1、单元质检五 数列(B )(时间:45 分钟 满分:100 分)一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 7 分,共 42 分)1.已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn,a3=5,S6=36,则 a6=( )A.9 B.10 C.11 D.122.在单调递减的等比数列a n中,若 a3=1,a2+a4= ,则 a1=( )52A.2 B.4 C. D.22 23.设 an=-n2+9n+10,则数列a n前 n 项和最大时 n 的值为( )A.9 B.10C.9 或 10 D.124.等比数列a n的前 n 项和为 Sn,已知 S3=a2+5a1,a7=2,则 a5=( )A. B.- C.2
2、 D.-212 125.对于数列a n,定义数列a n+1-an为数列 an的“差数列”,若 a1=2,数列a n的“ 差数列”的通项为 2n,则数列a n的前 n 项和 Sn=( )A.2 B.2nC.2n+1-2 D.2n-1-26.已知函数 f(x)=ax+b(a0,a1)的图象经过点 P(1,3),Q(2,5).当 nN *时,a n= ,记数列 an的()-1()(+1)前 n 项和为 Sn,当 Sn= 时,n 的值为( )1033A.7 B.6 C.5 D.4二、填空题(本大题共 2 小题,每小题 7 分,共 14 分)7.在 3 和一个未知数之间填上一个数,使三个数成等差数列,若
3、中间项减去 6,则三个数成等比数列,此未知数是 . 8.已知数列a n满足:a 1=1,an= +2an-1(n2), 若 bn= (nN *),则数列b n的前 n 项和2-1 1+1+ 1+2Sn= . 三、解答题(本大题共 3 小题,共 44 分)9.(14 分) 已知各项均为正数的等比数列a n,其前 n 项和为 Sn,S2=6,S4=30.(1)求a n的通项公式;(2)设 bn= ,bn的前 n 项和为 Tn,证明:T n0,a1)的图象经过点 P(1,3),Q(2,5), +=3,2+=5, =2,=1. f(x)=2x+1. an= .2+1-1(2+1)(2+1+1)= 12
4、+1 12+1+1 Sn= + ,(13-15)+(15-17) ( 12+1- 12+1+1)=13 12+1+1=1033 n=4,故选 D.7.3 或 27 解析 设此三个数为 3,a,b,则 2=3+,(-6)2=3,解得 =3,=3或 =15,=27.故这个未知数为 3 或 27.8.1- 解析 当 n2 时,a n+1= +2an-1+1=(an-1+1)20,122-1 2-1两边取以 2 为底的对数可得 log2(an+1)=log2(an-1+1)2=2log2(an-1+1),则数列log 2(an+1)是以 1 为首项,2 为公比的等比数列,log 2(an+1)=2n-
5、1,an= -1,22-1又 an= +2an-1(n2), 可得 an+1= +2an(nN *),2-1 2两边取倒数可得 ,即 ,1+1= 12+2= 1(+2)=12(1- 1+2) 2+1=1 1+2因此 bn= ,1+1+ 1+2=1 1+1所以 Sn=b1+bn= =1- ,故答案为 1- .11 1+1 122-1 122-19.(1)解 设a n的公比为 q,由题意知 q1.1(1-2)1- =6, 1(1-4)1- =30, 由 ,得 =30,1(1+2)(1-2)1-将 代入,得 1+q2=5,q2=4. q0, q=2,代入 ,得 a1=2. an=2n.(2)证明 由
6、(1)得 bn= ,1(2)(2+2)= 1(+2)=12(1- 1+2) Tn= + .12(1-13)+12(12-14)+12(13-14) 12(1- 1+2)=12(1+12- 1+1- 1+2)0,解得 q=2.所以,b n=2n.由 b3=a4-2a1,可得 3d-a1=8. 由 S11=11b4,可得 a1+5d=16, 联立 ,解得 a1=1,d=3,由此可得 an=3n-2.所以,数列a n的通项公式为 an=3n-2,数列b n的通项公式为 bn=2n.(2)设数列a 2nb2n-1的前 n 项和为 Tn,由 a2n=6n-2,b2n-1=24n-1,有 a2nb2n-1
7、=(3n-1)4n,故 Tn=24+542+843+(3n-1)4n,4Tn=242+543+844+(3n-4)4n+(3n-1)4n+1,上述两式相减,得-3Tn=24+342+343+34n-(3n-1)4n+1= -4-(3n-1)4n+1=-(3n-2)4n+1-8.12(1-4)1-4得 Tn= 4n+1+ .3-23 83所以,数列a 2nb2n-1的前 n 项和为 4n+1+ .3-23 8311.解 (1) bn+1-bn= = = =2(常数),22+1-1 22-1 22(1-14)-1 22-1 42-1 22-1 数列b n是等差数列. a1=1, b1=2,因此 bn=2+(n-1)2=2n.由 bn= ,得 an= .22-1 +12(2)由 cn= ,an= ,得 cn= ,4+1 +12 2 cncn+2= =2 ,4(+2) (1- 1+2) Tn=2 + =2 3,(1-13 +1214+1315 1 1+2) (1+12- 1+1- 1+2)依题意要使 Tn 对于 n N*恒成立,只需 3,即 3,1+1 1+1 (+1)4解得 m3 或 m-4.又 m 为正整数, m 的最小值为 3.
