1、单元质检八 解析几何(时间:100 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)1.到直线 3x-4y+1=0 的距离为 3,且与此直线平行的直线方程是( )A.3x-4y+4=0B.3x-4y+4=0 或 3x-4y-2=0C.3x-4y+16=0D.3x-4y+16=0 或 3x-4y-14=02.已知方程 =1 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为 4,则 n 的取值范围是( )22+ 232-A.(-1,3) B.(-1, ) C.(0,3) D.(0, )3 33.若双曲线 C: =1(a0,b0)的一条渐近线被圆(x- 2)2+y2=4
2、所截得的弦长为 2,则 C 的离心率为( )2222A.2 B. C. D.3 22334.已知直线过点 A(0,3),圆(x-1) 2+y2=4 被该直线截得的弦长为 2 ,则该直线的方程是( )3A.y=- x+343B.x=0 或 y=- x+343C.x=0 或 y= x+343D.x=05.(2018 全国 ,理 12)已知 F1,F2 是椭圆 C: =1(ab0)的左、右焦点,A 是 C 的左顶点,点 P 在22+22过点 A 且斜率为 的直线上, PF1F2 为等腰三角形,F 1F2P=120,则 C 的离心率为( )36A. B. C. D.23 12 13 146.(2018
3、 全国 ,理 11)已知双曲线 C: -y2=1,O 为坐标原点,F 为 C 的右焦点,过 F 的直线与 C 的两条23渐近线的交点分别为 M,N.若OMN 为直角三角形,则|MN|= ( )A. B.3 C.2 D.432 37.已知抛物线 y2=2px(p0)与双曲线 =1(a0,b0)的两条渐近线分别交于两点 A,B(A,B 异于原2222点),抛物线的焦点为 F.若双曲线的离心率为 2,|AF|=7,则 p=( )A.3 B.6 C.12 D.428.已知抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F,准线为 l,A,B 是 C 上两动点,且AFB=( 为常数),线段 AB中点为 M,过
4、点 M 作 l 的垂线 ,垂足为 N.若 的最小值为 1,则 =( )|A. B. C. D.6 4 3 2二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)9.若双曲线 x2- =1 的离心率为 ,则实数 m= . 2 310.抛物线 y2=8x 的焦点到双曲线 =1 的渐近线的距离为 . 2122411.已知抛物线 y2=2px(p0)上一点 M(1,m)(m0)到其焦点的距离为 5,双曲线 -y2=1 的左顶点为 A.若2双曲线一条渐近线与直线 AM 平行,则实数 a= . 12.已知抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F,M 是抛物线 C 上的点.若三角形 OFM 的
5、外接圆与抛物线C 的准线相切,且该圆的面积为 36,则 p 的值为 . 13.已知双曲线 C: =1(a0,b0)的右顶点为 A,以 A 为圆心,b 为半径作圆 A,圆 A 与双曲线 C 的2222一条渐近线交于 M,N 两点.若MAN=60,则 C 的离心率为 . 14.(2018 全国 ,理 16)已知点 M(-1,1)和抛物线 C:y2=4x,过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于A,B 两点.若AMB=90,则 k= . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分)15. (13 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3),直线 l:y=2x-4,设圆 C 的
6、半径为 1,圆心在 l 上.(1)若圆心 C 也在直线 y=x-1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程 ;(2)若圆 C 上存在点 M,使|MA|=2|MO|,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围.16.(13 分) 已知椭圆 C: =1(ab0)的离心率为 ,F1,F2 是椭圆的两个焦点,P 是椭圆上任意一点,且22+22 154PF1F2 的周长是 8+2 .15(1)求椭圆 C 的方程;(2)设圆 T:(x-2)2+y2= ,过椭圆的上顶点 M 作圆 T 的两条切线交椭圆于 E,F 两点,求直线 EF 的斜率.4917.(13 分)(2018 全国 ,文 20)已知斜率为 k
7、的直线 l 与椭圆 C: =1 交于 A,B 两点,线段 AB 的中24+23点为 M(1,m)(m0).(1)证明:k0,b0)的右焦点为 F(c,0).2222(1)若双曲线的一条渐近线方程为 y=x,且 c=2,求双曲线的方程 ;(2)以原点 O 为圆心 ,c 为半径作圆,该圆与双曲线在第一象限的交点为 A,过 A 作圆的切线,斜率为- ,3求双曲线的离心率.19.(14 分)(2018 上海,20)设常数 t2,在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 F(2,0),直线 l:x=t,曲线 :y2=8x(0x t,y0).l 与 x 轴交于点 A,与 交于点 B,P,Q 分别是曲线 与线段
8、 AB 上的动点.(1)用 t 表示点 B 到点 F 的距离;(2)设 t=3,|FQ|=2,线段 OQ 的中点在直线 FP 上,求 AQP 的面积;(3)设 t=8,是否存在以 FP,FQ 为邻边的矩形 FPEQ,使得点 E 在 上?若存在,求点 P 的坐标;若不存在,说明理由.20.(14 分) 设椭圆 =1(ab0)的左焦点为 F,右顶点为 A,离心率为 ,已知 A 是抛物线 y2=2px(p0)的22+22 12焦点,F 到抛物线的准线 l 的距离为 .12(1)求椭圆的方程和抛物线的方程;(2)设 l 上两点 P,Q 关于 x 轴对称,直线 AP 与椭圆相交于点 B(B 异于点 A)
9、,直线 BQ 与 x 轴相交于点D.若APD 的面积为 ,求直线 AP 的方程.62单元质检八 解析几何1.D 解析 设所求直线方程为 3x-4y+m=0(m1),由 =3,解得 m=16 或 m=-14.|-1|5即所求直线方程为 3x-4y+16=0 或 3x-4y-14=0.2.A 解析 由题意得(m 2+n)(3m2-n)0,解得-m 20,b0)的两条渐近线方程为 y= x,代入 y2=2px(p0),2222 3得 x= p 或 x=0,故 xA=xB= p.23 23又因为|AF|=x A+ p+ =7,所以 p=6.2=23 28.C 解析 如图,过点 A,B 分别作准线的垂线
10、 AQ,BP,垂足分别是 Q,P.设|AF|=a,|BF|=b,连接 AF,BF.由抛物线定义,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|.在梯形 ABPQ 中 ,2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.由余弦定理得,|AB| 2=a2+b2-2abcos . 的最小值为 1,| a2+b2-2abcos ,当 = 时,不等式恒成立.故选 C.(+)24 39.2 解析 由题意知 a=1,b= ,m0,c= ,则离心率 e= ,解得 m=2. 2+2=1+=1+=310.1 解析 抛物线 y2=8x 的焦点坐标为 (2,0),其到双曲线 =1 的渐近线 x y=0 的距离 d=21224 3=1
11、.|20|1+311. 解析 由题意可知,抛物线 y2=2px(p0)的准线方程为 x=-4,19则 p=8,所以点 M(1,4).因为双曲线 -y2=1 的左顶点为 A(- ,0),2 所以直线 AM 的斜率为 .41+由题意得 ,解得 a= .41+=1 1912.8 解析 设OFM 的外接圆圆心为 O1,则|O 1O|=|O1F|=|O1M|,所以 O1 在线段 OF 的垂直平分线上.又因为O 1 与抛物线的准线相切,所以 O1 在抛物线上,所以 O1 .(4, 22)又因为圆面积为 36,所以半径为 6,所以 p2=36,所以 p=8.216+1213. 解析 如图所示,由题意可得|O
12、A|=a,|AN|=|AM|=b.233 MAN=60, |AP|= b,|OP|= .32 |2-|2=2-342设双曲线 C 的一条渐近线 y= x 的倾斜角为 ,则 tan = . |= 322-342又 tan = , ,解得 a2=3b2, 322-342= e= .1+22=1+13=23314.2 解析 设直线 AB:x=my+1,联立 y2-4my-4=0.=+1,2=4 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=4m,y1y2=-4.而 =(x1+1,y1-1)=(my1+2,y1-1),=(x2+1,y2-1)=(my2+2,y2-1). AMB=90, =(
13、my1+2)(my2+2)+(y1-1)(y2-1)=(m2+1)y1y2+(2m-1)(y1+y2)+5=-4(m2+1)+(2m-1)4m+5=4m2-4m+1=0. m= . k= =2.12 115.解 (1)由 得圆心 C(3,2).=2-4,=-1,又因为圆 C 的半径为 1,所以圆 C 的方程为(x-3) 2+(y-2)2=1.显然切线的斜率一定存在,设所求圆 C 的切线方程为 y=kx+3,即 kx-y+3=0,则 =1,|3-2+3|2+1所以|3k+1|= ,2+1即 2k(4k+3)=0.所以 k=0 或 k=- .34所以所求圆 C 的切线方程为 y=3 或 y=- x
14、+3,34即 y=3 或 3x+4y-12=0.(2)由圆 C 的圆心在直线 l:y=2x-4 上,可设圆心 C 为( a,2a-4),则圆 C 的方程为(x-a) 2+y-(2a-4)2=1.设 M(x,y),又因为|MA|= 2|MO|,所以 =2 ,2+(-3)2 2+2整理得 x2+(y+1)2=4.设方程 x2+(y+1)2=4 表示的是圆 D,所以点 M 既在圆 C 上又在圆 D 上,即圆 C 和圆 D 有交点,所以 2-1 2+1,2+(2-4)-(-1)2解得 a 的取值范围为 .0,12516.解 (1)由题意,得 e= ,=154=2-2可知 a=4b,c= b.15 PF
15、1F2 的周长是 8+2 ,15 2a+2c=8+2 , a=4,b=1.15 椭圆 C 的方程为 +y2=1.216(2)椭圆的上顶点为 M(0,1),由题意知过点 M 与圆 T 相切的直线存在斜率,则设其方程为 l:y=kx+1.由直线 y=kx+1 与圆 T 相切可知 ,|2+1|1+2=23即 32k2+36k+5=0, k1+k2=- ,k1k2= .98 532由 得(1+16 )x2+32k1x=0,=1+1,216+2=1, 21 xE=- .3211+1621同理 xF=- ,3221+1622kEF= = .-=1-2- 1+21-1612=34故直线 EF 的斜率为 .3
16、417.证明 (1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 =1, =1.214+213 224+223两式相减,并由 =k,得 k=0.1-21-2 1+24 +1+23由题设知 =1, =m,于是 k=- .1+22 1+22 34由题设得 01,所以该双曲线的离心率 e= (负值舍去).2故双曲线的离心率为 .219.解 (1)(方法一)设 B(t,2 ),2则|BF|= =t+2.(-2)2+8(方法二) 设 B(t,2 ),2由抛物线的定义可知,|BF|=t+2.(2)由题意,得 F(2,0),|FQ|=2,t=3, |FA|=1, |AQ|= , Q(3, ).3 3设 OQ
17、的中点为 D,则 D ,kPF= =- ,(32, 32) 32-032-2 3 直线 PF 的方程为 y=- (x-2).3由 整理,得 3x2-20x+12=0,=- 3(-2),2=8, 解得 x= 或 x=6(舍去).23 AQP 的面积 S= .123(3-23)=736(3)存在.设 P ,E ,(28,) (28,)则 kPF= ,kFQ= ,直线 QF 的方程为 y= (x-2),28-2=82-16 16-28 16-28 yQ= (8-2)= ,Q .16-28 48-324 (8,48-324) , E .+= (28+6,48+24) =8 ,解得 y2= .(48+2
18、4)2 (28+6) 165 存在以 FP,FQ 为邻边的矩形 FPEQ,使得点 E 在 上,且 P .(25,455)20.解 (1)设 F 的坐标为 (-c,0).依题意, =a,a-c= ,=12,2 12解得 a=1,c= ,p=2,于是 b2=a2-c2= .12 34所以椭圆的方程为 x2+ =1,抛物线的方程为 y2=4x.423(2)设直线 AP 的方程为 x=my+1(m0),与直线 l 的方程 x=-1 联立,可得点 P ,(-1,-2)故 Q .(-1,2)将 x=my+1 与 x2+ =1 联立 ,消去 x,整理得(3m 2+4)y2+6my=0,解得 y=0 或 y= .423 -632+4由点 B 异于点 A,可得点 B .(-32+432+4, -632+4)由 Q ,可得直线 BQ 的方程为 (x+1)- =0.(-1,2) ( -632+4-2) (-32+432+4+1)(-2)令 y=0,得 x= ,故 D .2-3232+2 (2-3232+2,0)所以|AD|=1- .2-3232+2=6232+2又因为APD 的面积为 ,62故 ,126232+22|=62整理得 3m2-2 |m|+2=0,解得|m|= ,663所以 m= .63所以直线 AP 的方程为 3x+ y-3=0 或 3x- y-3=0.6 6
