1、32 立体几何中的向量方法第 1 课时 空间向量与平行、垂直关系1.理解直线的方向向量与平面的法向量的概念 2.会求平面的法向量3能利用直线的方向向量和平面的法向量判断并证明空间中的平行、垂直关系1直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的向量，一条直线的方向向量有无数个(2)平面的法向量直线 l，取直线 l 的方向向量 a，则向量 a 叫做平面 的法向量2空间平行关系的向量表示(1)线线平行设直线 l，m 的方向向量分别为 a(a 1，b 1，c 1)，b(a 2，b 2，c 2)，则lm aba ba1a 2，b 1b 2，c 1c 2(R )
2、(2)线面平行设直线 l 的方向向量为 a(a 1，b 1，c 1)，平面 的法向量为 u(a 2，b 2，c 2)，则l aua u0 a1a2 b1b2c 1c20.(3)面面平行设平面 ， 的法向量分别为 u(a 1，b 1，c 1)，v (a 2，b 2，c 2)，则 uv uv a1a 2，b 1b 2，c 1c 2(R )3空间垂直关系的向量表示(1)线线垂直设直线 l 的方向向量为 a(a 1，a 2，a 3)，直线 m 的方向向量为 b(b 1，b 2，b 3)，则lm abab0 a1b1 a2b2a 3b30(2)线面垂直设直线 l 的方向向量是 a(a 1，b 1，c 1
3、)，平面 的法向量是 u(a 2，b 2，c 2)，则l aua ua1a 2，b 1b 2，c 1c 2(R )(3)面面垂直若平面 的法向量 u(a 1，b 1，c 1)，平面 的法向量 v(a 2，b 2，c 2)，则 uv uv0 a1a2b 1b2c 1c20判断(正确的打“” ，错误的打 “”)(1)若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反( )(2)平面 的法向量是惟一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量( )(3)两直线的方向向量平行，则两直线平行( )(4)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直( )答案：(1) (2) (3) (4)若 A
4、(1，0， 1)，B(2，1，2)在直线 l 上，则直线 l 的一个方向向量是( )A(2，2，6) B(1，1，3)C(3，1，1) D.(3，0，1)答案：A若平面 ，且平面 的一个法向量为 n ，则平面 的法向量可以是( )( 2，1，12)A. B(2，1，0)( 1，12，14)C(1，2，0) D.(12，1，2)答案：C若直线的方向向量为 u1 ，平面的法向量为 u2(3，2，z) ，则当直线与平(2，43，1)面垂直时 z_答案：32设平面 的法向量为(1，3，2) ，平面 的法向量为(2，6，k )，若 ，则k_ 答案：4探究点 1 求直线的方向向量与平面的法向量学生用书 P
5、64如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，E 为 PD 的中点，ABAP1，AD ，试建立恰当的3空间直角坐标系，求平面 ACE 的一个法向量【解】 因为 PA平面 ABCD，底面 ABCD 为矩形，所以 AB，AD，AP 两两垂直如图，以 A 为坐标原点， 的方向为 x 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则 D(0，AB ， 0)，E ，B(1，0 ，0)，C(1， ，0)，于是 ，3 (0，32，12) 3 AE (0，32，12)(1， ，0)AC 3设 n(x，y，z )为平面 ACE 的法向量，则 即 所以nAC 0，nAE 0，) x 3y 0，3
6、2y 12z 0，) x 3y，z 3y，)令 y1，则 xz .3所以平面 ACE 的一个法向量为 n( ，1， )3 3变问法 本例条件不变，试求直线 PC 的一个方向向量和平面 PCD 的一个法向量解：如图所示，建立空间直角坐标系，则 P(0，0，1) ，C (1， ，0)，所以 (1， ，1) ，3 PC 3即为直线 PC 的一个方向向量设平面 PCD 的法向量为 n( x，y，z) 因为 D(0， ，0)，所以 (0， ，1)3 PD 3由 即nPC 0，nPD 0，) x 3y z 0，3y z 0，)所以 x 0，z 3y，)令 y1，则 z .3所以平面 PCD 的一个法向量为
7、(0，1， )3待定系数法求平面法向量的步骤(1)设向量：设平面的法向量为 n( x，y ，z) (2)选向量：在平面内选取两不共线向量 ， .AB AC (3)列方程组：由 列出方程组nAB 0，nAC 0)(4)解方程组： nAB 0，nAC 0.)(5)赋非零值：取其中一个为非零值( 常取1) (6)得结论：得到平面的一个法向量 1.已知 A(0， y，3)，B( 1，2，z)，若直线 l 的方向向量v(2， 1，3)与直线 AB 的方向向量平行，则 yz 等于( )A3 B0C1 D.3解析：选 B.由题意，得 ( 1，2y，z3)，则 ，解得 yAB 12 2 y1 z 33，z ，
8、所以 yz0，故选 B.32 322在ABC 中，A(1 ，1，2)，B(3，3，1) ，C (3，1，3)，设 M(x，y，z) 是平面 ABC内任意一点(1)求平面 ABC 的一个法向量；(2)求 x，y，z 满足的关系式解：(1)设平面 ABC 的法向量 n(a，b，c)因为 (2 ，4，1)， (2，2，1) ，AB AC 所以 ，所以 ，nAB 2a 4b c 0nAC 2a 2b c 0) c ba 32b)令 b2，则 a3，c2.所以平面 ABC 的一个法向量为 n(3，2，2)(2)因为点 M(x，y ，z)是平面 ABC 内任意一点，所以 n，AM 所以3(x1)2(y 1
9、)2(z2)0，所以 3x2y2z10.故 x，y，z 满足的关系式为 3x2y2z10.探究点 2 利用空间向量证明平行关系学生用书 P64已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 2，E，F 分别是 BB1，DD 1 的中点求证：FC 1平面 ADE.【证明】 如图所示，建立空间直角坐标系 Dxyz，则有 D(0，0，0)，A (2，0，0)，C(0，2，0)，C 1(0，2，2)，E(2，2，1) ，F(0，0，1)，B1(2，2，2) (0，2，1)， (2，0，0)， (0 ，2，1)FC1 DA AE 设 n1(x 1，y 1，z 1)是平面 ADE 的法向量，则 n1 DA
10、 ，n1 AE ，)即 n1DA 2x1 0，n1AE 2y1 z1 0，)解得 x1 0，z1 2y1，)令 z12，则 y11.所以 n1(0 ， 1，2)因为 n1220.FC1 所以 n 1.FC1 因为 FC1平面 ADE，所以 FC1平面 ADE.变问法 在本例条件下，求证：平面 ADE平面 B1C1F.证明：由本例证明知 (2，0，0)，C1B1 设 n2(x 2，y 2，z 2)是平面 B1C1F 的法向量由 n2 ，n 2 ，得FC1 C1B1 得n2FC1 2y2 z2 0，n2C1B1 2x2 0，) x2 0，z2 2y2.)令 z22 得 y21，所以 n2(0 ，
11、1，2)，因为 n1n 2，所以平面 ADE平面 B1C1F.证明线、面平行问题的方法(1)用向量法证明线面平行：是证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；是证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示；是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内(2)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行 在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB3，AD4，AA 12，点 M 在棱BB1 上，且 BM2MB 1，点 S 在 DD1 上，且 SD12SD ，点 N，R 分别为 A1D1，BC 的中点求证：MNRS.证明：法一：如图所示，建立空间直角坐标
12、系，根据题意得 M(3，0， )，N (0，2，2) ，R (3，2，0)，S(0 ，4， )43 23所以 (3，2， )， (3，2， )，MN 23 RS 23所以 ，所以 ，因为 MRS，所以 MNRS.MN RS MN RS 法二：设 a， b， c，AB AD AA1 则 ca b， ba c.MN MB1 B1A1 A1N 13 12 RS RC CD DS 12 13所以 ，所以 .MN RS MN RS 又 RMN，所以 MNRS.探究点 3 利用空间向量证明垂直关系学生用书 P65在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 是正方形，AS底面 ABCD，且ASAB ，E 是
13、SC 的中点求证：平面 BDE平面 ABCD.【证明】 设 ASAB 1，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，则 B(1，0，0)，D(0，1 ，0) ，A (0，0，0)，S(0 ，0，1) ，E .(12，12，12)法一：如图，连接 AC，交 BD 于点 O，连接 OE，则点 O 的坐标为 .易知(12，12，0)(0，0，1)， ，所以 ，所以 OEAS.AS OE (0，0，12) OE 12AS 又 AS底面 ABCD，所以 OE平面 ABCD.又 OE平面 BDE，所以平面 BDE平面 ABCD.法二：设平面 BDE 的法向量为 n1(x，y，z)易知 ( 1，1，0) ，
14、，BD BE ( 12，12，12)所以 n1 BD ，n1 BE ，)即n1BD x y 0，n1BE 12x 12y 12z 0.)令 x1，可得平面 BDE 的一个法向量为 n1(1，1，0) 因为 AS底面 ABCD，所以平面 ABCD 的一个法向量为 n2 (0，0，1) AS 因为 n1n20，所以平面 BDE平面 ABCD.证明线、面垂直问题的方法(1)用向量法判定线面垂直，只需直线的方向向量与平面的法向量平行或直线的方向向量与平面内两相交的直线的方向向量垂直即可(2)用向量法判定两个平面垂直，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是否为 0 即可 如图，ABC 中，AC
15、BC ，D 为 AB 边中点，PO平面 ABC，垂足O 在 CD 上，求证：ABPC.证明：设 a， b， v .由条件知，v 是平面 ABC 的法向量，CA CB OP 所以 va0， vb0，因为 D 为 AB 中点，所以 (ab)，因为 O 在 CD 上，所以存在实数 ，使 (ab) CD 12 CO CD 2因为 CACB，所以|a| |b|，所以 AB CP (ba) 2（a b） v (ab)(ba)(ba)v2 (|b|2|a| 2)bvav 0，2所以 ，AB CP 所以 ABPC.1在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M 是棱 DD1 的中点，O 是正方形 ABCD 的中
16、心，证明：OA 1AM .证明：设正方体棱长为 1，建立空间直角坐标系，如图，则 A(1，0，0) ，A 1(1，0，1)，M ，O ，(0，0，12) (12，12，0)所以 (1 ，0，1) ，OA1 (12，12，0) (12， 12，1) (1，0，0) ，AM (0，0，12) ( 1，0，12)所以 (1) 01 0，即 OA1AM.OA1 AM 12 ( 12) 122在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AA 12AB2BC ，E，F，E 1 分别是棱AA1，BB 1，A 1B1 的中点求证： CE平面 C1E1F.证明：以 D 为原点，以 DA，DC，DD 1 所在的直线分
17、别为 x，y ， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系设 BC1，则 C(0，1，0)，E(1，0，1) ，C1(0，1，2)，F(1 ，1，1)，E 1 .(1，12，2)设平面 C1E1F 的法向量为 n (x，y，z)，因为 ， ( 1，0，1)，C1E1 (1， 12，0) FC1 所以 nC1E1 0，nFC1 0，)即 x 12y，x z，)取 n(1 ，2， 1)因为 (1，1，1)，n 1210，CE CE 所以 n，且 CE平面 C1E1F.CE 所以 CE平面 C1E1F.学生用书 P66知识结构 深化拓展用空间向量解决立体几何的问题有三步(1)首先建立适当的空间坐标系，一
18、般是用互相垂直的直线为 x，y，z 轴，设出点的坐标(2)通过向量的坐标运算，来研究点、直线、平面之间的关系，把几何问题转化为代数问题(3)把向量的运算结果“翻译”为相应的几何意义，据几何意义求出结果. 学生用书 P137(单独成册)A 基础达标1已知 a ，b 分别是直线 l1，l 2 的一个方向向量若 l1l 2，则( )(1，2，52) (32，x，y)Ax3，y Bx ，y152 32 154Cx 3，y 15 D.x3，y 154解析：选 D.因为 l1l 2，所以 ，所以 x3，y ，故选 D.321 x2y52 1542直线 l 的一个方向向量和平面 的一个法向量分别是 m(1，
19、1，3)，n ，则直线 l 与平面 的位置关系是( )(13，0，19)Al BlCl 或 l D.无法判断解析：选 C.因为 mn 0 0，13 13所以 mn.所以 l 或 l.3设直线 l 的方向向量 u(2，2，t)，平面 的一个法向量 v(6 ，6，12)，若直线 l平面 ，则实数 t 等于( )A4 B4C2 D.2解析：选 B.因为直线 l平面 ，所以 uv，则 ，解得 t4，故选 B. 26 2 6 t124已知平面 内有一个点 A(2，1，2) ， 的一个法向量为 n(3，1，2)，则下列点P 中，在平面 内的是( )A(1，1，1) B.(1，3，32)C. D.(1， 3
20、，32) ( 1，3， 32)解析：选 B.要判断点 P 是否在平面 内，只需判断向量 与平面 的法向量 n 是否PA 垂直，即 n 是否为 0，因此，要对各个选项进行检验PA 对于选项 A， (1 ，0，1)，PA 则 n(1 ，0，1)(3，1，2)50，故排除 A；PA 对于选项 B， ，PA (1， 4，12)则 n (3，1，2)0，故 B 正确；PA (1， 4，12)同理可排除 C，D.故选 B.5如图，PA平面 ABCD，四边形 ABCD 为正方形，E 是 CD 的中点，F 是 AD 上一点，当 BFPE 时，AFFD 的值为( )A12 B11C31 D.21解析：选 B.建
21、立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为 1，PAa，则B(1， 0，0) ，E ，P(0 ，0，a) (12，1，0)设点 F 的坐标为(0，y，0)，则 (1，y，0)， .BF PE (12，1， a)因为 BFPE，所以 0，BF PE 解得 y ，即点 F 的坐标为 ，12 (0，12，0)所以 F 为 AD 的中点，所以 AFFD 11.6已知平面 的一个法向量 a(x，1，2)，平面 的一个法向量 b ，若( 1，y，12)，则 xy _解析：因为 ，所以 ab ，所以x y10，得 xy1.答案：17已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，如果 (2，1，4) ，
22、AB (4，2，0)， (1， 2，1) 给出下列结论： APAB；APAD； 是平AD AP AP 面 ABCD 的一个法向量其中正确的是_( 填序号 )解析： 2(1)(1) 2(4)( 1)2240，则 ，则AB AP AB AP AB AP. 4(1)2200，则 ，则 APAD.又 ABAD A，所以AD AP AP AD AP 平面 ABCD，故 是平面 ABCD 的一个法向量AP 答案：8已知 (1，5，2)， (3，1，z )，若 ， (x1，y，3) ，且AB BC AB BC BP 平面 ABC，则 _BP BP 解析：因为 ，所以 0，AB BC AB BC 所以 352
23、z0，所以 z4.因为 (x1，y ，3)，且 平面 ABC，BP BP 所以 BP AB 0，BP BC 0，)即 解得x 1 5y 6 0，3x 3 y 12 0，) x 407，y 157，)故 .BP (337， 157， 3)答案： (337， 157， 3)9已知正三棱柱 ABCA1B1C1 的各棱长都为 1，M 是底面上 BC 边的中点，N 是侧棱 CC1 上的点，且 CN CC1.求证：AB 1MN.14证明：设 AB 中点为 O，作 OO1AA 1.以 O 为坐标原点，OB 所在直线为 x 轴，OC 所在直线为 y 轴，OO 1 所在直线为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系
24、由已知得A ，B ，( 12，0，0) (12，0，0)C ，N ，(0，32，0) (0，32，14)B1 ，M .(12，0，1) (14，34，0)所以 ，MN ( 14，34，14)(1 ，0，1)，AB1 所以 0 0.MN AB1 14 14所以 ，所以 AB1MN.MN AB1 10如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、F 分别是 BB1、D 1B1 的中点求证：EF 平面 B1AC.证明：设正方体的棱长为 2a，建立如图所示的空间直角坐标系则 A(2a，0，0)，C (0，2a，0)，B 1(2a，2a，2a) ，E(2a，2a，a)，F( a，a，2a)所以
25、(a，a，2a)(2a，2a，a)( a，a，a)，EF (2 a，2a，2a)(2a，0，0)(0 ，2a，2a)，AB1 (0，2a，0)(2 a，0，0)(2a，2a，0) AC 因为 (a，a，a)(0，2a，2a)( a)0( a)2aa2a0，EF AB1 ( a，a，a)(2a，2a，0)2a 22a 200，EF AC 所以 EFAB 1，EFAC.又 AB1ACA，所以 EF平面 B1AC.B 能力提升11如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M ，N ，P 分别是 AD1，BD 和 B1C 的中点，利用向量法证明：(1)MN平面 CC1D1D；(2)平面 MNP平面
26、 CC1D1D.证明：(1)以 D 为坐标原点， ， ， 分别为 x，y，z 轴的正方向，建立空间直角DA DC DD1 坐标系( 图略) ，并设正方体的棱长为 2，则 A(2，0，0)， D(0，0，0)，M(1 ，0，1)，N(1，1，0) ，P(1 ，2，1)由正方体的性质知 AD平面 CC1D1D，所以 (2 ，0，0) 为平面 CC1D1D 的一个法向量DA 由于 (0，1，1)，则 0210(1)00，所以 .MN MN DA MN DA 又 MN平面 CC1D1D，所以 MN平面 CC1D1D.(2)由于 (0，2，0)， (0，2，0) ，MP DC 所以 ，即 MPDC.MP
27、 DC 由于 MP平面 CC1D1D，所以 MP平面 CC1D1D.又由(1)，知 MN平面 CC1D1D，MNMPM，所以由两个平面平行的判定定理，知平面 MNP平面 CC1D1D.12如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 E 为 BC 的中点(1)在 B1B 上是否存在一点 P，使 D1P平面 B1AE?(2)在平面 AA1B1B 上是否存在一点 N，使 D1N平面 B1AE?解：(1)如图，以 D 为坐标原点，分别以 DA，DC，DD 1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则点 A(1， 0，0)，E ，B 1(1，1，1)，D 1(0，0，
28、1)， (0，1， 1)，(12，1，0) B1A .假设存在点 P(1，1，z) 满足题意，于是B1E ( 12，0， 1)(1，1， z1)，D1P 所以 所以 解得 矛盾D1P B1A 0，D1P B1E 0，) 0 1 z 1 0， 12 0 z 1 0，) z 0，z 12，)故在 B1B 上不存在点 P 使 D1P平面 B1AE.(2)假设在平面 AA1B1B 上存在点 N，使 D1N平面 B1AE.设 N(1，y，z)，则 D1N B1A 0，D1N B1E 0.)因为 (1，y，z 1) ，所以 解得D1N 0 y z 1 0， 12 0 z 1 0，) y 12，z 12，)
29、故平面 AA1B1B 上存在点 N ，使 D1N平面 B1AE.(1，12，12)13(选做题) 如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PC平面ABCD， PC2，在四边形 ABCD 中，BBCD90，AB 4，CD1，点 M 在 PB 上，PB4PM，PB 与平面 ABCD 成 30角(1)求证：CM平面 PAD；(2)求证：平面 PAB平面 PAD.证明：以点 C 为坐标原点，CB 所在直线为 x 轴，CD 所在直线为y 轴，CP 所在直线为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz，因为PC平面 ABCD，所以PBC 为 PB 与平面 ABCD 所成的角，所以PBC 30.因为 PC2
30、，所以 BC2 ， PB4.3所以 D(0，1，0)，B (2 ，0，0) ，A (2 ，4，0) ，P(0，0，2)，M .3 3 (32，0，32)所以 (0 ，1，2) ， (2 ，3，0)， .DP DA 3 CM ( 32，0，32)(1)令 n(x，y，z)为平面 PAD 的法向量，则 即 所以DP n 0，DA n 0，) y 2z 0，23x 3y 0，) z 12y，x 32y，)令 y2，得 n( ，2，1)3因为 n 201 0，CM 3 32 32所以 n ，又 CM平面 PAD，CM 所以 CM平面 PAD.(2)取 AP 的中点 E，则 E( ，2，1)， ( ，2，1)3 BE 3因为 PBAB，所以 BEPA.又因为 ( ，2，1)(2 ，3，0)0.BE DA 3 3所以 ，所以 BEDA，BE DA 又因为 PADAA，所以 BE平面 PAD，又因为 BE平面 PAB，所以平面 PAB平面 PAD.
