1、1.2.3空间中的垂直关系第1课时直线与平面垂直基础过关1.已知m,n表示两条不同直线,表示平面.下列说法正确的是()A.若m,n,则mnB.若m,n,则mnC.若m,mn,则nD.若m,mn,则n答案B解析方法一若m,n,则m,n可能平行、相交或异面,A错;若m,n,则mn,因为直线与平面垂直时,它垂直于平面内任一直线,B正确;若m,mn,则n或n,C错;若m,mn,则n与可能相交,可能平行,也可能n,D错.方法二如图,在正方体ABCDABCD中,用平面ABCD表示.A项中,若m为AB,n为BC,满足m,n,但m与n是相交直线,故A错.B项中,m,n,满足mn,这是线面垂直的性质,故B正确.
2、C项中,若m为AA,n为AB,满足m,mn,但n,故C错.D项中,若m为AB,n为BC,满足m,mn,但n,故D错.2.已知直线m,n是异面直线,则过直线n且与直线m垂直的平面()A.有且只有一个B.至多一个C.有一个或无数个D.不存在答案B解析若异面直线m、n垂直,则符合要求的平面有一个,否则不存在.3.如图所示,PO平面ABC,BOAC,在图中与AC垂直的线段有()A.1条B.2条C.3条D.4条答案D解析PO平面ABC,AC平面ABC,POAC,又ACBO,POBOO,AC平面PBD,平面PBD中的4条线段PB,PD,PO,BD与AC垂直.4.如图,在正方形SG1G2G3中,E、F分别是
3、边G1G2,G2G3的中点,D是EF的中点,现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个如图所示的几何体,使G1、G2、G3三点重合于点G,则下面结论成立的是()A.SG平面EFGB.SD平面EFGC.GF平面SEFD.GD平面SEF答案A解析在图中,SG1G1E,SG3G3F,因此在图中,SGGE,SGGF,又GEGFG,SG平面EFG.5.已知ABC所在平面外一点P到ABC三顶点的距离都相等,则点P在平面ABC内的射影是ABC的_.答案外心解析P到ABC三顶点的距离都相等,则点P在平面ABC内的射影到ABC三顶点的距离都相等,所以是外心.6.如图所示,PA平面ABC,ABC中BCAC,则图中直
4、角三角形的个数有_.答案4解析BC平面PACBCPC,直角三角形有PAB、PAC、ABC、PBC.7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:A1C平面BC1D.证明如图,连接AC,所以ACBD.又BDA1A,ACAA1A,AC,A1A平面A1AC,BD平面A1AC.A1C平面A1AC,BDA1C.同理可证BC1A1C.又BDBC1B,BD,BC1平面BC1D,A1C平面BC1D.能力提升8.已知l,m,n为两两垂直的三条异面直线,过l作平面与直线m垂直,则直线n与平面的关系是()A.nB.n或nC.n或n与不平行D.n答案A解析l,且l与n异面,n,又m,nm,n.9.如图,三棱锥VAB
5、C中,VO平面ABC,OCD,VAVB,ADBD,则下列结论中不一定成立的是()A.ACBCB.VCVDC.ABVCD.SVCDABSABCVO答案B解析因为VAVB,ADBD,所以VDAB.因为VO平面ABC,AB平面ABC,所以VOAB.又VOVDV,VO平面VCD,VD平面VCD,所以AB平面VCD,又CD平面VCD,VC平面VCD,所以ABVC,ABCD.又ADBD,所以ACBC(线段垂直平分线的性质).因为VO平面ABC,所以VVABCSABCVO.因为AB平面VCD,所以VVABCVBVCDVAVCDSVCDBDSVCDADSVCD(BDAD)SVCDAB,所以SABCVOSVCD
6、AB,即SVCDABSABCVO.综上知,A,C,D正确.10.如图所示,在矩形ABCD中,AB1,BCa(a0),PA平面AC,且PA1,若BC边上存在点Q,使得PQQD,则a的取值范围是_.答案2,)解析因为PA平面AC,QD平面AC,所以PAQD.又因为PQQD,PAPQP,所以QD平面PAQ,所以AQQD.当0a2时,由四边形ABCD是矩形且AB1知,以AD为直径的圆与BC无交点,即对BC上任一点Q,都有AQD2时,以AD为直径的圆与BC相交于点Q1,Q2,此时AQ1DAQ2D90,故BC边上存在两点Q(即Q1与Q2),使PQQD.11.如图所示,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1
7、D1中,点E是棱BC的中点,点F是棱CD上的动点.试确定点F的位置,使得D1E平面AB1F.解连接A1B,CD1,则A1BAB1,A1D1AB1,又A1D1A1BA1,AB1面A1BCD1,又D1E面A1BCD1,AB1D1E.于是D1E平面AB1FD1EAF.连接DE,则DE是D1E在底面ABCD内的射影.D1EAFDEAF.ABCD是正方形,E是BC的中点,当且仅当F是CD的中点时,DEAF,即当点F是CD的中点时,D1E平面AB1F.创新突破12.如图,AB为O的直径,PA垂直于O所在的平面,M为圆周上任意一点,ANPM,N为垂足.(1)求证:AN平面PBM.(2)若AQPB,垂足为Q,
8、求证NQPB.证明(1)AB为O的直径,AMBM.又PA平面ABM,PABM.又PAAMA,BM平面PAM.又AN平面PAM,BMAN.又ANPM,且BMPMM,AN平面PBM.(2)由(1)知AN平面PBM,PB平面PBM,ANPB.又AQPB,ANAQA,PB平面ANQ.又NQ平面ANQ,PBNQ.13.如图,四面体ABCD中,ABC是正三角形,ADCD. (1)证明:ACBD;(2)已知ACD是直角三角形,ABBD.若E为棱BD上与D不重合的点,且AEEC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.(1)证明取AC中点O,连接OD,OB,因为ADCD,所以ACOD,又由于ABC是正三角形,所以ACOB,且OBODO,从而AC平面OBD,BD平面OBD,故ACBD.(2)解连接EO,由(1)及题设知ADC90,所以DOAO,在RtAOB中,BO2AO2AB2,又ABBD,所以BO2DO2BO2AO2AB2BD2,故DOB90,由题设知,AEC为直角三角形,所以EOAC,又ABC是正三角形,且ABBD,所以EOBD,故E为BD的中点,从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的,即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为11.