1、11 集合的含义及其表示第 1 课时 集合的含义学习目标 1.通过实例理解集合的有关概念(难点)；2.初步理解集合中元素的三个特性(重点)；3.体会元素与集合的属于关系(重点)；4.了解常用数集及其专用符号，学会用集合语言表示有关数学对象(重点)预习教材 P5 6，完成下面问题：知识点一 集合的概念(1)定义：一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合(2)记法：通常用大写拉丁字母表示(3)常用数集及表示符号定义 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集记法 N N*或 N Z Q R【预习评价】下列给出的对象中，能构成集合的是_比 2 大的数 与 2 接近的数 直角坐标平面内横坐
2、标为 2 的点 平方后等于 2 的数 面积为 2 的三角形解析 “与 2 接近的数”无法界定，故不能构成一个集合；都可以构成集合答案 知识点二 元素与集合的关系关系 定义 记法 读法属于 a 是集合 A 的元素 a A a 属于 A不属于a 不是集合 A 的元素aA 或a Aa 不属于 A【预习评价】“用”或“”填空(1)0_N；(2) _Q；(3) 3_Z；2(4) _R；(5) a_a34答案 (1) (2) (3) (4) (5)知识点三 元素的三个特性一般地，元素的三个特性是指确定性、互异性、无序性【预习评价】思考 1 某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？某班身高高于 175 厘米的男
3、生能否构成一个集合？集合元素确定性的含义是什么？提示 某班所有的“帅哥”不能构成集合，因“帅哥”无明确的标准高于175 厘米的男生能构成一个集合，因标准确定元素确定性的含义：集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了思考 2 构成单词“bee”的字母组成的集合，其中的元素有多少个？提示 2 个集合中的元素互不相同，这叫元素的互异性思考 3 “中国的直辖市”构成的集合中，元素包括哪些？甲同学说：北京、上海、天津、重庆；乙同学说：上海、北京、重庆、天津，他们的回答都正确吗？由此说明什么？提示 两个同学都说出了中国直辖市的所有城市，因此两个同学的回答都
4、是正确的，由此说明集合中的元素是无先后顺序的，这就是元素的无序性知识点四 集合相等如果两个集合所含的元素完全相同(即 A 中的元素都是 B 的元素，B 中的元素也都是 A 的元素) ，那么称这两个集合相等【预习评价】下列各组集合 A 和 B 表示同一集合的是_(填写正确的序号)A ，B3.141 59；A2,3，B(2,3)；A1， ，B ，1，| |；3 3Ax|1x1，xN，B1解析 中， 与 3.141 59 不相等，故集合 A 和 B 不表示同一集合；中，A是含有元素 2,3 的集合，B 是只含有有序实数对(2,3)的集合，二者不表示同一集合；中，由于| | ，故集合 A 和 B 表示
5、同一集合；中，3 3Ax|1x1，xN0,1，故集合 A 和 B 不表示同一集合答案 题型一 集合的概念【例 1】 考察下列每组对象能否构成一个集合(1)不超过 20 的非负数；(2)方程 x290 在实数范围内的解；(3)某校 2015 年在校的所有高个子同学；(4) 的近似值的全体3解 (1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过 20 的非负数”，所以能构成集合；(2)能构成集合；(3)“高个子” 无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合；(4)“ 的近似值”不明确精确到什么程度，因此无法判断一个数如“2”是不是它3的近似值，所以不能构成集合规律方法 判断一
6、组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合【训练 1】 下列所给的对象能构成集合的是_(1)所有正三角形；(2)必修 1 课本上的所有难题；(3)比较接近 1 的正整数全体；(4)某校高一年级的 16 岁以下的学生解析 序号能否构成集合理由(1) 能 其中的元素满足三条边相等(2) 不能“难题”的标准是模糊的、不确定的，所以所给对象不确定，故不能构成集合(3) 不能“比较接近 1”的标准不明确，所以所给对象不确定，故不能构成集合(4) 能 其中的元素是“16 岁以下
7、的学生”答案 (1)(4)题型二 元素与集合的关系【例 2】 所给下列关系正确的序号是_ R； Q；0N *；|3| N*.12 2解析 是实数， 是无理数，正确；N *表示正整数集，和不正12 2确答案 【例 3】 数集 A 满足条件：若 aA，a1，则 A.11 a(1)若 2A，写出 A 中的其他两个元素；(2)若 A 为单元素集合，求 a.解 (1)若 aA，a1，则 A，11 a当 2A 时， A；11 2 13当 2 即 a 时，2A.11 a 12综上可知，A 中还有的两个元素为 和 .12 13(2)A 为单元素集合，则必有：a ，11 a即 a2a10，解得：a 或 a .
8、1 52 1 52规律方法 (1)由集合中元素的确定性可知，对任意的元素 a 与集合 A，在“aA”与“aA”这两种情况中必有一种且只有一种成立(2)符号“”和“”只表示元素与集合之间的关系，而不能用于表示其他关系(3)“”和“”具有方向性，左边是元素，右边是集合【训练 2】 已知集合 A 中的元素是自然数，且满足 “若 aA ，则 4aA”，则集合 A 中最多有_个元素解析 因为集合 A 中的元素是自然数，且 aA,4aA，所以 a0,4a0，解得 0a4，又 a 是自然数，所以集合 A 中最多有 0,1,2,3,4 共 5 个元素答案 5互动探究题型三 集合中元素的特性及应用【探究 1】
9、已知集合 B 含有两个元素 a3 和 2a1，若3B ，试求实数 a的值解 3B， 3a3 或32a1.若3a3，则 a0.此时集合 B 含有两个元素3，1，符合题意；若32a1，则 a1.此时集合 B 含有两个元素4，3，符合题意综上所述，满足题意的实数 a 的值为 0 或1.【探究 2】 已知集合 Aa1，a 21 ，若 0A，则实数 a 的值为_解析 0 A， 0a1 或 0a 21.当 0a1 时，a1，此时 a210，A 中元素重复，不符合互异性；当 a210 时，a1.a1( 舍) ， a1.此时，A2,0 ，符合题意答案 1【探究 3】 含有三个实数的集合可表示为a， ，1 ，也
10、可表示为a 2，ab,0，ba求 a2 016b 2 015 的值解 由题意可知 a1，a0，Error!或Error!解得Error!或Error!(舍去) a2 016 b2 015( 1) 2 0160 2 0151.规律方法 (1)解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准(2)在解方程求得 a 的值后，要根据集合中元素的互异性进行验证课堂达标1下列四组对象中能构成集合的是_本校学习好的学生；在数轴上与原点非常近的点；很小的实数；倒数等于本身的数解析 集合中的元素必须是明确的，而“学习好”、“非常近”、“很小”都是模糊的概念答案 2用符号“”或“”填空
11、：(1)若集合 P 由小于 的实数构成，则 3 _P；17 2(2)若集合 Q 由可表示为 n21(nN *)的实数构成，则 5_Q.解析 (1)因为 3 ，所以 3 不在由小于 的实数构成的集合 P2 18 17 2 17中，所以 3 P.2(2)因为 52 21,2 N*，所以 5Q.答案 (1) (2)3已知集合 A 是由 0，m，m 23m2 三个元素组成的集合，且 2A，则实数m_.解析 由 2A 可知：若 m2，则 m23m20，这与 m23m 20 相矛盾；若 m23m22，则 m0 或 m3，当 m0 时，与 m0 相矛盾，当 m3 时，此时集合 A 的元素为 0,3,2，符合
12、题意答案 34已知 1a 2，a ，则 a_.解析 当 a21 时，a1，但 a1 时，a 2a，由元素的互异性知 a1.答案 15已知集合 A 是由 a2,2a 25a,12 三个元素组成的，且 3A ，求实数 a 的值解 由3A，可得3a2 或32a 25a，a 1 或 a .当 a1 时，A 3，3,12不符合互异性；当 a32时，A ，3,12，所以 a .32 72 32课堂小结集合中元素的三个特征1确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，即按照明确的判断标准判断给定的元素，或者在这个集合里，或者不在这个集合里，二者必居其一2互异性：对于给定的一个集合，它的任何两个元素都是不同的若 A 是一个集合，a，b 是集合 A 的任意两个元素，则一定有 ab.3无序性：集合中的元素是没有顺序的，集合与其中元素的排列次序无关如由元素 a，b，c 与由元素 b，a，c 组成的集合是相等的集合这个性质通常用来判断两个集合的关系.
