的转化策略 (1)af (x)恒成立af (x)max，af (x)恒成立af (x)min. (2)f (x)g(x)k 恒成立kf (x)g(x)min. (3)f (x)g(x)恒成立f (x)ming(x)max. 【课堂小结】 1函数 yln xx的最大值为( ) Ae1 Be Ce2 D10 A 令 y1ln xx20 xe，当 xe
18、 时，y0； 当 0 xe 时，y0，所以 y极大值e1， 因为在定义域内只有一个极值，所以 ymaxe1. 【学以致用】 2若函数 f (x)x3x2x2m 在区间0，2上的最大值是 4，则 m 的值为( ) A3 B1 C2 D1 B f (x)3x22x1，令 f (x)0，解得 x13(舍去)或 x1. 又 f (0)2m，f (1)2m1，f (2)2m2， 则 f (2)最大，所以 2m24，所以 m1.故选 B. 3设函数 f (x)x3x222x5，若对任意 x1，2，都有 f (x)m，则实数 m 的取值范围是_ ，72 f (x)3x2x20，x1 或 x23. f (1)
19、112，f 2315727，f (1)72，f (2)7，m72. 4已知 a 是实数，函数 f (x)x2(xa)，求 f (x)在区间0，2上的最大值 解 f (x)3x22ax， 令 f (x)0，解得 x10，x22a3. 当2a30，即 a0 时， f (x)在0，2上单调递增，从而 f (x)maxf (2)84a. 当2a32，即 a3 时， f (x)在0，2上单调递减，从而 f (x)maxf (0)0. 当 02a32，即 0a3 时， f (x)在0，2a3上单调递减，在2a3，2 上单调递增， 从而 f (x)max 84a0a2，02a3. 综上所述，f (x)max 84aa2，0a2.
