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苏教版高中数学必修1学案:1.1(第1课时)集合的含义

1、11 集合的含义及其表示第 1 课时 集合的含义学习目标 1.通过实例理解集合的有关概念(难点);2.初步理解集合中元素的三个特性(重点);3.体会元素与集合的属于关系(重点);4.了解常用数集及其专用符号,学会用集合语言表示有关数学对象(重点)预习教材 P5 6,完成下面问题:知识点一 集合的概念(1)定义:一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合(2)记法:通常用大写拉丁字母表示(3)常用数集及表示符号定义 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集记法 N N*或 N Z Q R【预习评价】下列给出的对象中,能构成集合的是_比 2 大的数 与 2 接近的数 直角坐标平面内横坐

2、标为 2 的点 平方后等于 2 的数 面积为 2 的三角形解析 “与 2 接近的数”无法界定,故不能构成一个集合;都可以构成集合答案 知识点二 元素与集合的关系关系 定义 记法 读法属于 a 是集合 A 的元素 a A a 属于 A不属于a 不是集合 A 的元素aA 或a Aa 不属于 A【预习评价】“用”或“”填空(1)0_N;(2) _Q;(3) 3_Z;2(4) _R;(5) a_a34答案 (1) (2) (3) (4) (5)知识点三 元素的三个特性一般地,元素的三个特性是指确定性、互异性、无序性【预习评价】思考 1 某班所有的“帅哥”能否构成一个集合?某班身高高于 175 厘米的男

3、生能否构成一个集合?集合元素确定性的含义是什么?提示 某班所有的“帅哥”不能构成集合,因“帅哥”无明确的标准高于175 厘米的男生能构成一个集合,因标准确定元素确定性的含义:集合中的元素必须是确定的,也就是说,给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了思考 2 构成单词“bee”的字母组成的集合,其中的元素有多少个?提示 2 个集合中的元素互不相同,这叫元素的互异性思考 3 “中国的直辖市”构成的集合中,元素包括哪些?甲同学说:北京、上海、天津、重庆;乙同学说:上海、北京、重庆、天津,他们的回答都正确吗?由此说明什么?提示 两个同学都说出了中国直辖市的所有城市,因此两个同学的回答都

4、是正确的,由此说明集合中的元素是无先后顺序的,这就是元素的无序性知识点四 集合相等如果两个集合所含的元素完全相同(即 A 中的元素都是 B 的元素,B 中的元素也都是 A 的元素) ,那么称这两个集合相等【预习评价】下列各组集合 A 和 B 表示同一集合的是_(填写正确的序号)A ,B3.141 59;A2,3,B(2,3);A1, ,B ,1,| |;3 3Ax|1x1,xN,B1解析 中, 与 3.141 59 不相等,故集合 A 和 B 不表示同一集合;中,A是含有元素 2,3 的集合,B 是只含有有序实数对(2,3)的集合,二者不表示同一集合;中,由于| | ,故集合 A 和 B 表示

5、同一集合;中,3 3Ax|1x1,xN0,1,故集合 A 和 B 不表示同一集合答案 题型一 集合的概念【例 1】 考察下列每组对象能否构成一个集合(1)不超过 20 的非负数;(2)方程 x290 在实数范围内的解;(3)某校 2015 年在校的所有高个子同学;(4) 的近似值的全体3解 (1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过 20 的非负数”,所以能构成集合;(2)能构成集合;(3)“高个子” 无明确的标准,对于某个人算不算高个子无法客观地判断,因此不能构成一个集合;(4)“ 的近似值”不明确精确到什么程度,因此无法判断一个数如“2”是不是它3的近似值,所以不能构成集合规律方法 判断一

6、组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准,使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的如果是“确定无疑”的,就可以构成集合;如果是“模棱两可”的,就不能构成集合【训练 1】 下列所给的对象能构成集合的是_(1)所有正三角形;(2)必修 1 课本上的所有难题;(3)比较接近 1 的正整数全体;(4)某校高一年级的 16 岁以下的学生解析 序号能否构成集合理由(1) 能 其中的元素满足三条边相等(2) 不能“难题”的标准是模糊的、不确定的,所以所给对象不确定,故不能构成集合(3) 不能“比较接近 1”的标准不明确,所以所给对象不确定,故不能构成集合(4) 能 其中的元素是“16 岁以下

7、的学生”答案 (1)(4)题型二 元素与集合的关系【例 2】 所给下列关系正确的序号是_ R; Q;0N *;|3| N*.12 2解析 是实数, 是无理数,正确;N *表示正整数集,和不正12 2确答案 【例 3】 数集 A 满足条件:若 aA,a1,则 A.11 a(1)若 2A,写出 A 中的其他两个元素;(2)若 A 为单元素集合,求 a.解 (1)若 aA,a1,则 A,11 a当 2A 时, A;11 2 13当 2 即 a 时,2A.11 a 12综上可知,A 中还有的两个元素为 和 .12 13(2)A 为单元素集合,则必有:a ,11 a即 a2a10,解得:a 或 a .

8、1 52 1 52规律方法 (1)由集合中元素的确定性可知,对任意的元素 a 与集合 A,在“aA”与“aA”这两种情况中必有一种且只有一种成立(2)符号“”和“”只表示元素与集合之间的关系,而不能用于表示其他关系(3)“”和“”具有方向性,左边是元素,右边是集合【训练 2】 已知集合 A 中的元素是自然数,且满足 “若 aA ,则 4aA”,则集合 A 中最多有_个元素解析 因为集合 A 中的元素是自然数,且 aA,4aA,所以 a0,4a0,解得 0a4,又 a 是自然数,所以集合 A 中最多有 0,1,2,3,4 共 5 个元素答案 5互动探究题型三 集合中元素的特性及应用【探究 1】

9、已知集合 B 含有两个元素 a3 和 2a1,若3B ,试求实数 a的值解 3B, 3a3 或32a1.若3a3,则 a0.此时集合 B 含有两个元素3,1,符合题意;若32a1,则 a1.此时集合 B 含有两个元素4,3,符合题意综上所述,满足题意的实数 a 的值为 0 或1.【探究 2】 已知集合 Aa1,a 21 ,若 0A,则实数 a 的值为_解析 0 A, 0a1 或 0a 21.当 0a1 时,a1,此时 a210,A 中元素重复,不符合互异性;当 a210 时,a1.a1( 舍) , a1.此时,A2,0 ,符合题意答案 1【探究 3】 含有三个实数的集合可表示为a, ,1 ,也

10、可表示为a 2,ab,0,ba求 a2 016b 2 015 的值解 由题意可知 a1,a0,Error!或Error!解得Error!或Error!(舍去) a2 016 b2 015( 1) 2 0160 2 0151.规律方法 (1)解决含有字母的问题,常用到分类讨论的思想,在进行分类讨论时,务必明确分类标准(2)在解方程求得 a 的值后,要根据集合中元素的互异性进行验证课堂达标1下列四组对象中能构成集合的是_本校学习好的学生;在数轴上与原点非常近的点;很小的实数;倒数等于本身的数解析 集合中的元素必须是明确的,而“学习好”、“非常近”、“很小”都是模糊的概念答案 2用符号“”或“”填空

11、:(1)若集合 P 由小于 的实数构成,则 3 _P;17 2(2)若集合 Q 由可表示为 n21(nN *)的实数构成,则 5_Q.解析 (1)因为 3 ,所以 3 不在由小于 的实数构成的集合 P2 18 17 2 17中,所以 3 P.2(2)因为 52 21,2 N*,所以 5Q.答案 (1) (2)3已知集合 A 是由 0,m,m 23m2 三个元素组成的集合,且 2A,则实数m_.解析 由 2A 可知:若 m2,则 m23m20,这与 m23m 20 相矛盾;若 m23m22,则 m0 或 m3,当 m0 时,与 m0 相矛盾,当 m3 时,此时集合 A 的元素为 0,3,2,符合

12、题意答案 34已知 1a 2,a ,则 a_.解析 当 a21 时,a1,但 a1 时,a 2a,由元素的互异性知 a1.答案 15已知集合 A 是由 a2,2a 25a,12 三个元素组成的,且 3A ,求实数 a 的值解 由3A,可得3a2 或32a 25a,a 1 或 a .当 a1 时,A 3,3,12不符合互异性;当 a32时,A ,3,12,所以 a .32 72 32课堂小结集合中元素的三个特征1确定性:给定的集合,它的元素必须是确定的,即按照明确的判断标准判断给定的元素,或者在这个集合里,或者不在这个集合里,二者必居其一2互异性:对于给定的一个集合,它的任何两个元素都是不同的若 A 是一个集合,a,b 是集合 A 的任意两个元素,则一定有 ab.3无序性:集合中的元素是没有顺序的,集合与其中元素的排列次序无关如由元素 a,b,c 与由元素 b,a,c 组成的集合是相等的集合这个性质通常用来判断两个集合的关系.