1、5.3.2 第2课时 函数的最大(小)值（二） 学 习 目 标 核 心 素 养 1.能用导数解决函数的零点问题 2体会导数在解决实际问题中的作用 3能利用导数解决简单的实际问题 (重点、 难点) 1.借助用导数解决函数的零点问题，培养直观想象的核心素养 2 通过学习用导数解决生活中的优化问题，培养数学建模的核心素养 3借助实际问题的求解， 提升逻辑推理及数学运算的核心素养. 1函数图象的画法 函数 f (x)的图象直观地反映了函数 f (x)的性质通常，按如下步骤画出函数 f (x)的图象： (1)求出函数 f (x)的_； (2)求导数 f (x)及函数 f (x)的_； (3)用 f (x
2、)的零点将 f (x)的定义域划分成若干个区间，列表给出f (x)在各区间上的_，并得出 f (x)的_与_； (4)确定 f (x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的_； (5)画出 f (x)的大致图象 定义域 零点 【新知初探】 正负 单调性 极值 变化趋势 2用导数解决优化问题的基本思路 导数 函数 思考：解决生活中优化问题应注意什么？ 提示 (1)在建立函数模型时，应根据实际问题确定出函数的定义域 (2)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的应舍去，如：长度、宽度应大于 0，销售价为正数等 1判断正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)用导数研
3、究实际问题要先求定义域( ) (2)方程 xex2 有两个不相等的实数根( ) (3)做一个容积为 256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为 4 m( ) 【初试身手】 提示 (2)令 yxex，则 yex(x1)由于 x1 时，y0，x1 时，y0.x1 时 yxex取到最小值1e.结合单调性及变化趋势画出如图所示，由图可以看出 yxex与 y2 只有一个交点，故方程只有一个解 (3)设底的边长为 x m，则高为256x2. 那么需材料的面积为 x24x256x2x24256x. 令 yx24256x，y2x4256x2. 令 y0 得 x8，又 x8 时 y0，x8 时 y0，
4、 x8 时用料最省，这时高 h256824(m) 答案 (1) (2) (3) 2炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第 x 小时， 原油温度(单位： )为 f (x)13x3x28(0 x5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( ) A8 B203 C1 D8 C 由题意，f (x)x22x(x1)21， 0 x5，x1 时，f (x)的最小值为1， 即原油温度的瞬时变化率的最小值是1. 3已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元)与年产量 x(单位：万件)的函数关系式为 y13x381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( ) A13 万件 B11 万件
5、C9 万件 D7 万件 C 由题意得，yx281， 令 y0，解得 x9 或 x9(舍去) 当 0 x9 时，y0；当 x9 时，y0. 故当 x9 时，y 取得极大值，也是最大值 4某产品的销售收入 y1(万元)关于产量 x(千台)的函数关系式为 y117x2， 生产成本y2(万元)关于产量x(千台)的函数关系式为y22x3x2，已知 x0，为使利润最大，应生产该产品_千台 6 由题意，利润 yy1y217x2(2x3x2)18x22x3(x0) y36x6x2，由 y36x6x26x(6x)0，得 x6(x0 舍去)， 当 x(0，6)时，y0，当 x(6，)时，y0， 函数在(0，6)上
6、为增函数，在(6，)上为减函数 则当 x6 时，y 有最大值 类型一 利用导数研究函数的图象 【例 1】 函数 yx3ex(其中 e 为自然对数的底数)的大致图象是( ) 【合作探究】 B 法一：由函数 yx3ex可知，当 x0 时，y0，排除 C； 当 x0 时，y0，排除 A； y3x2exx3exex2x23xex，当 x3 时，y0， 当 x3 时，y0，函数在(0，)上先增后减故选 B. 法二：由函数 yx3ex可知，当 x0 时，y0，排除 C； 当 x0 时，y0，排除 A；当 x时，y0.故选 B. 【规律方法】 由解析式研究图象常用的方法 根据解析式判断函数的图象时，综合应用
7、各种方法：如判断函数的奇偶性，定义域、特殊值和单调性，有时还要用导数研究函数的极值点，甚至最值等. 跟进训练 1函数 f (x)ex22x2的图象大致为( ) A f (x)f (x)，当 x0 时，f (x)ex2 2x4x， 令 f (x)0，则 2x(ex22)0 x ln 2(0，1)， 且 f ( ln 2)22ln 20， 当 x0 时，f (x)0，且只有一个极值点， 排除 B，C，D.故选 A. 类型二 用导数研究方程的根 【例 2】 设函数 f (x)x22kln x，k0. (1)求 f (x)的单调区间和极值； (2)证明：若 f (x)存在零点，则 f (x)在区间(1
8、， e上仅有一个零点 解 (1)由 f (x)x22kln x(k0)得 f (x)xkxx2kx， 由 f (x)0 解得 x k. f (x)与 f (x)在区间(0，)上的变化情况如下表： x (0， k) k ( k，) f (x) 0 f (x) k1ln k2 所以 f (x)的单调递减区间是(0， k)，单调递增区间是( k，)， f (x)在 x k处取得极小值 f ( k)k1ln k2，无极大值 (2)证明：由(1)知，f (x)在区间(0，)上的最小值为 f ( k)k1ln k2. 因为 f (x)存在零点，所以k1ln k20，从而 ke. 当 ke 时，f (x)在
9、区间(1， e)上单调递减，且 f ( e)0， 所以 x e是 f (x)在区间(1， e上的唯一零点 当 ke 时，f (x)在区间(0， e)上单调递减，且 f (1)120，f ( e)ek20， 所以 f (x)在区间(1， e上仅有一个零点 综上可知，若 f (x)存在零点，则 f (x)在区间(1， e上仅有一个零点 【规律方法】 与函数零点有关的问题 与函数零点有关的问题， 往往利用导数研究函数的单调性和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，讨论图象与 x轴的位置关系.或者转化为两个熟悉函数的图象交点问题确定参数的取值范围. 跟进训练 2若方程 axx(a0，a1)有两个不等
10、实根，求实数 a 的取值范围 解 由 axx 知 x0，故 x ln aln x0ln aln xx， 令 f (x)ln xx(x0)，则 f (x)1ln xx2. 当 x(0，e)时，f (x)0，f (x)单调递增； 当 x(e，)时，f (x)0，f (x)单调递减， 故当 xe 时，f (x)取得最大值 f (e)1e，即 ln a1e，即 ae1e. 画出函数 yax(a0，a1)与 yx 的图象(图略)， 结合图象可知，若方程 axx(a0，a1)有两个不等实根，则 a1. 综上可知，实数 a 的取值范围为1，e1e. 类型三 导数在生活实际问题中应用 角度 1 用料最省、成本
11、(费用)最低问题 【例 3】 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系：C(x)k3x5(0 x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元设 f (x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和 (1)求 k 的值及 f (x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用 f (x)达到最小？并求最小值 解 (1)由题设，每年能源消耗费用为 C(x)k3x5(0 x10)， 再由 C(0)8，得
12、k40，因此 C(x)403x5. 而建造费用为 C1(x)6x. 最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 f (x)20C(x)C1(x)20403x56x8003x56x(0 x10) (2)f (x)62 4003x52， 令 f (x)0，即2 4003x526，解得 x5 或 x253(舍去) 当 0 x5 时，f (x)0，当 5x0， 故 x5 是 f (x)的最小值点，对应的最小值为 f (5)6580015570. 当隔热层修建 5 cm 厚时，总费用达到最小值 70 万元 【规律方法】 求解优化问题中的最小值问题的思路 在实际生活中关于用料最省、费用最低、损耗
13、最小、用时最短等问题，一般情况下都需要利用导数求解相应函数的最小值.若求出极值点注意根据实际意义舍去不合适的极值点后，函数在该点附近满足“左减右增”，则此时唯一的极小值就是所求的函数的最小值. 跟进训练 3已知 A，B 两地相距 200 千米，一只船从 A 地逆水航行到 B 地，水速为 8千米/时， 船在静水中的航行速度为 v千米/时(8vv0) 若船每小时航行所需的燃料费与其在静水中的航行速度的平方成正比，当 v12 千米/时时，船每小时航行所需的燃料费为 720 元为了使全程燃料费最省，船在静水中的航行速度 v 应为多少？ 解 设船每小时航行所需的燃料费为 y1元， 比例系数为 k(k0)
14、，则 y1kv2. 当 v12 时，y1720，720k 122，得 k5，则 y15v2. 设全程燃料费为 y 元，由题意，得 yy1200v81 000v2v8， y2 000vv81 000v2v821 000v216 000vv82. 令 y0，解得 v0(舍去)或 v16. 若 v016，当 v(8，16)时，y0，y 为减函数； 当 v(16，v0时，y0，y 为增函数 故当 v16 千米/时时，y 取得极小值，也是最小值，此时全程燃料费最省 若 v016，则 v(8，v0，且 y0，y 在(8，v0上为减函数 故当 vv0时，y 取得最小值，此时全程燃料费最省 综上可得，若 v0
15、16，则当 v16 千米/时时，全程燃料费最省，为 32 000 元；若 v016，则当 vv0时，全程燃料费最省，为1 000v20v08元 角度 2 利润最大、效率最高问题 探究问题 1在实际问题中，如果在定义域内函数只有一个极值点，则函数在该点处取最值吗？ 提示 根据函数的极值与单调性的关系可以判断，函数在该点处取最值， 并且极小值点对应最小值， 极大值点对应最大值 2你能列举几个有关利润的等量关系吗？ 提示 (1)利润收入成本 (2)利润每件产品的利润销售件数 【例 4】 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y(单位：千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足关系式 ya
16、x310(x6)2，其中 3x6，a 为常数，已知销售价格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克 (1)求 a 的值； (2)若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大 解 (1)因为 x5 时，y11，所以a21011，a2. (2)由(1)知，该商品每日的销售量 y2x310(x6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润 f (x)(x3)2x310 x62210(x3)(x6)2，3x6， 从而，f (x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4) (x6)， 于是，当 x 变化时，f (x)，f (x)的变化情况如下表：
17、 x (3，4) 4 (4，6) f (x) 0 f (x) 极大值 42 由上表可得， x4 是函数 f (x)在区间(3， 6)内的极大值点， 也是最大值点， 所以，当 x4 时，函数 f (x)取得最大值，且最大值等于 42. 故当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大 【规律方法】 利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润收入成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值 解此类问题需注意两点：价格要大于或等于成本，否则就会亏本；销量要大于 0，否则不会获利 跟进训练 4某电子公司开发一种智能手机的配件，每个配件的成本是 15 元，销售价是 20 元，月平均
18、销售 a 件，通过改进工艺，每个配件的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果每个配件的销售价提高的百分率为 x(0 x1)，那么月平均销售量减少的百分率为 x2，记改进工艺后该电子公司销售该配件的月平均利润是 y(元) (1)写出 y 与 x 的函数关系式； (2)改进工艺后，试确定该智能手机配件的售价，使电子公司销售该配件的月平均利润最大 解 (1)改进工艺后，每个配件的销售价为 20(1x)元， 月平均销售量为 a(1x2)件， 则月平均利润 ya(1x2) 20(1x)15(元)， y 与 x 的函数关系式为 y5a(14xx24x3)(0 x1) (2)y5a(42x
19、12x2)，令 y0，得 x112，x223(舍)， 当 0 x12时，y0；12x1 时，y0， 函数 y5a(14xx24x3)(0 x1)在 x12时取得极大值也是最大值， 故改进工艺后，每个配件的销售价为 2011230 元时， 该电子公司销售该配件的月平均利润最大 1 运用零点存在性定理求解零点存在或者零点个数问题的关键是寻找合适的零点区间本题还可以采取分离变量法把零点个数问题转化为函数图象的交点个数问题 2 利用导数解决优化问题， 往往归结为函数的最大值或最小值问题 解题的一般方法如下： (1)设出变量找出函数关系式，确定定义域； (2)若函数 f (x)在定义域内只有一个极值点
20、x0，则不需与端点处函数值比较，f (x0)即是所求的最大值或最小值 3“恒成立”问题的解决往往要转化为函数的最值问题 【课堂小结】 1 某箱子的体积与底面边长 x 的关系为 V(x)x260 x2(0 x0， 此时 V(x)单调递增； 当 40 x60 时，V(x)0，此时 V(x)单调递减，所以 V(40)是 V(x)的极大值，即当箱子的体积最大时，箱子底面边长为 40. 2设函数 f (x)的导函数为 f (x)，若 f (x)为偶函数，且在(0，1)上存在极大值，则 f (x)的图象可能为( ) C 根据题意，f (x)为偶函数，则其导数 f (x)为奇函数，结合函数图象可以排除 B、
21、D.又由于函数 f (x)在(0，1)上存在极大值，则其导数图象在(0，1)上存在零点，且零点左侧导数值符号为正，右侧导数值符号为负，结合选项可以排除 A，只有 C选项符合题意，故选 C. 3若方程 x33xm0 在0，2上有解，则实数 m 的取值范围是( ) A2，2 B0，2 C2，0 D(，2)(2，) A 方程 x33xm0 在0，2上有解，则mx33x，x0，2，求实数 m 的取值范围可转化为求函数的值域问题令 yx33x，x0，2，则 y3x23，令 y0，解得 x1，因此函数在0，1)上单调递减，在(1，2上单调递增，又 x1 时，y2；x2 时，y2；x0 时，y0，函数 yx33x，x0，2的值域是2，2， 故m2，2，m2，2，故选 A. 4电动自行车的耗电量 y 与速度 x 之间的关系为 y13x3392x240 x(x0)，为使耗电量最小，则其速度应定为_ 40 由题设知 yx239x40，令 y0，解得 x40 或 x1， 故函数 y13x3392x240 x(x0)在40，)上递增，在(0，40上递减 当 x40 时，y 取得最小值， 由此得为使耗电量最小，则其速度应定为 40.
