1、23 离散型随机变量的均值与方差23.1 离散型随机变量的均值1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值 2.理解离散型随机变量均值的性质3会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量取值水平，解决一些相关的实际问题1离散型随机变量的均值或数学期望(1)定义：一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为X x1 x2 xi xnP p1 p2 pi pn则称 E(X)x 1p1x 2p2x ipix npn 为随机变量 X 的均值或数学期望(2)意义：离散型随机变量 X 的均值或数学期望反映了离散型随机变量取值的 平均水平(3)性质：如果 X 为离散型随机变量，则
2、YaXb( 其中 a，b 为常数)也是随机变量，且E(Y)E(aX b)aE(X ) B随机变量的均值与样本平均值的关系：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是 一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近总体的均值2两点分布、二项分布的均值(1)若随机变量 X 服从两点分布，则 E(X)p(p 为成功概率) (2)若 X B(n，p)，则 E(X)np判断正误(正确的打“” ，错误的打 “”)(1)随机变量 X 的数学期望 E(X)是个变量，其随 X 的变化而变化( )(2)随机变量的均值与样本的平均值相同( )(3
3、)若随机变量 X 的数学期望 E(X)2，则 E(2X)4.( )答案：(1) (2) (3) 若 XB ，则 E(X)的值为( )(4， 12)A4 B2C1 D.12答案：B随机变量 X 的分布列为X 1 2 3P 0.2 0.5 m则 X 的均值是( )A2 B2.1C2.3 D随 m 的变化而变化答案：B设 X 的分布列为X 1 2 3 4P 16 16 13 13，Y2X5，则 E(Y)_答案：323探究点 1 求离散型随机变量的均值赌博有陷阱某种赌博每局的规则是赌客先在标记有 1，2，3，4，5 的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金(单位：元) ；随后放回该卡片，再随机摸
4、取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的 1.4 倍作为其奖金(单位：元) 若随机变量 1 和 2 分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则 E(1)E (2) _元【解析】 赌金的分布列为1 1 2 3 4 5P 15 15 15 15 15所以 E(1) (12345)3.15奖金的分布列为2 1.4 2.8 4.2 5.6P2531015110所以 E(2)1.4 2.8.(251 3102 153 1104)E(1)E( 2)0.2.【答案】 0.2求离散型随机变量的均值的步骤(1)确定取值：根据随机变量 X 的意义，写出 X 可能取得的全部值 (2)求概率：求 X 取每个值的概率(3
5、)写分布列：写出 X 的分布列 (4)求均值：由均值的定义求出 E(X)，其中写出随机变量的分布列是求解此类问题的关键所在1.(2018广东广州模拟) 已知某一随机变量 的分布列如下表所示，若 E()6.3，则 a 的值为( ) a 7 9P b 0.1 0.4A.4 B5C6 D 7解析：选 A.根据随机变量 的分布列可知 b0.10.4 1，所以 b0.5.又 E()ab70.190.46.3，所以 a4.2某商店试销某种商品 20 天，获得如下数据：日销售量(件) 0 1 2 3频数 1 5 9 5试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变 )，设某天开始营业时有该商品 3 件，当天
6、营业结束后检查存货，若发现存量少于 2 件，则当天进货补充至 3 件，否则不进货，将频率视为概率(1)求当天商店不进货的概率；(2)记 X 为第二天开始营业时该商品的件数，求 X 的分布列和数学期望解：(1)P( 当天商店不进货)P(当天商店销售量为 0 件) P(当天商店销售量为 1 件) 120 .520 310(2)由题意知 X 的可能取值为 2，3，P(X2) P(当天商品销售量为 1 件) ，520 14P(X3)P(当天商品销售量为 0 件)P( 当天商品销售量为 2 件)P(当天商品销售量为 3件) .120 920 520 34故 X 的分布列为X 2 3P 14 34所以 X
7、 的数学期望为 E(X)2 3 .14 34 114探究点 2 离散型随机变量均值的性质已知随机变量 X 的分布列为：X 2 1 0 1 2P 14 13 15 m 120(1)求 E(X)；(2)若 Y2X3，求 E(Y)【解】 (1)由随机变量分布列的性质，得 m 1，解得 m ，14 13 15 120 16所以 E(X)(2) (1) 0 1 2 .14 13 15 16 120 1730(2)法一：由公式 E(aXb)aE(X)b，得E(Y)E(2 X3)2E(X )32( )3 .1730 6215法二：由于 Y2X3，所以 Y 的分布列如下：Y 7 5 3 1 1P 14 13
8、15 16 120所以 E(Y)( 7) (5) ( 3) ( 1) 1 .14 13 15 16 120 6215变问法 本例条件不变，若 aX3，且 E() ，求 a 的值112解：E( )E( aX3)aE(X) 3 a3 ，1730 112所以 a15. 与离散型随机变量性质有关问题的解题思路若给出的随机变量 与 X 的关系为 aXb，a，b 为常数一般思路是先求出 E(X)，再利用公式 E(aXb)aE(X) b 求 E()也可以利用 X 的分布列得到 的分布列，关键由 X的取值计算 的取值，对应的概率相等，再由定义法求得 E() 已知随机变量 的分布列为 1 0 1P 12 13
9、m若 a3，E( ) ，则 a( )73A1 B2C3 D 4解析：选 B.由分布列的性质得 m1，所以 m ，12 13 16所以 E()1 0 1 ，12 13 16 13法一：E( )E(a3)aE ()3 a3 .13 73所以 a2.法二：因为 a3，所以 的分布列如下： a3 3 a3P 12 13 16E()( a3) 3 (a3) .12 13 16 73所以 a2.探究点 3 两点分布与二项分布的均值某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消费 500 元便得到抽奖券一张，每张抽奖券的中奖概率为 ，若中奖，商场返还顾客现金 100 元某顾客现购买价格为 2 12300
10、元的台式电脑一台，得到抽奖券四张每次抽奖互不影响(1)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为 X，求随机变量 X 的分布列；(2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为 Y(元)，用 X 表示 Y，并求随机变量 Y 的均值.【解】 (1)因为每张奖券是否中奖是相互独立的，因此 XB .(4， 12)所以 P(X0)C ，P(X1) C .04 (12)4116 14 (12)414P(X2)C ，P(X 3) C ，24 (12)438 34 (12)414P(X4)C .4 (12)4116所以离散型随机变量 X 的分布列为X 0 1 2 3 4P 116 14 38 14 116(2)因为 XB ，所
11、以 E(X)4 2.(4， 12) 12又由题意可知 Y2 300100X，所以 E(Y)E (2 300100X)2 300100E (X)2 30010022 100(元) 即所求随机变量 Y 的均值为 2 100 元(1)如果随机变量 X 服从两点分布，则其期望值 E(X)p(p 为成功概率) (2)如果随机变量 X 服从二项分布，即 XB(n，p) ，则 E(X)np.以上两特例可以作为常用结论，直接代入求解，从而避免了繁杂的计算过程 某广场上有 4 盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是 ，出现绿灯的概率都是 .记这 4 盏灯中出现红灯的数量为 ，当这
12、4 盏23 13装饰灯闪烁一次时：(1)求 2 时的概率；(2)求 的数学期望解：(1)依题意知：2 表示 4 盏装饰灯闪烁一次时，恰好有 2 盏灯出现红灯，而每盏灯出现红灯的概率都是 ，故 2 时的概率 PC ( )2( )2 .23 2423 13 827(2)法一： 的所有可能取值为 0，1，2，3，4，依题意知：P( k)C ( )k( )k423 134k (k0，1，2，3，4)所以 的概率分布列为 0 1 2 3 4P 181 881 2481 3281 1681所以 E()0 1 2 3 4 .181 881 2481 3281 1681 83法二：因为 服从二项分布，即 B(
13、4， )，23所以 E()4 .23 83探究点 4 均值问题的实际应用(2016高考全国卷) 某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数(1)求
14、X 的分布列；(2)若要求 P(Xn)0.5，确定 n 的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 n 19 与 n20 之中选其一，应选用哪个？【解】 (1)由柱状图并以频率代替概率可得，1 台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11 的概率分别为 0.2，0.4，0.2，0.2，从而P(X16)0.20.20.04；P(X17)20.20.40.16 ；P(X18)20.20.20.4 0.40.24；P(X19)20.20.22 0.40.20.24；P(X20)20.20.40.2 0.20.2；P(X21)20.20.20.08 ；P(X22)0.20.2
15、0.04.所以 X 的分布列为X 16 17 18 19 20 21 22P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04(2)由(1)知 P(X18)0.44，P(X19) 0.68，故 n 的最小值为 19.(3)记 Y 表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用 (单位：元 )当 n19 时，E(Y)192000.68(19200500) 0.2(192002500)0.08(192003500)0.044 040.当 n20 时，E(Y)202000.88(20200500) 0.08(202002500) 0.044 080.可知当 n19 时所需费用的期望值小
16、于当 n20 时所需费用的期望值，故应选 n19.(1)实际问题中的均值问题均值在实际中有着广泛的应用，如在体育比赛的安排和成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益等，都可以通过随机变量的均值来进行估计 (2)概率模型的解答步骤审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些；确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值；对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为 ，中奖可以获得 2 分；方案乙的中奖率为 ，中奖可以获得 3 分；未中奖则不得23 25分每人有且只有一次抽奖机会，每
17、次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为 X，求 X3 的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，则他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？解：(1)由已知得小明中奖的概率为 ，小红中奖的概率为 ，两人中奖与否互不影响，记23 25“这 2 人的累计得分 X3”为事件 A，则事件 A 的对立事件为“X5” ，因为 P(X5) ，23 25 415所以 P(A)1P(X5) .1115所以这两人的累计得分 X3 的概率为 .1115(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为 X1，都选择方
18、案乙抽奖中奖的次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为 E(2X1)， 选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为 E(3X2)由已知得 X1B ，(2， 23)X2B ，(2， 25)所以 E(X1)2 ，E(X 2)2 ，23 43 25 45所以 E(2X1)2E(X 1) ，83E(3X2)3E(X 2) .125因为 E(2X1)E(3X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大1口袋中有编号分别为 1、2、3 的三个大小和形状相同的小球，从中任取 2 个，则取出的球的最大编号 X 的均值为( )A. B.13 23C2 D.83解析：选 D.X 可能取值为
19、2， 3.P(X2) ，13P(X3) .23所以 E(X) 2 32 .13 23 23 832毕业生小王参加人才招聘会，分别向 A，B 两个公司投递个人简历假定小王得到 A 公司面试的概率为 ，得到 B 公司面试的概率为 p，且两个公司是否让其面试是独立的记 13为小王得到面试的公司个数若 0 时的概率 P(0) ，则随机变量 的数学期望 E()12_解析：由题意，得 P(2) p，P (1) (1p) p ，13 13 23 1 p3 的分布列为 0 1 2P 12 1 p3 p13由 p1，得 p .12 1 p3 13 14所以 E()0 1 2 p .12 1 p3 13 712答
20、案：7123某班将要举行篮球比赛，比赛规则是：每位选手可以选择在 A 区投篮 2 次或选择在 B区投篮 3 次，在 A 区每进一球得 2 分，不进球得 0 分；在 B 区每进一球得 3 分，不进球得0 分，得分高的选手胜出已知某参赛选手在 A 区和 B 区每次投篮进球的概率分别是 和 .如910 13果以投篮得分的期望值高作为选择的标准，问该选手应该选择哪个区投篮？请说明理由解：设该选手在 A 区投篮的进球数为 X，则 XB ，故 E(X)2 .(2， 910) 910 95则该选手在 A 区投篮得分的期望为 2 3.6，95设该选手在 B 区投篮的进球数为 Y，则 YB ，(3， 13)故
21、E(Y)3 1，则该选手在 B 区投篮得分的期望为 313，13因为 3.63，所以该选手应选择在 A 区投篮知识结构 深化拓展对离散型随机变量的均值的理解(1)均值这一概念是建立在随机变量分布列的基础之上的，分布列中随机变量 X 的一切可能值 xi 与对应的概率 P(Xx i)的乘积的和就叫做随机变量 X 的均值(2)由于离散型随机变量 X 的每一种可能取值的概率满足i1，因而离散型随机变量 X 的均值 E(X)是以概率 pi 为权ni 1p数的加权平均(3)离散型随机变量的分布列和均值虽然都是从整体上刻画随机变量的，但二者大有不同分布列只给出了随机变量取所有可能值的概率，而均值建立在分布列
22、的基础之上，它反映了随机变量取值的平均水平或集中位置., A 基础达标1已知 B(n， )， B(n， )，且 E()15，则 E()等于( )12 13A5 B10C15 D 20解析：选 B.因为 E() n15，所以 n30，12所以 B(30 ， )，所以 E()30 10.13 132设 的分布列为 1 2 3 4P 16 16 13 13又设 2 5，则 E()等于 ( )A. B.76 176C. D.173 323解析：选 D.E()1 2 3 4 ，16 16 13 13 176E()E (25) 2E ()52 5 .176 3233某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验
23、，若试验失败，再重新试验一次，若试验3 次均失败，则放弃试验若此人每次试验成功的概率为 ，则此人试验次数 的均值是( )23A. B.43 139C. D.53 137解析：选 B.试验次数 的可能取值为 1，2，3，则 P( 1) ，23P(2) ，13 23 29P(3) ( ) .13 13 23 13 19所以 的分布列为 1 2 3P 23 29 19所以 E()1 2 3 .23 29 19 1394两封信随机投入 A，B，C 三个空邮箱，则 A 邮箱的信件数 X 的数学期望 E(X)( )A. B.13 23C. D.12 34解析：选 B.两封信随机投入 A，B ，C 三个空邮
24、箱，共有 329( 种)情况则投入 A 邮箱的信件数 X 的概率 P(X2) ，P( X1) ， 所以 P(X0)1P( X2)19 49P(X 1) .所以离散型随机变量 X 的分布列为49X 0 1 2P 49 49 19所以 E(X)01 2 .故选 B.49 19 235甲、乙两名射手一次射击得分(分别用 X1，X 2 表示) 的分布列如下：甲得分：X1 1 2 3P 0.4 0.1 0.5乙得分：X2 1 2 3P 0.1 0.6 0.3则甲、乙两人的射击技术是( )A甲更好 B乙更好C甲、乙一样好 D不可比较解析：选 B.因为 E(X1)10.420.130.52.1，E (X2)
25、10.120.630.32.2，所以 E(X2)E(X1)，故乙更好些6某电视台开展有奖答题活动，每次要求答 30 个选择题，每个选择题有 4 个选项，其中有且只有一个正确答案，每一题选对得 5 分，选错或不选得 0 分，满分 150 分，规定满100 分拿三等奖，满 120 分拿二等奖，满 140 分拿一等奖有一个选手选对任一题的概率都是 0.8，则该选手可能拿到_等奖解析：选对题的个数 X 服从二项分布，即 XB(30，0.8)，所以 E(X)300.824，由于245120(分)，所以可能拿到二等奖答案：二7体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球 3 次，一旦发球成功，则停
26、止发球，否则一直发到 3 次为止设学生一次发球成功的概率为 p(p0) ，发球次数为 X，若 X 的数学期望 E(X)1.75，则 p 的取值范围是_ 解析：由已知条件可得 P(X1) p，P (X2)(1 p)p，P(X3) (1p) 2p(1 p)3(1p) 2，则 E(X)P( X1)2P(X2) 3P (X3)p 2(1p)p3(1p)2p 23p31.75，解得 p 或 p ，又由 p(0，1)，可得 p(0 ， )52 12 12答案：(0， )128某日 A、B 两个沿海城市受台风袭击(相互独立) 的概率相同，已知 A 市或 B 市受台风袭击的概率为 0.36，若用 X 表示这一
27、天受台风袭击的城市个数，则 E(X)_解析：设 A、B 两市受台风袭击的概率均为 p，则 A 市和 B 市均不受台风袭击的概率为(1p) 210.36，解得 p0.2 或 p1.8(舍去) ，则 P(X0)10.360.64，P(X1)20.80.20.32，P(X 2) 0.20.20.04，所以 E(X)00.6410.3220.040.4.答案：0.49已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结束(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品
28、需要费用 100 元，设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所需要的检测费用(单位：元 )，求 X 的分布列和均值 (数学期望)解：(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件 A，P( A) .310(2)X 的可能取值为 200，300，400.P(X200) ，110P(X300) ，310P(X400)1P(X200) P(X300) 1 .110 310 610故 X 的分布列为X 200 300 400P 110 310 610E(X)200 300 400 350.110 310 61010(2018陕西西安长安一中高二下学期期中) 如图是预测
29、到的某地 5 月 1 日至 14 日的空气质量指数(AQI)趋势图，空气质量指数小于 100 表示空气质量优良，空气质量指数大于 200表示空气重度污染，某人随机选择 5 月 1 日至 5 月 13 日中的某一天到达该市，并停留 2天(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；(2)设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求 X 的分布列与均值解：设 Ai 表示事件“此人于 5 月 i 日到达该地”(i1，2，13)依据题意 P(Ai) .113(1)设 B 表示事件“此人到达当日空气质量优良” ，则 P(B) .613(2)离散型随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2.P(X0) ，P(X
30、1) ，P(X2) .513 413 413所以随机变量 X 的分布列为X 0 1 2P 513 413 413所以随机变量 X 的均值为 E(X)0 1 2 .513 413 413 1213B 能力提升11某中学选派 40 名学生参加北京市高中生技术设计创意大赛的培训，他们参加培训的次数统计如表所示：培训次数 1 2 3参加人数 5 15 20(1)从这 40 名学生中任选 3 名，求这 3 名学生中至少有 2 名学生参加培训次数恰好相等的概率；(2)从这 40 名学生中任选 2 名，用 X 表示这 2 人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列及数学期望 E(X)解：(1)这 3
31、 名学生中至少有 2 名学生参加培训次数恰好相等的概率 P1 .419494(2)由题意知 X0，1，2，P(X0) ，61156P(X1) ，2552P(X2) ，539则随机变量 X 的分布列为X 0 1 2P 61156 2552 539所以 X 的数学期望 E(X)0 1 2 .61156 2552 539 11515612某游戏射击场规定：每次游戏射击 5 发子弹；5 发全部命中奖励 40 元，命中 4 发不奖励，也不必付款，命中 3 发或 3 发以下，应付款 2 元现有一游客，其命中率为 .12(1)求该游客在一次游戏中 5 发全部命中的概率；(2)求该游客在一次游戏中获得奖金的均
32、值解：(1)设 5 发子弹命中 X(X0，1，2，3，4，5) 发，由题意知 XB(5， )，则由题意有12P(X5)C ( )5 .512 132(2)X 的分布列为X 0 1 2 3 4 5P 132 532 1032 1032 532 132设游客在一次游戏中获得资金为 Y 元，于是 Y 的分布列为Y 2 0 40P 1316 532 132故该游客在一次游戏中获得资金的均值为E(Y)(2) 0 40 .1316 532 132 3813(选做题) 某煤矿发生透水事故时，作业区有若干人员被困救援队从入口进入后，有L1，L 2 两条巷道通往作业区(如图) L 1 巷道有 A1，A 2，A
33、3 三个易堵塞点，各点被堵塞的概率都是 ；L 2 巷道有 B1，B 2 两个易堵塞点，被堵塞的概率分别为 ， .12 34 35(1)求 L1 巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率；(2)若 L2 巷道堵塞点的个数为 X，求 X 的分布列及数学期望 E(X)，并请你按照“平均堵塞点少的巷道是较好的抢险路线”的标准，帮助救援队选择一条抢险路线，同时说明理由解：(1)设“L 1 巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞” 为事件 A，则 P(A)C C .03 (12)31312 (12)212(2)根据题意，知 X 的可能取值为 0，1，2.P(X0) ，(1 34) (1 35) 110P(
34、X1) ，34 (1 35) (1 34) 35 920P(X2) .34 35 920所以随机变量 X 的分布列为X 0 1 2P 110 920 920E(X)0 1 2 .110 920 920 2720法一：设 L1 巷道中堵塞点个数为 Y，则 Y 的可能取值为 0，1，2，3.P(Y0)C ，03 (12)318P(Y1)C ，1312 (12)238P(Y2)C ，23 (12)212 38P(Y3)C .3 (12)318所以随机变量 Y 的分布列为Y 0 1 2 3P 18 38 38 18E(Y)0 1 2 3 .18 38 38 18 32因为 E(X)E(Y)，所以选择 L2 巷道为抢险路线较好法二：设 L1 巷道中堵塞点个数为 Y，则随机变量 YB ，所以 E(Y)3 .(3， 12) 12 32因为 E(X)E(Y)，所以选择 L2 巷道为抢险路线较好
