1、单元质检六 平面向量、解三角形、复数(时间:45 分钟 满分:100 分)一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 6 分,共 48 分)1.设复数 =a+bi(a,bR),则 a+b=( )-21+A.1 B.2 C.-1 D.-22.已知 O 是ABC 所在平面内一点,D 为 BC 边的中点,且 2 =0,则有( )+A. =2 B. =C. =3 D.2 =3.若非零向量 a,b 满足 a(2a+b),且 a 与 b 的夹角为 ,则 =( )23 |A. B. C. D.212 14 324.已知菱形 ABCD 的边长为 a,ABC=60,则 = ( )A.- a2 B.- a2 C. a
2、2 D. a232 34 34 325.一艘船以每小时 15 km 的速度向东航行 ,船在 A 处看到一个灯塔 M 在北偏东 60方向,行驶 4 h 后,船到达 B 处,看到这个灯塔在北偏东 15方向,这时船与灯塔的距离为 ( )A.15 km B.30 km C.45 km D.60 km2 2 2 26.已知向量 =(2,0),向量 =(2,2),向量 =( cos , sin ),则向量 与向量 的夹角的取值范 2 2 围是( )A. B. C. D.0,4 4,512 512,2 12,5127.已知| |=| |=2,点 C 在线段 AB 上,且| |的最小值为 1,则| -t |(
3、tR) 的最小值为( ) A. B.2 3C.2 D. 58.已知平面向量 a,b,|a|=1,|b|=2,且 ab=1.若 e 为平面单位向量,则(a+b) e 的最大值为( )A. B.6 C. D.76 7二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)9.设 i 为虚数单位,复数 z= 的虚部是 . 1-3-10.已知向量 a=(1,-1),b=(6,-4).若 a(ta+ b),则实数 t 的值为 . 11.已知向量 =(2,2), =(4,1),在 x 轴上存在一点 P 使 有最小值,则点 P 的坐标是 . 12.在矩形 ABCD 中,AB=2,BC=1,E 为 BC
4、 的中点,若 F 为该矩形内( 含边界)任意一点,则 的最大值为 . 13.若向量 a,b 满足 a=(- ,1),(a+2b)a,( a+b)b,则|b|= . 314.在平面直角坐标系中,已知 A(1,0),B(0,-1),P 是曲线 y= 上一个动点,则 的取值范围是 .1-2 三、解答题(本大题共 2 小题,共 22 分)15.(11 分) 在ABC 中,A=30,BC=2 ,点 D 在 AB 边上,且 BCD 为锐角,CD=2,BCD 的面积为 4.5(1)求 cos BCD 的值;(2)求边 AC 的长.16.(11 分) 在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,
5、满足 ccos B+(2a+b)cos C=0.(1)求角 C;(2)若 c= ,求ABC 面积的最大值 .3单元质检六 平面向量、解三角形、复数1.A 解析 =- i=a+bi,-21+ 12+32 a=- ,b= .12 32 a+b=1,故选 A.2.B 解析 由 2 =0,得 =-2 =2 ,即 =2 =2 ,所以 ,故选+ + + =B.3.B 解析 a(2a+b),且 a 与 b 的夹角为 ,23 a(2a+b)=2a2+ab=2|a|2- |a|b|=0.12又|a|0,|b| 0, 2|a|= |b|,12 ,故选 B.|=144.D 解析 如图,设 =a, =b,则 =( )
6、 =(a+b)a=a2+ab=a2+aacos 60=a2+ a2= a2.+12 325.B 解析 如图所示,依题意有 AB=154=60(km),DAC=60,CBM= 15, MAB=30,AMB= 45.在AMB 中,由正弦定理,得 ,解得 BM=30 (km),故选 B.6045=30 26.D 解析 由题意,得 =(2+ cos ,2+ sin ),=+ 2 2所以点 A 的轨迹是圆(x-2) 2+(y-2)2=2.如图,当 A 为直线 OA 与圆的切点时 ,向量 与向量 的夹角分别达到最大值和最小值 ,故选 D. 7.B 解析 依题意,可将点 A,B 置于圆 x2+y2=4 上;
7、由点 C 在线段 AB 上,且| |的最小值为 1,得原点O 到线段 AB 的距离为 1,AOB=180- 230=120,( -t )2=4+4t2-2t22cos 120=4t2+4t+4=4 +3 的最小值为 3,因此| -t |的最小值为 .(+12)2 38.C 解析 (a+b)e=ae+be|ae|+|be|= ,其几何意义为 a 在 e 方向上的投影的绝对值与 b|+|在 e 方向上的投影的绝对值的和,当 e 与 a+b 共线时,取得最大值,(|ae|+|be|)max=|a+b|= ,则(a+b) e 的最大值为 ,故选 C.|2+|2+2=7 79.- 解析 z= i,15
8、1-3-=(1-)(3+)(3-)(3+)=4-210=2515 复数 z= 的虚部是- .1-3- 1510.-5 解析 由 a(ta+b )可得 a(ta+b)=0,所以 ta2+ab=0,而 a2=12+(-1)2=2,ab=16+(-1)(-4)=10,所以有 t2+10=0,解得 t=-5.11.(3,0) 解析 设点 P 坐标为(x,0),则 =(x-2,-2), =(x-4,-1), =(x-2)(x-4)+(-2)(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1.当 x=3 时, 有最小值 1.故点 P 坐标为(3,0).12. 解析 以 A 为坐标原点,AB 所在直线为 x 轴,
9、AD 所在直线为 y 轴,建立平面直角坐标系,92则 E .(2,12)设 F(x,y),则 0x2,0y 1,则 =2x+ y,12令 z=2x+ y,当 z=2x+ y 过点(2,1)时, 取最大值 .12 12 9213. 解析 a=(- ,1), |a|=2.2 3 (a+2b)a,(a+b) b , (a+2b)a=0,(a+b)b=0,即|a| 2+2ab=0, |b|2+ab=0. 由 - 2,得| a|2=2|b|2,则|b|= .214.0, +1 解析 如图,画出函数 y= 的图象.2 1-2这是以 O(0,0)为圆心 ,以 1 为半径的一个半圆 .不妨用虚线把这个半圆补充
10、为一个圆.设 的夹角为 ,则 0 ,90.与 当 0,45时,cos (45- )= ,|2当 45,90时,cos (-45) = .|2由于 y=cos x,xR 是偶函数,所以| |=2cos(-45),0,90 .=| | |cos =2 cos(-45)cos 2=2cos2+2sin cos =sin 2+cos 2+1= sin(2+45)+1.2因为 0,90,所以 2+4545,225.当 2+45=90,即 =22.5时, 取最大值 +1, 2当 2+45=225,即 =90时, 取最小值 0,所以 的取值范围是0, +1. 215.解 (1) BC=2 ,CD=2,SBC
11、D= BCCDsin BCD= 4,512 sinBCD= . cosBCD= .255 55(2)在BCD 中,CD=2,BC=2 ,cosBCD= ,555由余弦定理得,DB 2=CD2+BC2-2CDBCcosBCD=16,即 DB=4. DB2+CD2=BC2, BCD= 90,即 ACD 为直角三角形 . A=30, AC=2CD=4.16.解 (1)由已知得,sin Ccos B+(2sin A+sin B)cos C=0,则 sin Ccos B+sin Bcos C+2sin Acos C=0, sin(B+C)+2sin Acos C=0,则 sin A+2sin Acos C=0. sin A0, cos C=- .12 C(0,), C= .23(2)由余弦定理,c 2=a2+b2-2abcos C,得 3=a2+b2+ab2ab+ab= 3ab, ab1,当且仅当 a=b=1 时取等号 . SABC= absin C 1 .12 12 32=34 ABC 面积的最大值为 .34
