1、平面解析几何综合测试跟踪知识梳理考纲解读：高考中重点考查直线与椭圆的位置关系，主要涉及弦长问题，最值范围问题，定点定值问题.考点梳理：1.直线和圆锥曲线的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离.这三种位置关系的判定条件可归纳为：设直线 l：AxBy C0，圆锥曲线 C：f(x，y )0，由 即将直线 l 的方程Ax By C 0，f（x，y） 0， )与圆锥曲线 C 的方程 联立，消去 y 便得到关于 x 的一元二次方程 ax2bxc0( 当然，也可以消去 x 得到关于 y 的一元二次方程)，通过一元二次方程解的情况判断位置关系，见下表：方程 ax2bx c0 的解来源:Z
2、xxk.Com l 与 C 的关系a0 b0 无解(含 l 是双曲线的渐近线 ) 无公共点b0有一解(含 l 与抛物线的对称轴或与双曲线的渐近线平行)一个交点0来源:Z*xx*k.Com 两个不等的解 来源:Z&xx&k.Com 两个交点0 两个相等的解 一个交点a0b0)的右焦点 F,与42xy椭圆交于 A、B 两点, 且 =2 ,则该椭圆的离心率为 ( ) FBA. B. C. D. 322234 (2018 河南郑州二模 ,11)如图, 已知抛物线 C1 的顶点在坐标原点 ,焦点在 x 轴上, 且过点(2,4), 圆C2:x2+y2-4x+3=0,过圆心 C2 的直线 l 与抛物线和圆分
3、别交于 P,Q,M,N,则|PN |+4|QM|的最小值为 ( ) A.23 B.42 C.12 D.52 5当曲线 与直线 有 两个相异的交点时，实数 的取值范围24xy042ky k是（ ）A. B. C. D.3(0,)53(,123(,13(,)46圆 与直线 有公共点的充分不必要条件是（ ）2xyykxA 或 Bkk2kC D 或2 7直线 被圆 截得的弦长为 ，则直线的倾斜角为（ 3yx2234y3）A B C D56或 或 6或 68已知抛物线 的焦点与双曲线 的一个焦点重合，则该双245xy21()4yxaR曲线的离心率为（ ）A B C D25553359设点 (,)Pxy是
4、曲线 1(0,)axbyab上任意一点，其坐 标 (,)xy满足22112xyxy，则 ab的取值范围为（ ） A.0, B., C., D.2,10若 m是 2和 8的等比中项，则圆锥曲线21yxm的离心率是（ ）A 3 B 5 C 32或 5 D 32或 511设 是椭圆 ： 的左，右焦点， 为直线 上一点，21,FE)0(12bayx Pax是底角为 的等腰三角形，则椭圆 的离心率为 （ ）12P 30EA B C D435412已知 F是抛物线 2yx的焦点，点 A， B在该抛物线上且位于 x轴的两侧，O（其中 为坐标原点） ，则 与 面积之和的最小值是（ ）O FA 2 B 3 C
5、1728 D 1013 分别为圆 和椭圆 上的点，则 两点间的最大距QP,622yx02yxQP,离是（ ）A. B. C. D.2524272614设椭圆的方程为 右焦点为 ，方程21(0)xyab(,0)Fc的两实根分别为 ，则 （ ）20axbc12,x12(,PxA.必在圆 内 B.必在圆 外2yyC.必在圆 外 D.必在圆 与圆 形成的圆环之间1x2x2xy15抛物线 的焦点为 ，过 作直线交抛物线于 两点，设y82F,AB，则 （ ）nFBmA,A4 B8 C D12116设 、 分别为双曲线 的左、右焦点， 为双曲线的1F2 :0,xyabA左顶点，以 为直径的圆交双曲线某条渐近
6、线于点 、 ，且满足 ，12 MN120则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D.393237317过椭圆214xy的左焦点作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于 四点，,ABCD则四边形 面积的最大值与最小值之差为（ ）ABCDA 1725 B 825 C 1925 D 4518设 为双曲线 的左焦点，在 轴上 点的右侧有一点 ，以 为直径F196yxxFAF的圆与双曲线左、右两支在 轴上方的交点分别为 ，则 的值为( )NM,A. B. C. D.52254554二、填空题19已知直线 ，圆 与 .若直线 被:(0)lykx21:()1Cxy22:(3)1Cxyl圆 ， 所截得两弦的长度
7、之比是 3，则实数 _.1C2 k20已知圆 ，若直线 上至少存在一点，使得以该点为2:85xyyx圆心，1 为半径的圆与圆 有公共点，则实数 的取值范围为_.Ck21已知直线 ，且该直线上的点 始终落在圆140,abab1,2A的内部或圆上，则 的取值范围是_225xya22已知直线 交抛物线 于 两点.若该抛物线上存在点 ，使得xtyx,ABC，则 的取值范围为_.ACB23设 分别为双曲线 的左，右顶点，若双曲线上存在12,A2:10,xyCab点 使得两直线斜率 ，则双曲线 的离心率的取值范围为_.M12MAkC24过点 作斜率为 的直线与椭圆 交于 、 两点，),()0(1:2bay
8、xAB若 是线段 AB 的中点，则椭 圆 C 的离心率为_三、解答题25已知圆 经过点 ，圆 的圆心在圆 的内部，且直线C0,2,AB2xy被圆 所截得的弦长为 .点 为圆 上异于 的任意一点，直线345xy3PC,AB与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 .PAMPyN（1 ）求圆 的方程；（2 ）求证： 为定值NB26已知双曲线 与椭圆 有相同的焦点，实半轴长为 C2184xy3（1 ）求双曲线 的方程；（2 ）若 直线 与双曲线 有两个不同的交点 和 ，且 （其中:2lykxCAB2O为原点） ，求 的取值范围O27已知椭圆 的两个焦点分别为 ，过点21(0)ab12(,0)(,0)Fcc
9、的直线与椭圆相交于 两点，且 2(,0)aEc,AB1212,BA（ 1）求椭圆的离心率；（2 ）求直线 的斜率AB28双曲线 的中心在原点，右焦点为 ，渐近线方程为 .C0,32Fxy3（1 ）求双曲线 的方程；（2 ）设直线 与双曲线 交于 两点，问：当 为何值时，以 为直径的1:kxylCBA,kAB圆过原点？29已知椭圆 的右焦点为 ，且点 在椭圆 上， 为:C21(0)xyab(1,0)F3(1,)2PCO坐标原点（1 ）求椭圆 的标准方程；（2 ）设过定点 的直线 与椭圆 交于不同的两点 、 ，且 为锐角，求直(0,2)TlCAB线 的斜率 的取值范围；lk（3 ）过椭圆 上异于其
10、顶点的任一点 ，作圆 的两条切1:C2153xyabP:O342yx线，切点分别为 （ 不在坐标轴上） ，若直线 在 轴、 轴上的截距分别为,MN, MN、 ，证明： 为定值mn213n平面解析几何综合测试跟踪知识梳理考纲解读：高考中重点考查直线与椭圆的位置关系，主要涉及弦长问题，最值范围问题，定点定值问题.考点梳理：1.直线和圆锥曲线的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离.这三种位置关系的判定条件可归纳为：设直线 l：AxBy C0，圆锥曲线 C：f(x，y )0，由 即将直线 l 的方程Ax By C 0，f（x，y） 0， )与圆锥曲线 C 的方程联立，消去 y 便
11、得到关于 x 的一元二次方程 ax2bxc0( 当然，也可以消去 x 得到关于 y 的一元二次方程)，通过一元二次方程解的情况判断位置关系，见下表：方程 ax2bx c0 的解 l 与 C 的关系a0 b0 无解(含 l 是双曲线的渐近线 ) 无公共点b0 有一解(含 l 与抛物线的对称轴或与双曲线的 一个交点渐近线平行)0 两个不等的解 两个交点来源:XXXK0 两个相等的解 一个交点a00,联立 整理得(1-k 2)x2+2kx-5=0,因为直线 y=kx-1 与双曲线21,4yxx2-y2=4 的右支有两个交点, 则联立所得方程有两个不同的正实数根 x1,x2,所以解得 1b0)的右焦点
12、 F,与42xy椭圆交于 A、B 两点, 且 =2 ,则该椭圆的离心率为 ( ) FBA. B. C. D. 32223【答案】B4 (2018 河南郑州二模 ,11)如图, 已知抛物线 C1 的顶点在坐标原点 ,焦点在 x 轴上, 且过点(2,4), 圆C2:x2+y2-4x+3=0,过圆心 C2 的直线 l 与抛物线和圆分别交于 P,Q,M,N,则|PN |+4|QM|的最小值为 ( ) A.23 B.42 C.12 D.52 【答案】A5当曲线 与直线 有两个相异的交点时， 实数 的取值范围24xy042ky k是（ ）A. B. C. D.3(0,)53(,123(,13(,)4【答案
13、】C【解析】曲线 表示圆 的下半圆，直线 过定点24xy42y 02kyx，如图所示，直线 与圆 的下半圆相切,过点 与），（ 2532x ），（ 4点 的直线斜率为 .苏园实数 的取值范围是 ，故选 C）（ 0, 120k143，（6圆 与直线 有公共点的充分不必要条件是（ ）21xy3ykxA 或 Bk2k2kC D 或2 k【答案】B7直线 被圆 截得的弦长为 ，则直线的倾斜角为（ 3ykx2234y23）A B C D56或 或 6或 6【答案】A【解析】圆 的圆心为 ，半径 ，圆心 到直线2234xy3,22r3,的距离 ，直线 被圆 截得的弦长3yk12kdykx24y为 ， ，即
14、 ，解得 ，故直线的倾斜角为223r 3142k3k或 ，故选 A658已知抛物线 的焦点 与双曲线 的一个焦点重合，则该双245xy21()4yxaR曲线的离心率为（ ）A B C D2555335【答案】A【解析】抛物线 的焦点为 ，所以双曲线 的一焦245xy(0,5)21(R)4yxa点为 ，所以 ，所以 ，所以双曲线的方程为 ，所(0,5)c241ac2以其离心率为 ，故选 A. 2e9设点 (,)Pxy是曲线 1(0,)axbyab上任意一点，其坐标 (,)xy满足2212，则 a的取值范围为（ ） A.0, B., C., D.2,【答案】D xyF2 F1CBOADB110若
15、m是 2和 8的等比中项，则圆锥曲线21yxm的离心率是（ ）A 3 B 5 C 32或 5 D 32或 5【答案】D【解析】 ，当 时，圆锥曲线21yxm为椭圆，其离心28164mm率为 ； 当 时，圆锥曲线21yx为双曲线，其离心率为 ，故选 D34 511设 是椭圆 ： 的左，右焦点， 为直线 上一点，21,FE)0(2baP23ax是底角为 的等腰三角形，则椭圆 的离心率为 （ ）12P 30EA B C D4354【答案】C【解析】设 与 轴交于点 ，由已知得 ，在 中，32xaM212|FPc2RtPMF， ， ，即 ，2|PFc|c260P30 ，即 ，即 ，即 2|3()a4c
16、a4e12已知 是抛物线 2yx的焦点，点 A， B在该抛物线上且位于 x轴的两侧，OAB（其中 为坐标原点） ，则 与 面积之和的最小值是（ ）O FA 2 B 3 C 1728 D 10【答案】B13 分别为圆 和椭圆 上的点，则 两点间的最大距QP,262yx102yxQP,离是（ ）A. B. C. D.2542726【答案】D【解析】 两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上的点的最大距离再加上圆的半径QP,.设 .圆心到椭圆上点的距离为2(,)xy222(6)9146dxyy.所以 两点间的最大距离是 .故选 D.29503QP,14设椭圆的方程为 右焦点为 ，方程21(0)xyab
17、(,0)Fc的两实根分别为 ，则 （ ）20axbc12,x12(,PxA.必在圆 内 B.必在圆 外2yyC.必在圆 外 D.必在圆 与圆 形成的圆环之间1x2x2xy【答案】B15抛物线 的焦点为 ，过 作直线交抛物线于 两点，设y82F,AB，则 （ ）nFmA, 1A4 B8 C D12【答案】C【解析】抛物线 的焦点为 （2，0 ） ，当直线 的斜率不存在时， ，xy2Fl:2lx，则 ；当直线 的斜率存在时，设 ，与 联立，4mn1nl:()yky8消去 可得 ，设 的横坐标分别为 ，则y22284kxxk,AB12,x， ，根据抛物线的定义可知 ，122x1 Fm=， = = ，
18、故FBn=+mn=12x+()124xx+1选 C .16设 、 分别为双曲线 的左、右焦点， 为双曲线的12 2:0,yCabA左顶点，以 为直径的圆交双曲线某条渐近线于点 、 ，且满足 ，12FMN120则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D.213932373【答案】A【解析】不妨令该渐近线为 ，设点 的坐标为 ，则 点的坐标byxaM00,xyN为 ，联立 ， 得 ， ，又 且0,xy0220cab,b,0Aa，所以由余弦定理得 ，12MAN224cos12化简得 ，则 ，故选 A. 73ac213e17过椭圆24xy的左焦点作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于 四点，,ABCD
19、则四边形 面积的最大值与最小值之差为（ ）ABCDA 1725 B 1825 C 1925 D 45【答案】 B18设 为双曲线 的左焦点，在 轴上 点的右侧有一点 ，以 为直径F1962yxxFAF的圆与双曲线左、右两支在 轴上方的交点分别为 ，则 的值为( )NM,A. B. C. D.52254554【答 案】D22111 11()06()906xFMxymxx，同理， = .又因为 ，15mFN2(5)x5FA所以 ，2121()()NxxFA 所以 = .所以 .121212205()()Mm6545NFMA故选 D. 二、填空题19已知直线 ，圆 与 .若直线 被:(0)lykx2
20、1:()1Cxy22:(3)1Cxyl圆 ， 所截得两弦的长度之比是 3，则实数 _.1C2 k【答案】 3【解析】由题意得， ，解得 .229131kk1320已知圆 ，若直线 上至少存在一点，使得以该点为2:850Cxyyx圆 心，1 为半径的圆与圆 有公共点，则实数 的取值范围为 _.k【答案】 4,0321已知直线 ，且该直线上的点 始终落在圆210,axbyab1,2A的内部或圆上，则 的取值范围是_215xa【答案】 34,【解析】将 代入 可得 ，即 ，因为1,2A140axby2140ab7ab点 始终落在圆 的内部或圆上，所以 ，, 2525设 ，则 ，代入 ，得 ，代入 ，
21、可得btat71t25，所以 ，解得 ，所以 的取值范围是227(1)5t2150t34tba34,22已知直线 交抛物线 于 两点.若该抛物线上存在点 ，使得xt24yx,ABC，则 的取值范围为_.ACB【答案】 4,)【解析】由题意知 ，设 ，由 得(,2)(,)AtBt(,2)(0CmACB，即 ，0ACB 224)40mtttmt解得 (舍)或 ，由 得 的取值范围为 .t4t40,23设 分别为双曲线 的左，右顶点，若双曲线上存在12, 2:1,xyCab点 使得两直线斜率 ，则双曲线 的离心率的取值范围为_.M12MAkC【答案】 1,3【解析】设 ，由题意知 ，则 ，)(yx)
22、0,(),(21aA axykaxykMAMA21,则 ，又点 在双曲线上，所以 ，代入122MAka )1(222bbyx中可得 122Ayx222 3()bxabcaee24过点 作斜率为 的直线与椭圆 交于 、 两点，),(1)0(1:2byaxCAB若 是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率为_M【答案】2三、解答题25已知圆 经过点 ，圆 的圆心在圆 的内部，且直线C0,2,ABC2xy被圆 所截得的弦长为 .点 为圆 上异于 的任意一点，直线345xy3P,AB与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 .PAMPyN（1 ）求圆 的方程；（2 ）求证： 为定值NB【答案】 （1） 2
23、4xy（2 ）证明：当直线 的斜率不存在时， ；当直线 与直线 的斜率PA8ANBMPAB存在时，设 ，直线 的方程为 ，令 得 .0,Pxy02yx0y02,xy直线 的方程为 ，令 得 .B02yx0,Nx00000422yxyANMy 22000000044 8yxxxyyyy ，故 为定值为ANBM826已知双曲线 与椭圆 有相同的焦点，实半轴长为 C214xy3（1 ）求双曲线 的方程；（2 ）若直线 与双曲线 有两个不同的交点 和 ，且 （其中:2lykxCAB2O为原点） ，求 的取值范围O【答案】 （1） （2）213y31,1k【解析】 （1）设双曲线 的方程为 ，C20,x
24、yab由题意得 ， ，双曲线 的方程为 .3,2ac1bC213xy27已知椭圆 的两个焦点分别为 ，过点2(0)xya12(,0)(,0)Fcc的直线与椭圆相交于 两点，且 2(,0)aEc,AB1212,BA（1 ）求椭圆的离心率；（2 ）求直线 的斜率AB【答案】 （1） （2）3e3【解析】 （1）由 ， ，得 ，从而 ，12FAB 12F21EFBA21ac整理，得 ，故离心率 .23ac3e（2 ）由（1 ）得 ，所以椭圆的方程可化为 ，22bc2236xyc设直线 的方程为 ，即 AB()aykx(3)ykxc设 ，联立得12(,)(,)xy22,6消去 整理，得 ，231870
25、kxckc依题意，得 ，得 ， （* ）248()0c3， ，2123kx2176kcx由题设知，点 为线段 的中点，所以 ，BAE123xc联立解得 ，22199,3kckx代入中，解得 ，满足（*）式，故所求 的值是 k2328双曲线 的中心在原点，右焦点为 ，渐近线方程为 .C0,32Fxy（1 ）求双曲线 的方程；（2 ）设直线 与双曲线 交于 两点，问：当 为何值时，以 为直径的1:kxylCBA,kAB圆过原点？【答案】 （1） （2 ）132yx1k（2 ）由 得 ，2,31kxy2()0kx由 ，且 得 ，且 ，0063k设 ，因为以 为直径的圆过原点，所以 ，21,yxBA、
26、 ABOBA所以 ，又 ，232,3211 kxkx所以 ，)()(22211 kxy所以 ，解得 .032k29已知椭圆 的右焦点为 ，且点 在椭圆 上， 为:C21(0)xyab(1,0)F3(1,)2PCO坐标原点（1 ）求椭圆 的标准方程；（2 ）设过定点 的直线 与椭圆 交于不同的两点 、 ，且 为锐角，求直(0,2)TlCAB线 的斜率 的取值范围；lk（3 ） 过椭圆 上异于其顶点的任一点 ，作圆 的两条切1:C2153xyabP:O342yx线，切点分别为 （ 不在坐标轴上） ，若直线 在 轴、 轴上的截距分别为,MN, MN、 ，证明： 为定值mn213n【答案】 （1） （
27、2） 或 （3）详见解析4xy312kk（2 ）由题意可知直线 的斜率存在，则可设直线 方程为 ，设 、l l2ykx1(,)Axy，由 得 ，2(,)Bxy2,143kxy2(43)1640kxk因为 ，所以 ，216()0k2， ，12643kx1243xk因为 为锐角，所以 ，即 ，AOB0AOB120xy所以 ，1212()xkx所以 ，1()4所以 2246() 033kk即 ，所以 ，所以 ，21602143解得 或 . 31k23k把 点的坐标代入、得P2134,xy所以直线 的方程为 ，MN14xy令 ，得 ，令 得0y143m013n所以 ， ，又点 在椭圆 上，1xyPC所以 ， 即 ，为定值224()()43n234n
